Васильева М.Е. КЛ_М_Ч1

Добавил:

Yuppie_ModeratorNGMU Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный медицинский университет

Предмет:

Математика

Файл:

Формулы (2.13) и (2.14) выражают геометрический смысл смешан-

ного произведения.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

1.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

			20
	АВ= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).									(2.6)
Длина вектора определяется как расстояние между точками начала и
конца вектора. Если заданы две точки в пространстве
А(х1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), то

	AB	(x	x )2	(y	2	y )2	(z	2	z )2 .	(2.7)
		2	1		2	1		2	1

2.6 Векторное произведение векторов, его свойства

Определение. Векторным произведением двух векторов a и b называ-

ется такой третий вектор с , который удовлетворяет следующим условиям:

1)Модуль вектора с равен произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними:

ña b a b sin(a, b)

2)Вектор с перпендикулярен перемножаемым векторам, т.е.

c a, c b.

3) Векторы a , b, с - образуют правую	c	b
тройку векторов, т.е. направление векто-	c	b
тройку векторов, т.е. направление векто-
ра с таково, что если смотреть из его		a
конца вдоль вектора, то кратчайший по-

ворот от вектора a к вектору b виден Рисунок 2.9 совершающимся против движения часовой стрелки (рисунок 2.9).

Векторное произведение обозначается a b.

Cвойства векторного произведения.

1.При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак: a b b a .

2.Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно числового множителя:

(a b) ( a) b a ( b) .

3.Векторное произведение обладает распределительным свойством:

a (b c) a b a c .

4.Если векторное произведение двух векторов равно нуль-вектору, то

либо равен нуль-вектору один из перемножаемых векторов, либо векторы коллинеарны.

Отсюда следует условие коллинеарности двух векторов: для того,

чтобы два ненулевых вектора a и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нуль -вектору:

a || b a b 0 .

Если векторы заданы своими координатами, т.е. a (ax ,ay ,az ) и b (bx ,by ,bz ) в декартовой прямоугольной системе координат, то

a b=

(2.8)

b x

b y

b z

Формула (2.8) выражает векторное произведение 2-х векторов, заданных своими координатами и называется координатной формой век-

торного произведения.

2.7 Геометрический смысл векторного произведения

c	b
	a
	Рисунок 2.10

Из определения векторного произведения имеем: ñ a b a b sin(a, b) .

Построим на векторах a и b, как на сторонах, параллелограмм, площадь которого, как известно из школьного курса геометрии, опре-

деляется так: S a b sin(a, b) .

Следовательно, модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах:

S			.
S	a	b	.	(2.9)

Учитывая, что площадь треугольника, построенного на векторах

a и b, равна половине площади параллелограмма (рисунок 2.10), можно записать:

											1
								S			1	a b			.							(2.10)
											2											(2.10)
											2
Пример 2.2.				Вычислить площадь треугольника с вершинами А(0, 1, 3),
В(-1, 2, 0), С(2, 0, 5).
Решение. Найдем координаты любых двух векторов, выходящих из одной
вершины треугольника, например AC (2; 1; 2),																	AB ( 1;1; 3) ,
Вычислим векторное произведение:


		i		j		k				1	2			2 2			2	1
		i		j		k

	AC AB	2		1	2		i		1		3		j	1 3		k	1	1	i (3 2)			j( 6 2)
		1		1	3
		1		1	3

k (2 1) i				4 j k.			Найдем модуль полученного вектора:

	AC AB																	S		18	(ед2).
			1 16 1				18, отсюда согласно (2.10)													18
			1 16 1				18, отсюда согласно (2.10)
																			2
																			2

2.8 Механический смысл векторного произведения

Пусть мы имеем плоское тело, например, лист бумаги, которое закреплено в точке О, называемой центром. Приложим в точке А

этого тела силу F AB . Тогда под действием этой силы тело начнет вращаться вокруг точки О, в которой возникает вращательный момент. Из школьного курса физики известно, что это – вектор, величина

M	B
	B
r	F
r
O	A
	A
	Рисунок 2.11

которого равна произведению длины плеча силы на величину силы F и на синус угла между ними M OA F sin ; этот вектор перпендикулярен

плоскости, проходящей через точки О, А, В и образует правую тройку с век-

торами OA r и AB F . Следовательно,

					,
M		r		F	,	(2.11)

т.е. момент M силы F относительно точки О равен векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы r OA на вектор си-

лы F .

