Маслак О.Н. УП_ТМЭАЛ

А = В = Д = 0.

Сz = 0; z = 0 - плоскость Q совпадает с хОу

В = С = Д = 0.

Ах = 0; х = 0 - плоскость Q совпадает с уОz

Взаимное расположение двух плоскостей.

Угол между двумя плоскостями

Пусть плоскости Q1 и Q2 заданы уравнениями Q1: А1х + В1у + С1z + Д1 = 0,

Q2: А2х + В2у + С2z + Д2 = 0

N1

Тогда углом между плоскостями Q1 и Q2

N2

Q 2

называют угол φ (рисунок 27) между нормаль-

ϕ

ными векторами этих плоскостей. Нормаль-

ный вектор плоскости может иметь любое из двух

ϕ Q1

противоположных направлений, поэтому угол между

плоскостями определен неоднозначно и для него воз-

можны два значения φ и π – φ.

Рисунок 27

N1

N2

A1A2 + B1B2 +C1C2

cos ϕ = ±cos N1

;

N2

= ±

= ±

(4.8)

N1

N2

A2

+ B2

+C2

A2

+ B2

+C2

1

1

1

2

2

2

Условие параллельности двух плоскостей

Если Q1||Q2, то их нормальные векторы

и

коллинеарны (рисунок 28).

N1

N2

N

1

Условие параллельности плоскостей:

N2

А

В

С

Q1

1

=

1

=

1

(4.9)

А2

В2

С2

Q2

·

= 0 А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0

(4.10)

N1

N2

векторы

=(А1; В1; С1)

и

=(А2; В2; С2) неколлинеарны.

N1

N2

Ах+В у+С z+ Д =0

l

1

1

1

1

(4.11)

N

N2

A x+B y+C z+

Д

2

=0

1

2

2

2

Q2

Q1

- общие уравнения прямой в простран-

А

В

С

стве

1

≠

1

≠

1

.

С

А

В

2

2

2

мой. Такой вектор

называется направляющим вектором прямой.

S

Пусть в пространстве в прямоугольной

z

l

системе координат задана точка

S

М0(х0; у0; z0) є l и вектор S =(m; n; p) || l.

M

Составим уравнение прямой l.

M0

Пусть М(х; у; z) – текущая точка прямой l,

x

y

тогда

М0М

=(х-х0; у-у0; z-z0). Очевидно,

Рисунок 30

х− х0

=

y − y0

=

z − z0

(4.12)

m

n

p

х− х0

= t

x = x0 + mt

m

y − y

0

= t

y = y0

+ nt

(4.13)

n

z = z

+ pt

z − z

0

= t

0

p

называются параметрическими уравнениями пря-

Уравнения (4.13)

81

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть заданы две точки: М1(х1; у1; z1) и

z

l

М2(х2; у2; z2). Получим уравнение прямой,

M2

проходящей через эти точки.

M

Пусть М(х; у; z) – произвольная точка прямой l.

M1

М1М = (х - х1; у – у1; z – z1)

y

М1М2 = (х2 – х1;

у2 – у1; z2 – z1)

x Рисунок 31

М1М є l,

М1М2 є l, М1М || М1М2

(рисунок 31)

Исходя из условия коллинеарности двух векторов, имеем уравнения

прямой, проходящей через две данные точки пространства.

х− х1 =

у− у1

= z − z1

(4.14)

х

− х

у

− у

z

2

− z

2

1

2

1

1

Угол между прямыми. Условия параллельности и

перпендикулярности прямых

Пусть прямые l1

и l2

заданы своими каноническими уравнениями:

l1 : х− х1 = y − y1 = z

− z1 ,

S =(m1; n1; p1)

m1

n1

p1

1

l2 :

х− х2 = y − y2 = z − z2 ,

S2 =(m2; n2; p2)

m2

n2

p2

Определение. Углом φ между прямыми l1 и l2 называется наименьший из двух

смежных углов, который образуют прямые, проведенные па-

раллельно данным через какую-либо точку пространства.

z

S1

l2

ϕ

Очевидно, что φ можно определить

как угол между их направляющими

l1

S2

y

векторами S1 и S2 (рисунок 32).

x

Рисунок 32

S2

S1 S2

= ±

m1m2 + n1n2

+ p1 p2

(4.15)

cosϕ = ± cos S1

;

= ±

S1 S2

m2

+ n2

+ p 2

m2

+ n2

+ p 2

1

1

1

2

2

2

Если l1 || l2 , то направляющие векторы S1 =(m1, n1, p1) и S2 =(m2, n2, p2)

коллинеарны:

m1

= n1

=

p1

(4.16)

m

n

p

2

2

2

- условие параллельности двух прямых l1 и l2

Если l1 l2, то направляющие векторы S1 =(m1; n1; p1) и S2 =(m2; n2; p2)

взаимно перпендикулярны S1 · S2

= 0

m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0

(4.17)

условие перпендикулярности двух прямых l1 и l2

l:

х− х0

=

y − y0

=

z − z0

, Q: Ах + Ву + Сz + Д= 0

m

n

p

Нормаль

=(А; В; С) образует с прямой l угол

N

N

S

l

0

(90 –φ) (см. рисунок 33), который можно найти,

900- ϕ

ϕ

если известен направляющий векторS =(m; n; p).

