Васильева М.Е. КЛ_М_Ч1
.pdf0
М.Е. Васильева
МАТЕМАТИКА
Курс лекций
Втрёх частях
Часть 1
Линейная и векторная алгебры. Аналитическая геометрия.
Введение в математический анализ
Новочеркасск
2014
1
Министерство сельского хозяйства Российской Федерации Департамент научно-технологической политики и образования
Новочеркасский инженерно-мелиоративный институт им. А.К. Кортунова
ФГБОУ ВПО «Донской государственный аграрный университет»
М.Е. Васильева
МАТЕМАТИКА
Курс лекций
Втрёх частях
Часть 1
Линейная и векторная алгебры. Аналитическая геометрия.
Введение в математический анализ
Для студ. очной и заочной форм обучения направления 120700.62 «Землеустройство и кадастры»
Новочеркасск
2014
2
УДК 517 (075.8)
В 191
Рецензенты: Янченко Е.А., доц. каф. геодезии, канд. с.-х. наук; Маслак О.Н., доц. каф. математики, канд. техн. наук.
Васильева, М.Е.
В 191 Математика [Текст]: курс лекций для студентов очного и заочного обучения направления 120700.62 - „Землеустройство и кадастры” : в 3-х ч. Ч.1: Линейная и векторная алгебры. Аналитическая геометрия. Введение в математический анализ / М.Е. Васильева; Новочерк. инж.-мелиор. ин-т ДГАУ. - Новочеркасск, 2014. – 74 с.
Курс включает в себя 9 лекций, охватывающих основные вопросы указанных тем, и предназначен для бакалавров очного и заочного форм обучения направления 120700.62 - „Землеустройство и кадастры” при изучении дисциплины «Математика».
Ключевые слова: математика, производная, дифференциал,
функция, множество, определитель, матрица, система уравнений,
вектор, предел, непрерывность, логические связки.
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ........................................................................................................................................... |
5 |
|
Лекция № 1 ....................................................................................................................................... |
6 |
|
Тема: ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ......................................................................... |
6 |
|
1.1 |
Матрицы и их виды .......................................................................................................... |
6 |
1.2 |
Действия над матрицами ................................................................................................. |
8 |
1.3 |
Понятие системы линейных алгебраических уравнений ......................................... |
12 |
1.4 |
Решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью обратной |
|
матрицы .................................................................................................................................. |
12 |
|
1.5 |
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса ........... |
13 |
1.6 |
Контрольные вопросы и задания ................................................................................. |
14 |
Лекция №2 ...................................................................................................................................... |
15 |
|
Тема: ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ ..................................................................... |
15 |
|
2.1 |
Векторы, их классификация.......................................................................................... |
15 |
2.2 |
Линейные операции над векторами............................................................................. |
16 |
2.3 |
Понятие базиса................................................................................................................ |
17 |
2.4 |
Линейные операции над векторами в координатной форме ................................... |
19 |
2.5 |
Задание вектора координатами его начала и конца, модуль вектора .................... |
19 |
2.6 |
Векторное произведение векторов, его свойства ...................................................... |
20 |
2.7 |
Геометрический смысл векторного произведения.................................................... |
21 |
2.8 |
Механический смысл векторного произведения....................................................... |
22 |
2.9 |
Смешанное произведение векторов, координатная форма, геометрический |
|
смысл ...................................................................................................................................... |
22 |
|
2.10 Контрольные вопросы и задания ............................................................................... |
23 |
|
Лекция № 3 ..................................................................................................................................... |
24 |
|
Тема: ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ ....................................................................................... |
24 |
|
3.1 |
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно |
|
заданному вектору ................................................................................................................ |
24 |
|
3.2 |
Общее уравнение прямой, его частные случаи ......................................................... |
24 |
3.3 |
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .................................... |
25 |
3.4 |
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. |
|
Уравнение пучка прямых. ................................................................................................... |
26 |
|
3.5 |
Уравнение прямой с угловым коэффициентом ......................................................... |
27 |
3.6 |
Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых |
|
.................................................................................................................................................. |
|
27 |
3.8 |
Контрольные вопросы и задания ................................................................................. |
29 |
Лекция №4 ...................................................................................................................................... |
29 |
|
Тема: КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА ................................................................................. |
29 |
|
4.1 |
Общее уравнение кривой второго порядка ................................................................ |
29 |
4.2 |
Каноническое уравнение окружности ........................................................................ |
30 |
4.3 |
Каноническое уравнение эллипса ................................................................................ |
31 |
4.4 |
Исследование канонического уравнения эллипса и построение эллипса ............. |
32 |
4.5 |
Каноническое уравнение гиперболы ........................................................................... |
33 |
4.6 |