2.9 Смешанное произведение векторов, координатная форма, геометрический смысл

Определение. Смешанным произведением трех векторов a , b и с назы-

вается число, равное скалярному произведению вектора a на вектор, рав-

ный векторному произведению векторов b
ный векторному произведению векторов b						и с . Обозначается		abc .

	Если векторы заданы своими координатами a ( x1 , y1 , z1 ),

b	(x2 , y2 ,z2 ) , c (x3, y3,z3), то их смешанное произведение равно
				x1	y1	z1
	a		c	x2
	a	b	c	x2	y2	z2	.	(2.12)
				x3	y3	z3
	Формула (2.12) называется координатной формой смешанного про-
изведения.

	Смешанное произведение abc				по модулю равно объему паралле-
лепипеда, построенного на векторах a ,
лепипеда, построенного на векторах a ,					b и с (рисунок 2.12).

	Vпараллел. a b c .	(2.13)
a

Рисунок 2.12

Объем треугольной пирамиды, образованной векторами a , b и с , находят по формуле:

2.10Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определение вектора и его модуля.

2.Какие векторы называются коллинеарными, компланарными?

3.Перечислите линейные операции над векторами. Сформулируйте правила выполнения линейных операций над векторами.

4.Как сложить векторы, если они заданы в координатной форме?

5.Какие векторы называют линейно зависимыми, линейно независимыми?

6.Дайте определение базиса на плоскости, базиса в пространстве.

7.Какой базис называют ортонормированным? Приведите пример ортонормированного базиса в пространстве.

8.Запишите формулу разложения вектора а по ортонормированному базису на плоскости (в пространстве). Что называют координатами вектора?

9.Что называют векторным произведением двух векторов?

10.Запишите формулы для вычисления векторного, смешанного произведений векторов, если векторы заданы своими координатами.

11.В чем заключается геометрический, механический смысл векторного произведения?

12.Что называют смешанным произведением векторов? Чему равно смешанное произведение векторов, если векторы компланарны?

13.Чему равен объем параллелепипеда, пирамиды, построенных на трех некомпланарных векторах?

Лекция № 3

ТЕМА: ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

3.1Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору

3.2Общее уравнение прямой, его частные случаи

3.3Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

3.4Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Уравнение пучка прямых

3.5Уравнение прямой с угловым коэффициентом

3.6Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

3.7Контрольные вопросы и задания

3.1Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору

Пусть задана некоторая прямая L на плоскости. Пусть задана точка

M0(x0 , y0), лежащая на прямой,			и вектор N ( A, B ), перпендикулярный
прямой L (рисунок 3.1). Вектор			N ( A, B ) называют нормалью или нор-
мальным вектором.
		y
			L
		(A, B)
	N	(A, B)	M0(x0, y0)
			M0(x0, y0)

M(x, y)

Рисунок 3.1

Рассмотрим текущую точку M(x, y) на прямой L. Найдем координаты вектора M0M (x x0 , y y0 ) . По условию N M0M , следовательно, скалярное произведение векторов N M0M 0.

А (x x0) B (y y0) 0

(3.1)

Уравнение (3.1) задает прямую, проходящую через данную точку M0(x0 , y0) перпендикулярно заданному вектору N ( A, B ).

3.2 Общее уравнение прямой, его частные случаи

Теорема. Всякая прямая на плоскости задается уравнением первой степени относительно текущих координат

A x B y C 0,

(3.2)

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А2 + В2 0; и наоборот, всякое уравнение первой степени задает прямую на плоскости. Доказательство:

1. Докажем прямую теорему: Всякая прямая на плоскости задается

уравнением первой степени относительно текущих координат

A x B y C 0.

Пусть нам задана прямая, проходящая через точку M0(x0 , y0), перпендикулярно заданному вектору N ( A, B ). Её уравнение имеет вид

A (x x0 ) B (y y0 ) 0.

Раскроем скобки в уравнении и приведем подобные члены:

Ax Ax0 By By0 0, Ax By ( Ax0 By0 ) 0

Обозначим слагаемое ( A x0 B y0 ) через С и получим уравнение Ax By C 0, что и требовалось доказать.

2. Докажем обратную теорему: Всякое уравнение первой степени (3.2) задает прямую на плоскости.

