Добавил:

Yuppie_ModeratorNGMU Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный медицинский университет

Предмет:

Математика

Файл:

Маслак О.Н. УП_ТМЭАЛ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

932.79 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

ты складывают (вычитают).

a ± b = (ax i + a y j + az k )± (bx i + by j + bz k )= (ax ± bx )i +

+ (a y ± by )j + (az ± bz )k .

a ± b = (ax ± bx ; a y ± by ; az ± bz ).

2) При умножении вектора на вещественное число его координаты умно-

жаются на это число λ a = λ (ax i + a y j + az k) = λax i + λa y j + λaz k

λ a = (λax , λa y , λaz ).

Координаты вектора, выраженные через координаты его начала

и конца. Расстояние между двумя точками

Рассмотрим в

пространстве

вектор

AB , зная

координаты

точек

А(х1, у1, z1) и В(х2, у2, z2).

Введем в рассмотрение радиусы-векторы точек А и В.

Из определения проекции вектора на ось следует,

что вектор OA = (x1, y1, z1) и OB = (x2, y2, z2) .

Из треугольника ОАВ (рисунок 17) и из

определения разности двух векторов следует,

что AB = OB − OA = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).

х Рисунок 17

Отсюда вытекает, что координаты вектора равны разностям соответ-

ствующих координат его конца и начала.

Из формулы (3.7) следует, что расстояние между точками А и В

может быть вычислено по формуле:

d = AB =

− x )2

+ ( y

− y

)2 + ( z

− z

(3.8)

Условие коллинеарности двух векторов

Пусть векторы

a = ax i + a y j + az k

b = bx i + by j + bz k

колли-

неарны. В этом случае a = λb , где

λ – некоторое число. Из правила ум-

ножения вектора на число и из равенства двух векторов следует равен-

ство их соответствующих координат:

ax = λbx ,

a y = λby ,

az = λbz .

(3.9)

Справедливо и обратное утверждение: если имеют место равенства

(3.9), то векторы a и b коллинеарны.

Действительно,

если все координаты вектора a в λ раз отличаются

от координат вектора b , то и сам вектор a получается из вектора b ум-

ножением на множитель λ, т.е. векторы a и b коллинеарны. Равенства

(3.9) показывают, что координаты векторов a и b пропорциональны.

Таким образом, для того,

чтобы два вектора a и b были коллинеарны,

необходимо и достаточно, чтобы их проекции были пропорциональны:

a y

(3.10)

3.10 Скалярное произведение

При умножении векторов результат может быть как числом, так и

вектором.
Соответственно этому рассматривают два вида						a	ϕ
умножения векторов: скалярное и векторное.

Пусть даны два вектора		и		, угол между
			b					b
	a
которыми равен ϕ (рисунок 18).					Рисунок 18

Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение обозначается a · b . Таким образом, по

определению a b = a b cosϕ , или a b = a b cos(a b).

Свойства скалярного произведения

1) Скалярное произведение обладает переместительным свойством:

a b = b a .

Это свойство вытекает из определения скалярного произведения.

cos(

)

b a = b a cos(b a) = a b cos(a b).

2) Скалярное произведение двух векторов обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т.е.

λ (a b) = (λ a) b = a (λ b)

При λ > 0 угол между векторами

равен углу между вектора-

ми

и b .

cos(

Поэтому λ (

) = λ

)

cos(λ

) = λ

cos(

(λ

)

) .

Следовательно, λ (a b) = (λ a) b .

Случай λ < 0 рассматривается аналогично.

3) Скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из век-

торов, умноженному на проекцию на него другого вектора. Так как

произведение

cos(a b) есть проекция вектора b

cos(

на ось, определяемую вектором

, и

) –

пр

проекция вектора

на ось, определяемую

Рисунок 19

вектором b (рисунок 19).

61
a b = a прa b = b прb a	(3.11)

4) Скалярное произведение двух векторов обладает распределительным свойством: (a + b) с = a с + b с.

Действительно, на основании формулы (31) и свойства проекции имеем:

(a + b) с = с прс(a + b) = c (прc a + прc b) = c прc a + c прc b = a с + b с

Если скалярное произведение равно 0, то либо один из перемножае-

мых векторов нуль-вектор, либо векторы перпендикулярны.