Исследование формы гиперболы по её каноническому уравнению ...................... |
34 |
4.7 |
Каноническое уравнение параболы ............................................................................. |
36 |
4.8 |
Различные виды параболы ............................................................................................ |
37 |
4.9 |
Контрольные вопросы и задания ................................................................................. |
38 |
Лекция 5 .......................................................................................................................................... |
38 |
|
Тема: Элементы ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ ............................................................. |
38 |
|
5.1 |
Понятие множества ........................................................................................................ |
38 |
|
4 |
|
5.2 |
Операции над множествами и их свойства ................................................................ |
39 |
5.3 |
Язык логики высказываний .......................................................................................... |
41 |
5.4 |
Таблицы истинности для логических связок ............................................................. |
42 |
5.5 |
Равносильные формулы алгебры логики ................................................................... |
44 |
5.6 |
Контрольные вопросы и задания ................................................................................. |
46 |
Лекция № 6..................................................................................................................................... |
47 |
|
Тема: функция. предел функции. БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ И БЕСКОНЕЧНО |
|
|
МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ............................................................ |
47 |
|
6.1 |
Понятие функции ........................................................................................................... |
47 |
6.2 |
Понятие предела функции. Геометрическая интерпретация понятия предела |
|
функции.................................................................................................................................. |
48 |
|
6.3 |
Понятие бесконечно малой величины и её свойства ............................................... |
49 |
6.4 Бесконечно большие величины и их связь с бесконечно малыми ............................. |
49 |
|
6.5 |
Основная теорема теории пределов ............................................................................ |
50 |
6.6 |
Свойства пределов ......................................................................................................... |
51 |
6.7 |
Контрольные вопросы и задания ................................................................................. |
53 |
Лекция № 7..................................................................................................................................... |
53 |
|
Тема: понятие о неопределенностях. ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ. |
|
|
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ ................................................................................................. |
53 |
|
7.1 |
Понятие о неопределенностях. Правило Лопиталя ................................................. |
53 |
7.2 |
Односторонние пределы ............................................................................................... |
54 |
7.4 |
Непрерывность функции в точке и на множестве .................................................... |
55 |
7.5 |
Разрывы функции и их классификация ...................................................................... |
57 |
7.6 |
Свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций ........ |
58 |
7.7 |
Контрольные вопросы и задания ................................................................................. |
59 |
Лекция № 8..................................................................................................................................... |
60 |
|
Тема: ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ...................................................................................... |
60 |
|
8.1 |
Определение производной и ее геометрический смысл .......................................... |
60 |
8.2 |
Механический смысл производной ............................................................................. |
62 |
8.3 |
Производная сложной и обратной функций .............................................................. |
62 |
8.4 |
Производная логарифмической и показательной функций .................................... |
62 |
8.5 |
Логарифмическое дифференцирование. Производная степенной функции ........ |
63 |
8.6 |
Контрольные вопросы и задания ................................................................................. |
64 |
Лекция № 9..................................................................................................................................... |
65 |
|
Тема: ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ПРАВИЛ И ФОРМУЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ И
НЕЯВНО..................................................................................................................................... |
65 |
|
9.1 |
Таблица основных правил и формул дифференцирования ..................................... |
66 |
9.2 |
Понятие дифференциала функции y f x ............................................................ |
69 |
9.3 |
Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала .................... |
69 |
9.4 |
Производные и дифференциалы высших порядков ................................................. |
70 |
9.5 |
Механический смысл второй производной ............................................................... |
71 |
9.6 |
Производная функции, заданной параметрически ................................................... |
71 |
9.7 |
Производная функции, заданной неявно.................................................................... |
72 |
9.8 |
Контрольные вопросы и задания ................................................................................. |
72 |
ЛИТЕРАТУРА........................................................................................................................... |
73 |
|
5
Введение
Математика, используя приемы абстрагирования и идеализации, изучает количественные и пространственные соотношения в многообразии явлений реального мира. Используя законы проявления этих соотношений, она строит модели целых классов реальных и идеальных объектов и процессов, и эти модели служат человеку мощным инструментом в открытии новых законов, новых истин.