Пусть нам задано уравнение (3.2). Покажем, что это уравнение задает прямую на плоскости. Пусть один из коэффициентов А или В не равен 0, для определенности будем считать B 0. Разделим каждый член уравне-

ния (3.2) на B 0 и получим	A	x y C	0, перепишем полученное

	B	B

уравнение в виде	A	(x 0) 1 (y ( C)) 0 . Последнее уравнение за-
уравнение в виде		(x 0) 1 (y ( C)) 0 . Последнее уравнение за-
	B	B
дает конкретную прямую, проходящую через точку M 0				C
дает конкретную прямую, проходящую через точку M 0			0,	пер-
				B

	A
пендикулярно вектору	N	, 1 , что и требовалось доказать.

	B

Рассмотрим частные случаи прямой на плоскости:

В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны следующие частные случаи:

1.C = 0, А 0, В 0{ Ах+By = 0} – прямая проходит через начало координат;

2.А = 0, В 0, С 0{ By + C = 0} – прямая параллельна оси Ох;

3.В = 0, А 0, С 0{ Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу;

4.В = С = 0, А 0{А х = 0 или х=0} – прямая совпадает с осью Оу;

5.А = С = 0, В 0{ By = 0 или у=0} – прямая совпадает с осью Ох.

3.3 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть на прямой заданы две точки M1(x1, y1) и M2(x2, y2) (рисунок 3.2). Получим уравнение прямой L, проходящей через эти точки.

Пусть M(x, y) – текущая точка на прямой L, найдем координаты векторов:

M1M (x x1 , y y1) , M1M2 (x2 x1 , y2 y1).

Векторы M1M и					M1M2 коллинеарны, и,
следовательно, их координаты пропорциональны:
	x x1		y y1			.						Рисунок 3.2
						.						Рисунок 3.2
	x	x	y	2	y
2		1		2	1
Получили, что уравнение
							x x1		y y1			(3.3)
											y	(3.3)
							x	x	y	2	y
					2			1		2	1

задает прямую, проходящую через две заданные точки.

3.4Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. Уравнение пучка прямых.

Рассмотрим прямую L не параллельную оси ОУ. Пусть на прямой задана точка M0(x0 , y0) и задан угол наклона прямой к оси ОХ – угол α.

y	L

		M(x, y)
S		M(x, y)
	M0	(x0, y0 )
	M0	(x0, y0 )
		x
		x
0
Рисунок 3.3

Рассмотрим единичный вектор s коллинеарный прямой L. Найдем коор-

динаты вектора s :

s ( s cos ; s sin ) (cos , sin ),

так как s 1 по условию.

Найдем координаты вектора M 0 M , где M(x, y) – текущая точка.

M0M (x x0 , y y0 ). Вектор s коллинеарен прямой L, следовательно,

он коллинеарен и вектору M 0 M , лежащему на прямой L.
Таким образом,		координаты векторов s и M 0 M пропорциональны, т.е.
						x x0		y y0	.
						cos			.
						cos		sin
Умножим обе части полученного равенства на sinα:
sin (x x ) ( y y			0	)	или (y y ) tg (x x ) , или (y y ) k(x x ) .
cos	0		0		0		0			0	0
cos
Полученное уравнение					(y y0 ) k(x x0 ),
					(y y0 ) k(x x0 ),						(3.4)

где k tg , называют уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении, а k tg называют угловым коэффициен-

том прямой.

Если зафиксировать точку M0(x0 , y0), а k tg

считать переменной величиной, то уравнение (3.4) будет задавать пучок прямых (рисунок 3.4), поэтому уравнение (3.4) еще называют уравнением пучка прямых, а точку M0 центром пучка прямых.

Рисунок 3.4

3.5 Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть задан угол наклона прямой L к положительному направлению оси ОХ – угол α и отрезок b, отсекаемый этой прямой на оси ОУ от начала координат.

Точку пересечения прямой L с осью ОУ обо-

значим	В(0, b). В уравнение (3.4) подставим ко-
ординаты точки В(0, b) и получим:
(y b) k(x 0) или		y kx b .
Рисунок 3.5
Уравнение	y kx b	(3.5)

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

3.6Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть заданы две прямые L1 и L2. Прямая L1 образует с положительным направлением оси OX угол α1, а прямая L2 - угол α2. Проведем через точку пересечения прямых прямую параллельную оси OX. Обозначим

угол между прямыми L1 и L2 через

2 1 .

