О.Н. МАСЛАК, М.Е. ВАСИЛЬЕВА

М А Т Е М А Т И К А

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ, ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ, ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Учебное пособие для студентов всех направлений

В шести частях Часть 1

Новочеркасск

2012

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Новочеркасская государственная мелиоративная академия»

О.Н. МАСЛАК, М.Е. ВАСИЛЬЕВА

М А Т Е М А Т И К А

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ, ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ, ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Учебное пособие В шести частях Часть 1

Новочеркасск

2012

УДК 517 (075.8) М 314

Рецензенты: Черкасова Т.С., доц. кафедры высшей математики 2, канд. техн. наук; РГУПС Кравченко Н.И., доц. каф. математики, канд. экон. наук ФГБОУ ВПО НГМА

Маслак, О.Н..

М 314 Математика: в 6 ч. Ч.1: Теория множеств, элементы алгебры логики, линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве: учеб. пособие для студ. очного и заочн. обучения направления всех направлений / О.Н. Маслак, М.Е. Васильева; Новочерк. гос. мелиор. акад. - Новочеркасск, 2012. – 104 с.

Настоящее пособие предназначено для студентов I курса очной и заочной формы обучения всех направлений НГМА.

Ключевые слова: множества, матрица, векторы, плоскость, прямая, кривые второго порядка, поверхности.

5

Предисловие

Настоящее пособие предназначено для студентов I курса очной и заочной формы обучения всех направлений НГМА.

В пособии изложены следующие темы: элементы математической логики, алгебры высказываний, линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии. Изложение теоретического материала сопровождается решением примеров и ведется на доступном языке.

Пособие может быть использовано студентами также для самостоятельного изучения соответствующего материала.

Авторы надеются, что данное пособие поможет студентам более глубоко изучать курс математики.

ГЛАВА 1 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ

1 Основные понятия математической логики и теории множеств

1.1 Понятие множеств

Немецкий математик Г. Кантор определил множество как «многое, мыслимое как единое». Для описания понятия множества применяют сло- ва-синонимы, такие как: совокупность, набор, союз, стая, рой и т.д. Отметим, однако, что этими словами следует пользоваться аккуратно при описании множеств, поскольку они несут некую смысловую нагрузку, а множество – понятие абстрактное. Например, сочетания «союз композиторов», «рой пчел» вполне употребимы для описания конкретных множеств, а сочетания «союз пчел» и «рой композиторов» не только ничего не описывают, но могут восприниматься как издёвка.

Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита. Здесь х Х будет означать, что х входит в состав множества Х. Эта запись читается так: «х принадлежит множеству Х», или «х является элементом множества Х».

Как правило, для обозначения часто встречающихся множеств используются стандартные символы. В частности, множество действительных чисел обозначается через R, а множество целых чисел (включая 0) – через Z. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обо-

значают .

Определение. Говорят, что множествоY является подмножеством Х (частью множества Х), если каждый элемент множества Y является элементом X. Тот факт, что Y есть часть X, записывают следующим образом Y X и читают «Y вложено в X».

6

Определение. Множества, имеющие одинаковые элементы, называют равными. Если Y X, но Y≠X, то вложение Y в X, называют строгим и записывают Y X. В этом случае говорят ещё, что Y есть правильная часть (собственное подмножество) множества X.

Иногда для описания множеств применяют фигурные скобки, указывая внутри них все элементы описываемого множества или свойства, определяющие описываемое множество. Эти скобки называют классификатором. Например, множества X = {1, 2, 3}, Y = {1, 2}, Z = {2, 1, 3} составлены из целых чисел, указанных внутри классификатора, а множество K = {x : sinx = 0} - множество решений тригонометрического уравнения, указанного внутри классификатора. При этом очевидно, что Y Z, Y X и X=Z, а K R.

Ниже для наглядности изложения мы будем рассматривать лишь такие множества X, Y, Z, …, которые являются подмножествами некоторого множества U. Множество U называют универсальным.

ХУсловимся универсальное множество изображать графически, как совокупность точек плоскости, ограниченных некоторой замкнутой линией. Тогда любые другие рассматри-

1.2 Операции над множествами

Определение. Пусть Х и Y— некоторые множества, их объединением называют множество X Y, состоящее из элементов, входящих либо во множество X, либо во множество Y.

Определение. Пересечением этих множеств называют множество X∩Y, состоящее из элементов, входящих и во множество X, и во множество Y.

Если X ∩ Y = , то множества Х и Y не имеют общих элементов и их называют непересекающимися.

Определение. Разностью множеств Х и Y называют множество Х / Y, составленное из тех элементов X, которые не входят в Y.

Определение. Дополнением множества X называют множество

Х = U / X . Очевидно, оно состоит из элементов универ-

сального множества, не входящих в X. Графически введенные операции можно изобразить следующим образом.

8

1.3 Функции. Мощность множества

Определение. Пусть Х и Y— множества. Говорят, что на множестве X задана функция, принимающая значения во множестве Y, если указаны правило или закон, по которому каждому элементу x (аргументу) множества X ставится в соответствие единственный элемент y (функция) множества Y.

Множество X называют областью определения функции, а множество Y – множеством значений.

Записи y = f (x) или f : X → Y означает, что задана функция. Здесь

под f понимают правило или закон, упомянутые в определении функции. Говорят, что функция f(x) взаимно однозначна, если для каждого y Y найдется единственный x X, такой что y = f (x). Для взаимно однозначной

функции y = f (x) можно определить обратную функцию f −1:Y → X ,действующую по правилу f −1(y) = x , если f (x) = y .

Ясно, что функция f −1(y) является взаимно однозначной и при этом по определению f −1(f (x))= x , f (f −1(y))= y .

Оказывается, существование взаимно однозначной функции накладывает жесткие ограничения на множества X и Y.

Справедлива следующая легко доказываемая теорема.

Теорема. Пусть хотя бы одно из множеств X или Y состоит из конечного числа элементов, равного n. Взаимно однозначная функция

f : X → Y существует тогда и только тогда, когда и второе из множеств содержит ровно n элементов.

Определение. Множества X и Y будем называть множествами одинаковой мощности, если существует взаимно однозначная функция f : X → Y .

Сформулированную теорему можно переформулировать.

Два множества, одно из которых конечно, будут множествамидинаковой мощности тогда и только тогда, когда и второе из них конечно и, они содержат одинаковое число элементов. Таким образом, все множества можно разбить на классы множеств одинаковой мощности.

Рассмотрим классы множеств одинаковой мощности. Мощность каждого из множеств этого класса называют то общее, что присуще всем множествам этого класса. Если рассматривать конечные множества, то множества одинаковой мощности в силу приведенной выше теоремы имеют одинаковое число элементов, и это число естественно назвать мощностью.

Мощность обозначают |X| или card X. Таким образом, если

X = {x1,x2, ,xn}, то |X| = n.