Внастоящее время, когда происходит бурный процесс с математизацией наших знаний, крайне важно научиться не только познавать формальные математические сведения, но и овладевать умением применять их к изучению явлений природы и процессов, с которыми приходиться сталкиваться на практике. Математика в сознании будущего инженера должна быть не просто системой знаний, а полнокровным методом исследований, неразрывно связанным с задачами практики.
Первое применение математики и техники вычислений относится еще ко времени возникновения землеустройства (землемерия, межевания). Поэтому математические исследования связывались тогда с определением формул для расчета площадей, точностью вычислений, математической обработкой результатов геодезических измерений.
Вусловиях земельных преобразований существенно возрастают объемы землеустроительных работ в РФ, повышаются требования к обоснованию проектных землеустроительных решений. Произошло почти полное техническое перевооружение землеустроительной службы страны, ее оснащения вычислительной техникой, что позволило поставить математические исследования в землеустройстве на качественно новый уровень. Возникли новые (земельно-информационные системы (ЗИС)) ЗИСтехнологии, на основе которых стали разрабатывать технические проекты землеустройства
свычислением площадей участков и составление проектной экспликации, оптимальные планы размещения посевов сельскохозяйственных культур, трансформации земельных угодий и др. Достаточно широко в землеустройстве для анализа различных процессов связанных с использование земли, а также для поиска оптимальных землеустроительных решений используют дифференциальное и интегральное исчисления, математическую статистику.
Изучение математики и ее методов позволит будущему инженеру приобрести необходимые базовые навыки, расширить кругозор, повысить уровень мышления и общую культуру.
6
Лекция № 1
ТЕМА: ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1.1Матрицы и их виды
1.2Операции с матрицами
1.2.1Линейные операции над матрицами
1.2.2Транспонирование матриц
1.2.4Умножение матриц
1.2.5Обратная матрица
1.3Понятие системы линейных алгебраических уравнений
1.4Решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы
1.5Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
1.6Контрольные вопросы и задания
1.1 Матрицы и их виды
Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы.
Матрицы принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А,В,С…, а их элементы - соответствующими прописными буквами аij , аij , аij …, где i- номер строки, а j- номер столбца, на пересечении кото-
рых находится данный элемент.
Говорят, что матрица, имеющая m строк и n столбцов, имеет размер
(m n).
Так, матрица А, содержащая m строк и n столбцов, имеет вид:
|
a |
a |
a |
|
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
A |
a21 |
a22 |
a2n |
(1.1) |
|
|
|
|
|||
|
|
||||
|
|
am2 |
|
|
|
|
am1 |
amn |
|
|
|
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
Пример1.1 |
А = |
2 |
1 |
4 |
|
|
7 |
2 |
|
|
|
6 |
7
Замечание Числа, являющиеся элементами матрицы, в зависимости от содержания конкретной задачи могут нести различную смысловую нагрузку.
Пример1.2
Таблица 1.1
Показатели |
Капуста |
Картофель |
Многолет- |
|
ние травы |
||||
|
|
|
||
Затраты труда, чел-ч |
50 |
30 |
10 |
|
Затраты органических удобрений, т |
20 |
15 |
10 |
|
Текущие затраты денежных |
600 |
400 |
150 |
|
средств, ден.ед. |
||||
|
|
|
||
Выход валовой продукции, ден.ед. |
1000 |
550 |
200 |
Пример1.3 Таблица 1.2 – Стоимость перевозки 1 ц сена на скотные дворы, ден. ед.
Участки |
|
Фермы |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 молочная |
2 молочная |
Овцеферма |
Конный двор |
1 |
15 |
31 |
17 |
14 |
2 |
20 |
28 |
26 |
21 |
3 |
30 |
14 |
29 |
32 |
4 |
10 |
20 |
19 |
16 |
Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.