Из

= 0 следует, что либо

= 0, либо

= 0, либо cos(

) = 0, т.е.

(

) = π 2 . Обратно, если

, то cos(

) = 0 и, следовательно, скаляр-

ное произведение векторов равно нулю. Таким образом, для того чтобы два не равных нулю вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Отсюда вытекает, что скалярное произведение разноименных орт равно нулю: i j = 0, i k = 0, j k = 0.

6) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля a2 = a 2. a2 = a a cos 0o = a a 1= a 2.

Отсюда i 2 = j 2 = k 2 = 1.

7) Если векторы a и b коллинеарны и сонаправлены, то их скалярное произведение равно произведению модулей векторов.

Если векторы a и b коллинеарны и противоположно направлены, то их скалярное произведение равно произведению модулей этих векто-

ров, взятому со знаком минус.

a ↑↑ b a b = a b cos 0o = a b . a ↑↓ b a b = a b cosπ = − a b .

Выражение скалярного произведения векторов в координатной форме

Пусть даны два вектора:

a = ax i + a y j + az k и b = bx i + by j + bz k .

В таком случае a b = (ax i + a y j + az k) (bx i + by j + bz k) =

= axbx i i + axby i j + axbz i k + a ybx j i + a yby j j + a ybz j k +

+ azbx k i + azby k j + azbz k k = ax bx + a y by + az bz .

При раскрытии скобок воспользовались распределительным свойством скалярного произведения и свойствами 5 и 6.

= ax bx + a y by + az bz .

(3.12)

Скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат.

3.11 Механический смысл скалярного произведения

Рассмотрим следующую физическую задачу. Пусть материальная точка М движется по прямой от точки А до точки В, проходя при этом

путь S. Допустим, что на точку М действует сила F , постоянная по величине и направлению и составляющая с направлением перемещения точки М угол α (рисунок 20).

Из физики известно, что работа А, совершаемая при

А S В Рисунок 20

этом силой F на участке S, равна произведению величины этой силы на длину пути S и на косинус угла α между ними.

Если ввести вектор перемещения S , то по определению скалярного произведения получим: A = F S cosα = F S .

Работа постоянной силы на прямолинейном участке равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

3.12 Основные задачи, решаемые с помощью скалярного произведения

1. Вычисление скалярного произведения двух векторов: a b = ax bx + a y by + az bz .

2. Вычисление проекции одного из векторов на направление, определяемое

другим вектором: пр

;

прa

3. Вычисление косинуса угла, заключенного между двумя векторами: cos(a b) = aa bb .

4. Вычисление работы, совершаемой постоянной силой на прямолинейном участке пути: A = F S .

Пример 25. При каком значении "m" векторы a = mi + 2 j − 5k и

b = (−4,8, − 20) взаимно перпендикулярны и при каком значении m они коллинеарны?

Решение. Из свойств скалярного произведения следует: a b a b = 0 . a b = −4 m + 2 −5 (−20) = −4m + 16 + 100 = 4m + 116 =

a b = 0, − 4m + 116 = 0 , m = 29.

Итак, при m = 29 векторы a и b перпендикулярны.

Из условия коллинеарности двух векторов вытекают равенства:

2 =

− 5

= 1 ;

1 ;

m = - 1.

− 4

− 20

− 4

При m = -1 векторы

коллинеарны.

Пример 26.

Дан треугольник АВС: А(1, 2, -4), В(2, -4, 2), С(4, 0, -2). Вы-

числить косинус угла В.

Решение.

. Най-

Так как угол В образован векторами

, тоcos B =

дем координаты векторов

, и их модули:

= (−1,6, − 6) ,

= (2, 4, − 4),

(−1)2 + 62 + (−6)2 =

63 ,

= 4 + 16 + 16 =

36 = 4 .

Скалярное произведение векторов

равно:

= −2 + 24 + 24 = 46.

Тогда косинус угла равен

cos B =

≈ 1,45.

4 63

3 7

6 7

3.13 Векторное произведение

Определение. Векторным произведением вектора a на вектор b назы-

вается вектор с, который определяется следующим образом: 1) модуль вектора с численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах a и b как на сторонах:

с = a b sin(a b).