Рисунок 3.6
Тогда tg tg(		)		tg		2	tg	k2	k1
	2					2	1			.
										.
		1	1		tg 2 tg 1			1 k2k1
			1		tg 2 tg 1			1 k2k1

Таким образом, тангенс угла между прямыми L1 и L2 или L2 и L1 равен:

Зная

(3.6)

1 k

tg ,

легко найти сам угол .

Очевидно, что параллельные прямые образуют с

осью OX один и тот же угол, поэтому, угловые коэф-

фициенты параллельных прямых равны, т.е.

k1 k2

(3.7)

Формула (3.7) задает условие параллельности

прямых.

Рисунок 3.7

Если l2 l1,

тоtg tg

а ctg ctg

ctg 1 k2 k1 0 , следовательно

k2 k1

1 k2 k1 0,

k2 k1

Рисунок 3.8

(3.8)

Формула (3.8) задает условие перпендикулярности прямых. Таким образом, угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых взаимнообратны по величине и противоположны по знаку.

Пример 3.1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(5, -2) и начало координат.

Решение. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки О(0,0) и А(5, -2). Уравнение прямой (3.3) имеет вид:

x x1

y y1

. Положим х

= у

= 0;

= 5; y = -2 и получим

x2 x1

y2 y1

x 0

y 0

; или

; или 3x 5y 0

5 0

2 0

Пример 3.2. Даны вершины треугольника А(1; 4), B(7; 8), C(2; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Решение. Воспользовавшись формулой (3.3), найдём уравнение стороны АВ, проходящей через две точки А и В:

x 1	y 4	;	x 1		y 4	; 4х-4 = 6y – 24; 2x – 3y +10 = 0;	y 2 x 10.
7 1	8 4
			6	4			3

Отсюда kAB 23.

Пусть искомое уравнение высоты имеет вид: y = kx + b.

Согласно (3.8) kh 32. Получаем уравнение высоты: y = 23 x b .

Высота проходит через точку С. Подставим координаты точки С в уравнение высоты и получим: 1 32 2 b, откуда b = 2. Окончательно получаем

уравнение высоты:	y 3 x 2	или 3x + 2y +4 = 0.
	2

3.8Контрольные вопросы и задания

1.Запишите уравнение прямой: а) проходящей через две заданные точки; б) с угловым коэффициентом; в) проходящей через данную точку в данном направлении (пучка прямых); г) проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору; д) общее.

2.Чему равен угловой коэффициент прямой?

3.Что такое пучок прямых?

4.Запишите уравнение прямой, проходящей через начало координат.

5.По какой формуле вычисляют угол между прямыми?

6.Запишите условие перпендикулярности прямых. Как установить по уравнениям прямых, что заданные прямые перпендикулярны, не строя эти прямые?

7.Запишите условие параллельности прямых. Запишите уравнение прямых, проведенных через точку (2; -7) параллельно оси абсцисс и оси ординат.

Лекция №4

ТЕМА: КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

4.1 Общее уравнение кривой второго порядка

4.2 Каноническое уравнение окружности

4.3 Каноническое уравнение эллипса

4.4 Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению

4.5 Каноническое уравнение гиперболы

4.6 Исследование формы гиперболы по её каноническому уравнению

4.7 Каноническое уравнение параболы

4.8 Различные виды параболы.

4.9 Контрольные вопросы и задания

4.1 Общее уравнение кривой второго порядка

Будем говорить, что кривая является алгебраической, если ее уравнение ( x, y ) 0, где ( x , y ) – многочлен от двух переменных. Ниже бу-

дем рассматривать только алгебраические кривые.

Назовем порядком выражения xm yn число m+n , а порядком многочлена от двух переменных назовем наивысший из порядков выражений

вида axm byn , образующих многочлен.

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математика

#
13.03.20161.65 Mб11Васильева М.Е. КЛ_М_Ч1.pdf
#
30.03.2015112.27 Кб45Зачетный тест математика.docx
#
13.03.20161.11 Mб11Кравченко Н.И. УП_М_Ч2.pdf
#
13.03.2016932.79 Кб9Маслак О.Н. УП_ТМЭАЛ.pdf
#
13.03.20164.7 Mб267Математика итоговый тест.doc
#
30.03.201529.23 Кб25математика.docx