Определение. Единичной матрицей называется квадратная матрица вида:
1 |
0 ... |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 ... |
0 |
|
|
|
Е = |
|
, |
(1.2) |
|||
|
|
... ... |
... |
|
|
|
... |
|
|
|
|||
|
0 |
0 ... |
1 |
|
|
|
т.е. единичная матрица – это квадратная матрица, у которой по главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы – нули.
Определение. Матрица A, размера (1 n), называется матрицей строкой
A (a11 a12 a13 a1n ). (1.2)
Определение. Матрица В, размера (m 1), называется матрицей -
столбцом
8
b |
|
|
|
|
11 |
|
|
b |
|
|
|
B |
21 |
. |
(1.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
bm1 |
|
|
|
Определение. Матрица, состоящая из одного элемента, отождествляется с этим элементом, т.е. (a11) a11.
Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается О.
Определение. Матрицы одинакового размера называются равными, если их соответствующие элементы равны.
1.2 Действия над матрицами
1.2.1 Линейные операции над матрицами и их свойства
Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера.
Определение. Суммой (разностью) матриц одинакового размера называется матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц, т.е.
a11 |
a12 |
|
b11 |
b12 |
|
a11 b11 |
a12 b12 |
|
||
Если A a |
a |
|
и B b |
b |
, то |
A B a |
b |
a |
b |
. |
21 |
22 |
|
21 |
22 |
|
21 |
21 |
22 |
22 |
|
Определение. Операция умножения матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению каждого элемента матрицы на это число, т.е.
|
a |
a |
... |
a |
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
||
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
||
A |
... |
... ... ... |
. |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
am1 |
am2 |
... |
|
|
|
|
amn |
|||||
Замечание. Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера.
Свойства линейных операций:
1.Сложение матриц подчиняется переместительному (коммутативному) закону A + B = B + A.
2.Сложение матриц обладает сочетательным (ассоциативным) законом
(A + B) + C = A + (B + C).
3. Существует нейтральный элемент, при сложении с которым матрица
9
не изменяется A + 0 = A, где 0- нуль – матрица.
4.Существует противоположный элемент, т.е. для любой матрицы A найдется матрица (-A), которая в сумме с матрицей A дает нейтральный элемент (нуль-матрицу) A + (-A) = 0. Матрица (-A) называется противоположной к матрице A.
5.Умножение матрицы на число распределительно относительно суммы
матриц (A + B) = · A + · B.
6.Умножение матрицы на число распределительно относительно суммы чисел ( + ) · A = · A + · A.
7.Умножение матрицы на число сочетательно относительно числового
множителя ( · A) = ( · ) · A.
8. Существует нейтральный скаляр, при умножении на который, матрица не изменяется 1 · A = A.
|
0 |
2 |
3 |
4 2 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.4 Даны матрицы А = |
4 |
1 |
4 |
|
и В = |
0 |
7 |
8 |
. Найти ли- |
|
3 |
2 |
0 |
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||
нейную комбинацию матриц А – 5В.
Решение. Под линейной комбинацией понимают выражение, содержащее действия сложения, вычитания и умножения на число. Выполним следующие действия:
|
20 |
10 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1) 5В = |
0 |
35 |
40 |
|
|
5 |
10 |
20 |
|
|
|
|||
|
0 |
2 |
3 |
|
20 10 |
5 |
20 |
8 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) А – 5В = |
4 |
1 |
4 |
|
- |
0 |
35 40 |
|
= |
4 |
34 36 |
||
|
3 |
2 |
0 |
|
|
5 |
10 |
20 |
|
|
2 |
8 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.2 Транспонирование матриц
Определение. Матрица АТ называется транспонированной по отношению к матрице А, если ее строки являются столбцами матрицы А. Причем, если
размерность матрицы А есть m n, то размерность |
AT будет n m. |
|||||
Замечание. |
Операция |
транспонирования, |
осуществленная |
|||
последовательно дважды, дает исходную матрицу: (AT )T A. |
||||||
Пример 1.5 |
Даны матрицы |
2 |
1 |
4 |
10 |
5 |
A |
и |
B |
|
. Транспониро- |
||
|
|
3 |
0 |
8 |
0 |
7 |
вать матрицы А и В.