±φ = 900 – (

;

), ±sinφ = sin (900 -

;

)

N

S

N

S

Q

sinφ = ± cos(

;

) =

N

S

Рисунок 33

N

S

N

S

Для нахождения угла между прямой и плоскостью получаем формулу:

sinϕ = ±

Am + Bn + Cp

(4.18)

A2 + B2 + C2 m2 + n2 + p2

Условие параллельности прямой и плоскости

S

l || Q

=(m; n; p)

=(А; В; С)

·

= 0

l

S

N

N

S

Аm + Bn + Cp = 0

(4.19)

условие параллельности прямой и плоскости

N

Q

Рисунок 34

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

l

l Q S || N

S

N

А

= B = C

(4.20)

Q

m

n p

условие перпендикулярности прямой и плоскости

Рисунок 35

Точка пересечения прямой и плоскости

Q

M

пересечения необходимо совместно решить

х− х0

y− y 0

z

− z 0

=

=

( l )

Рисунок 36

тему уравнений

m

n

p

Ax+ By+Cz + Д=0

( Q )

83

x − x

0

= t

m

x = x0 + mt

y − y

0

= t;

y = y0

+ nt

n

z − z

0

z = z0

+ pt

= t

p

Ах + Ву + Сz + Д = 0

Ах + Ву + Сz + Д = 0 (Q)

Пример 33. Найти точку пересечения прямой

х−1

=

у+1

=

z − 2

с плоско-

3

−1

5

х = 1

+ 3t

х = 1 + 3t

y = −1 − t

y = −1− t

+ 5t

z = 2 + 5t

z = 2

х + у − 2z − 4

= 0

ки М0(х0; у0) l и вектора

=(А; В) l.

N

y

Выведем уравнение прямой 1. Пусть точка

l

М(х; у) l (рисунок 37)

M

N

M0M = (x − x0; y − y0)

M0M N M0M N = 0

x

Запишем скалярное произведение двух

M0

векторов в координатной форме:

Рисунок 37

А(х – х0) + В(у – у0) = 0,

(4.21)

84

Общее уравнение прямой

Раскроем скобки в уравнении (59)

Ах + Ву + (Ах0 - Ву0) = 0, обозна-

чим число, стоящее в скобках через С:

С = – Ах0 – Ву0

С учетом обозначения получим:

Ах + Ву + С = 0

(4.22)

- общее уравнение прямой, где х, у – текущие координаты.

Справедлива следующая теорема, которую приведем без доказательства.

Теорема. Каждое уравнение первой степени относительно переменных

х и у в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости опре-

деляет некоторую прямую и, наоборот, каждой прямой на плоскости соот

ветствует уравнение первой степени.

l – прямая Ах + Ву + С = 0.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y

l

Положение прямой l на плоскости вполне

определяется заданием ординаты b точки пе-

y

α М

(x;y

)

ресечения прямой с осью Оу и углом α меж-

B

x

ду этой прямой и положительным направле-

α

b

нием оси Ох.

Возьмем на прямой произвольную точку

x

x

0

М(х; у) (рисунок 38). Проведем через

Рисунок 38

точку В ось Вх', параллельную оси Ох

и одинаково с ней направленную. Угол между осью Вх' и прямой равен α. В

системе Вх'у точка М имеет координаты х и у – b. Из определения тангенса

угла следует равенство

tgα =

у − b

, т.е. у = tgα · х

+ b. Введем обозначение

tgα=k, получаем уравнение

х

y = kx + b,

(4.23)

Уравнение (4.23) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом,

где х, у – текущие координаты; b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

y

l

Положение прямой на плоскости вполне определяется

заданием точки М0(х0; у0) и угла её наклона к осиОх.

М0

M

0

(x ; y ) l

уравнение l?

0

0

k = tgα

0

x

Запишем уравнение прямой с угловым коэффици-

Рисунок 39

ентом y = kx + b.

Точка М0(х0; у0) принадлежит прямой, поэтому ее координаты удовле-

творяют данному уравнению:

у0 = kx0 + b,

b = y0 – kx0.

(4.24)

Подставим (4.24) в уравнение (4.23)

y = kx + y0 – kx0,

y - y0 = k(x - x0),

(4.25)

- уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

Положение прямой на плоскости определяется

y

заданием двух точек М1(х1; у1) и М2(х2; у2),

l

M

1

(x ; y ) l

принадлежащих этой прямой

1

1

М

M (x ; y ) l