2)вектор с перпендикулярен к обоим векторам: с a , c b .

3)направление вектора с таково, что, смотря из его конца вдоль векто-

ра, поворот по кратчайшему пути от вектора a к вектору b будет виден

совершающимся против движения часовой

стрелки, т.е. векторы a , b , с образуют правую тройку (рисунок 21).

Векторное произведение векторов a и b обозначается символом a × b .

c	b
	a
	Рисунок 21

Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак (т.е. векторное произведение антикоммутативно).

a × b = −b × a .

Действительно, из определения векторного произведения следует, что

векторы a × b и b × a имеют одинаковые модули, расположены на одной прямой, но противоположно направлены.

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно постоянного множителя λ (a × b) = (λ a)× b = a × (λb) .

Докажем это свойство для λ > 0.

λ (

= λ

sin(

)

) .

(λ

) ×

sin(

) = λ

sin(

) .

Вектор λ(

) перпендикулярен векторам

. Вектор (λ

)×

также перпендикулярен векторам a и b , так как векторы a и b , λ a и b лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы λ (a × b) и (λ a) × b

коллинеарны. Очевидно, что их направления также совпадают. Аналогично проводится доказательство и для λ < 0.

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством: a × (b + c) = a × b + a × c .

4. Если векторное произведение двух векторов равно нуль-вектору, то либо равен нуль-вектору один из перемножаемых векторов, либо векторы коллинеарны.

Обратное утверждение: если два ненулевых вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нуль-вектору.

Отсюда вытекает условие коллинеарности векторов: для того чтобы,

два ненулевых вектора a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нуль-вектору.

3.14 Векторное произведение векторов в координатной форме

Пусть даны два вектора:

a = ax i + ay j + az k , b = bx i + by j + bz k .

Предварительно найдем все парные векторные произведения орт i , j , k . Так как векторное произведение коллинеарных векторов равно

нуль-вектору, то

= 0.

Рассмотрим теперь произведение

;

sin

= 1.

Вектор

расположен на прямой, перпендикулярной векторам

и j , т.е. на оси Oz. Направлен это вектор в сторону положительного направления оси Oz. Отсюда следует, что этот вектор совпадает с век-

тором

. Очевидно,

= −

Рассуждая аналогично, убедимся, что:

= −

Теперь найдем векторное произведение векторов

a × b = (ax i + a y j + az k) × (bx i + by j + bz k) = axbx i × i + a ybx j × i + + azbx k × i + axby i × j + a yby j × j + azby k × j + axbz i × k +

+ a ybz j × k + azbz k × k = −a ybx k + azbx j + axby k − azby i − axbz j +

+ a ybz i = i (a ybz − azby ) − j (axbz − azbx ) + k(axby − a ybx ).

Разности, стоящие в скобках, представляют собой определители вто-

рого порядка. Поэтому

a y

−

a y

Полученное выражение на основании свойства разложения определи-

теля третьего порядка по элементам первой строки можно окончательно за-

писать следующим образом:

= ax

a y

az .

(3.13)

bx by bz

3.15Геометрический смысл векторного произведения

Из определения векторного произведения двух векторов a и b следует, что

модуль векторного произведения с = a × b равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, т.е.

S= a × b .

Вэтом состоит геометрический смысл векторного произведения. Отсюда следует, что площадь треугольника, построенного на векторах

равна половине модуля векторного произведения: S

Пример 27. Вычислить площадь треугольника АВС, вершины которого

находятся в точках: А(2, 3, 1),

В(5, 6, 3),

С(7, 1, 10).

Решение. Рассмотрим векторы

, совпадающие со сторонами тре-

угольника

= 3

+ 3

+ 2

= 5

− 2

+ 9

Найдем их векторное произведение по формуле (3.13).

−

3 2

3 3

− 2

5 9

5 − 2

= (27 + 4)i − (27 −10) j + (−6 −15)k = 31i − 17 j − 21k .

Модуль полученного вектора равен:

AB × AC = 312 + (−17)2 + (−21)2 = 1691.

Следовательно, площадь треугольника АВС равна:

S= 12 AB × AC = 12 1691 (кв. ед.).

