Маслак О.Н. УП_ТМЭАЛ

89

нием оси Ох.

Опустим перпендикуляр МК на ось Ох. Тогда в полученном прямоугольном треугольнике ОКМ имеем: х = ОК – абсцисса точки М, у = КМ –

ордината точки М, ОМ = R - радиус-вектор этой же точки (рисунок 48). Следовательно, параметрические уравнения окружности с центром в начале координат запишем в виде

Чтобы от параметрических уравнений вида (4.36) перейти к уравнению (4.35) необходимо исключить из (4.36) параметр t, учитывая область изменения х и

(x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2а,

(x + c)2 + y 2 = 2a − (x − c)2 + y 2 .

Возведем обе части уравнения в квадрат

(x + c)2 + y 2 = 4a 2 − 4a (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 , x2 + 2xc + c2 + y2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y2 + x2 − 2xc + c2 + y2, 4xc − 4a 2 = −4a (x − c)2 + y 2 ,

xc − a 2 = −a (x − c)2 + y 2 ,

Возведем обе части уравнения в квадрат x2c2 − 2a 2xc + a4 = a2(x2 − 2xc + c2 + y 2) ,

x2c2 − 2a 2xc + a4 = a2x2 − 2a2xc + a2c2 + a2 y 2,

90

x2(a2 − c2) + a2 y 2 = a2(a2 − c2) .

- каноническое уравнение эллипса, где b2 = a2 − c2.

Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению

1. Так ка координаты точки О(0; 0) не удовлетворяет уравнению эллипса:

Следовательно, эллипс пересекает ось Ох в точках А1(−а; 0), А2(а; 0), которые называют вершинами эллипса.

В1(0; b), B2(0; −b) – вершины эллипса на оси Оу. Таким образом, эллипс имеет четыре вершины:

ных степенях, то эллипс симметричен относительно координатных осей, а следовательно, эллипс симметричен относительно начала координат. Поэтому форму эллипса можно исследовать только в I четверти, а в остальных

Из этого уравнения следует, что х существует, если b2 – y2 ≥ 0 или 0 ≤ у ≤ b (I четверть).

При увеличении х значения у в выражении (4.38) убывают и наоборот. Построим эллипс в I четверти и достроим его по принципу симметрии в остальных четвертях. Точки эллипса расположены в промежутке между вершинами эллипса. Следовательно, эллипс представляет собой овальную замкнутую кривую, изображенную на рисунке 50.

Отрезок А1А2 = 2а называют большой осью, а отрезок В1В2 = 2b – малой осью эллипса; F1F2 = 2c – фокусным расстоянием.

y

В2(0;b)

F1(-c;0) F2(c;0) A2(a;0)

причем 0 < ε < 1, так как 0 < с < а. С учетом зависимости между параметрами эллипса, формулу (4.40) можно переписать в виде:

Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем меньше эксцентриситет, тем больше отношение bа его полуосей приближается к единице; если положить ε = 0, то а = b и эллипс превращается в окружность. И наоборот, чем больше ε стремится к 1, тем меньше отношение полуосей, т.е. bа стремится к нулю и эллипс более вытянут по оси Ох.

Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная ±2а.

динаты; а, b – параметры гиперболы.

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению

1. Так как координаты точки О(0; 0) не удовлетворряют уравнению гипер-

бола не проходит через начало координат.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат:

94

прямой х = - а, которые называются ее ветвями (рисунок 51). Отрезок А1А2 = 2а называют действительной осью, отрезок

В1В2 = 2b – мнимой осью гиперболы, а отрезок F1F2 = 2c - фокусным расстоянием.

Асимптоты гиперболы

Определение. Асимптотой кривой у = f(x) называется прямая, расстояние до которой от любой точки М, лежащей на кривой, стремится к нулю по мере удаления этой точки по кривой от

начала координат: lim МN = 0

х→±∞

ные соответственно на гиперболе и прямой.

Опустим из точки М гиперболы перпендикуляр прямую y = ba x и обозна-

чим основание его через N. Следовательно, МN есть расстояние от точки М до прямой. Найдем разность МК между ординатами прямой и ветви гипер-

Как видно, по мере возрастания х знаменатель дроби увеличивается; числитель есть постоянная величина. Стало быть, длина отрезка МК стремится к нулю. Так как МК больше МN (как гипотенуза прямоугольного треугольника МNК), то МN и подавно стремится к нулю при х стремящемся

к бесконечности. Следовательно, прямая y = ba x является асимптотой гиперболы. Так как гипербола симметрична относительно координатных осей, то прямая y = − ba x также является асимптотой.

96

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной оси ε = 22ac = ac > 1.

С учетом зависимости между параметрами гиперболы, данную формулу

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше ε, тем меньше отношение bа её полуосей, т.е. полуось а должна быть намного больше полуоси b, а значит, её основной прямоугольник вытянут по оси Ох.

Парабола

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равно удаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Введем декартову систему координат следующим образом. Ось Ох будет проходить через фокус и перпендикулярно к директрисе, а ось Оу проведем посередине между фокусом и директрисой и перпендикулярно к Ох.

Расстояние от фокуса до директрисы обозначим через р и назовем это число параметром параболы.

Возведем обе части уравнения в квадрат

Исследование формы параболы по ее каноническому уравнению

1.Таккакприх= 0 имеему= 0, топараболапроходитчерезначалокоординат.

2.Каноническое уравнение у2 = 2px содержит у в четной степени, следовательно, парабола симметрична относительно оси Ох, которая называется фокальной осью. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы, следовательно, О(0; 0) – вершина.

Чтобы исследовать форму параболы представим уравнение (4.46) в

виде у = ± 2рх . Правая часть существует, если 2рх ≥ 0 х ≥ 0. Следова-

тельно, все точки параболы расположены правее оси Оу.

При неограниченном возрастании х абсолютная величина у также неограниченно возрастает.

Парабола, заданная уравнением у2 = 2рх изображена на рисунке 58.

Различные виды парабол

Уравнениеу2 = – 2рхтакжеопределяетпараболу, изображеннуюнарисунке60. Если фокальную ось принять за ось ординат, то будем иметь следую-

щие виды парабол:

98

Трехчленное уравнение параболы

Если вершина параболы не лежит в начале координат, то её уравнение имеет вид: у = ах2 + bх + с или х = ау2 + bу + с, где а ≠ 0, b и с – любые

действительные числа.

Рассмотрим параболу, заданную уравнением у = ах2 + bх + с. Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх (рисунок 62),

при а < 0 – вниз. Координаты вершины параболы точки С(х0; у0) находят из

соотношения x0 = − 2ba ; у0 = у(х0).

Для параболы, заданной уравнением х = ау2 + bу + с при а > 0 ветви параболы направлены вправо (рисунок 63), при а < 0 влево. Аналогично

4.6 Поверхности второго порядка

Определение. Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая в декартовой системе координат уравнением 2-й степени относительно текущих координат х,у,z.

Уравнение цилиндрической поверхности

Определение. Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, полученная параллельным переносом прямой линии l вдоль точек кривой L.

При этом L называется направляющей, а множество всех прямых – образующими цилиндрической поверхности (рисунок 63). В дальнейшем будем рассматривать такие поверхности, у которых направляющая L лежит в какой-либо из координатных плоскостей, а образующая l параллельна с

а образующая l || Оz.

Покажем, что цилиндрическая поверхность также определяется уравнением (4.47), но отнесенным к системе координат Охуz.

Доказательство. Проведем образующую через точку М, которая в пересечении с направляющей даст точку N (рисунок 65). Полученная точка N –