Маслак О.Н. УП_ТМЭАЛ

N(х, у) є L F(х, у) = 0.

z

L

M

y

0

l

Рисунокl 64

x

N

Рисунок 65

y

x

100

z

z

0

х

y

x

Рисунок 67

у

Рисунок 68

Конические поверхности

Определение. Конической поверхностью или просто конусом называется

поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими

через данную точку, называемую вершиной конуса и пере-

секающими данную линию L. При этом линия L называется

направляющей, а каждая из прямых - образующей кониче-

ской поверхности.

Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат, осью

которого служит ось Оz имеет вид:

х2

+

у2

−

z2

= 0.

а2

b2

c2

z

Для определения формы конуса достаточно

пересечь его произвольной плоскостью, не прохо-

дящей через его вершину. Пересечем данный ко-

y

нус плоскостями, параллельными плоскости хОу.

x

Каждая из таких плоскостей определяется

уравнением z = h, а линия, получаемая в сечении –

х2

у2

z2

= 0;

х2

у2

h2

Рисунок 69

уравнениями

а2

+ b2

− c2

а

2 +

b

2 =

c

2 ,

z = h

z = h,

которые определяют эллипсы с полуосями а и b, расположенные симмет-

рично относительно координатных плоскостей хОz и уОz (рисунок 69).

При а = b имеем поверхность кругового конуса.

Аналогично уравнения

х2

−

у2

+

z2

= 0,

−

х2

+

у2

+

z2

= 0

являются урав-

а2

b2

c2

а2

b2

c2

нениями конусов второго порядка с вершиной в начале координат, осями

которых служат соответственно оси Оу и Ох.

Поверхности вращения

Приведем уравнения поверхностей вращения второго порядка, образуе-

мых вращением эллипса, гиперболы и параболы вокруг их осей симметрии.

101

Эллипсоид

z

Поверхность, которая в прямоугольной

системе прямоугольных координат опреде-

ляется уравнением

х2

+

у2

+

z2

= 1 называет-

а2

b2

c2

h

y

ся эллипсоидом (рисунок 70).

Исследуем форму эллипсоида методом па-

x

раллельных сечений. Так как х, у, z входят в

уравнение в четной степени, то эллипсоид

Рисунок 70

симметричен относительно всех координат-

ных плоскостей. Эллипсоид не проходит через начало координат. Пересе-

чем эллипсоид плоскостями, параллельными плоскости хОу. Каждая такая

плоскость определяется уравнением z = h, а линии, получаемые в сечении,

определяются уравнением

х2

+

у2

=

1

−

h2

;

x2

+

y2

= 1.

а

2

b

2

c

2

2

h

2

2

h

2

a

−

2

b

−

2

1

c

1

c

Данное уравнение при |h| < с определяет цилиндрическую поверх-

ность с направляющей, заданной полученным уравнением, которое дает

нам эллипс с полуосями а′ =

а

1−

h2

,

b′ = b

1−

h2

.

c2

c2

При возрастании h от 0 до |h| < с величины а' и b' убывают, а при h = ±

с обращаются в нуль.

Аналогичная картина имеет место при пересечении эллипсоида плос-

костями у = h

(|h| < b) и х = h

(|h| < а). Можно показать, что в сечении

будут также находиться эллипсы.

При а = b эллипсоид представляет собой сферу. В частности, при

а = b = с = R получается уравнение х2 + у2 + z2 = R – это уравнение сферы

с центром в начале координат и радиусом R.

Гиперболоиды

z

Однополостный гиперболоид

Поверхность, которая в прямоугольной системе

координат определяется уравнением

х2

+

у2

−

z2

= 1

а2

b2

c2

0

y

называется однополостным гиперболоидом

x

(рисунок 71).

Рисунок 71

Подписано к печати

Тираж

Формат 60×84 1/16

Объем

Заказ