3.16Механический смысл векторного произведения

Пусть точка О – некоторая точка плос-

				кого тела. К точке А этого тела при-
0	А		F	кого тела. К точке А этого тела при-
0	А	ϕ		ложена сила	F	, постоянная по вели-
		ϕ		чине и направлению.
				чине и направлению.
Рисунок 22				Вектор OA назовем радиус-вектором

точки А. Тогда момент силы F относительно точки О направлен перпенди-

кулярно плоскости плоского тела и по величине равен:

M 0 = ОА F sin( OA F ). Отсюда следует, что M 0 =ОА× F .

Если сила F , постоянная по величине и направлению, приложена к

точке А, то момент M 0 этой силы относительно точки О равен векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на

вектор силы F . В этом заключается механический смысл векторного произведения.

3.17Основные задачи, решаемые с помощью векторного произведения

Вычисление векторного произведения двух векторов:

a = (ax , a y , az ) и

=(bx,by,bz ).

a y

Площадь параллелограмма

, построенного на векторах

S= a × b .

3.Площадь треугольника, построенного на векторах a и b :

S= 12 a × b .

4.Момент силы F относительно точки О, если сила F приложена

кточке А: M 0 =ОА× F

3.18 Смешанное произведение трех векторов

Рассмотрим произведение трех векторов a , b и с, составленное следующим образом: (a × b) c .

Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем полученный

вектор a × b умножается скалярно на третий вектор c . Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным произведением трех векторов. Очевидно, смешанное произведение представляет собой число. Для

краткости смешанное произведение (a × b) c будем обозначать a b c .

Геометрический смысл смешанного произведения векторов

Отложим векторы

от общего на-

чала и построим на этих векторах, как на

ребрах, параллелепипед.

Построим вектор

, модуль которого

равен площади параллелограмма, построен-

Рисунок 23

ного на векторах

(рисунок 23).

По определению скалярного произведения

(

)

cosϕ =

cos(

Предполагая, что ϕ <

и обозначая через h высоту параллелепи-

педа, находим:

h =

cos(

) = пр

Таким образом(

)

= S h = V ,где V–объем параллелепипеда.

Если же ϕ > π , то cosϕ < 0 и

cos(

) = −h.

(

)

= S

(−h) = −V . Объединяя эти два случая, по-

Следовательно,

лучаем, что V = ±(a × b) c .

Смешанное произведение трех векторов с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ребрах. Из элементарной геометрии известно, что объем треугольной пи-

рамиды, построенной на векторах a , b , с, как на ребрах равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах Vпир = ± 16 a b c .

3.19Свойства смешанного произведения векторов

1.Смешанное произведение не изменяется при круговой перестановке со-

множителей a b с = bc a = c ab .

2.При перестановке местами любых двух соседних сомножителей смешанное произведение векторов меняет свой знак на противоположный a b с = −b а с = −a c b = −c b a .

3.Если два из трех векторов коллинеарны, то смешанное произведение векторов равно 0.

Если два из трех векторов смешанного произведения равны между собой, то смешанное произведение векторов равно нулю.

4.Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если векторы

компланарны (a × b) c = 0.

Справедливо и обратное утверждение: если смешанное произведение векторов a , b , c равно нулю, то эти векторы компланарны.

Итак, для того чтобы три вектора a , b , c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось

нулю, т.е. abc = 0(условие компланарности векторов)

3.20 Смешанное произведение в координатной форме

Определим сначала векторное произведение векторов a и b :

a y

−

Так как

= сx

+ c y

+ cz

, то, используя формулу (3.12) скалярного

произведения, получим:

a y

(

)

a y

cx −

c y +

сz

Легко заметить, что полученное выражение является разложением

a y

определителя

по элементам третьей строки.

c y

a y

Поэтому

(

)

(3.14)

c y

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
13.03.20161.65 Mб11Васильева М.Е. КЛ_М_Ч1.pdf
#
30.03.2015112.27 Кб45Зачетный тест математика.docx
#
13.03.20161.11 Mб11Кравченко Н.И. УП_М_Ч2.pdf
#
13.03.2016932.79 Кб9Маслак О.Н. УП_ТМЭАЛ.pdf
#
13.03.20164.7 Mб267Математика итоговый тест.doc
#
30.03.201529.23 Кб25математика.docx