1.9.8. Закон Релея (эксцентриситета)

Распределение таких существенно положительных величин как эксцентриситет, биение, разностенность, непараллельность, неперпенди­куляр­ность, овальность, конусообразность характеризуется их абсолютными значениями (без учета знака) подчиняется закону распределения эксцентриситета (закон Релея).

Распределение по закону Релея формируется тогда, когда случайная величина R_с представляет собой геометрическую сумму двух случайных величин Х и У (рис. 1.25), т.е.

, (1.57)

каждая из которых подчиняется закону Гаусса.

Закон Релея однопара­метрический, и уравнение его кривой распределения имеет вид:

, (1.58)

где σ – среднее квадратическое отклонение значений координат х и у.

Для теоретической кривой распре­деле­ния по закону Релея (рис. 1.26) характерны кру­­той подъем восходящей ветви и более пологий спуск нисходящей ветви, вершина кривой более заострена, чем у кривой нормального распределения, и смещена от среднего значения переменной величины R_c в сторону начала координат. Из уравнения (1.58) следует, что при R_c = 0, y = 0, т.е. начало кривой распределения эксцентриситета совпадает с началом координат. Нисходящая ветвь этой кривой асимптотически приближается к оси абсцисс.

Основными параметрами закона Релея являются:

• R_ср  среднее арифметическое пере­мен­ной случайной величины;

• σ_Rс  среднее квадратическое отклоне­ние R_c;

• σ  среднее квадратическое отклонение значений координат х и у конца радиус-вектора R_c.

Они связаны между собой следующими соотношениями:

σ = σ_Rс / 0,655; R_ср = 1,92 ×σ_Rс = 1,257 × σ . (1.59)

Фактическое поле рассеяния значений переменной величины радиус-вектора R_c находят из выражений:

ω = 5,252 σ _Rс = 3,44 σ. (1.60)

При распределении Релея, когда фактическое поле рассеяния превосходит поле допуска ( > ), возможно появление брака (рис. 1.26).

Общую площадь F(R_c), ограниченную кривой распределения, находят по интегральному закону распределения эксцентриситета:

, (1.61)

который после подстановки величин t = R_c/σ принимает нормированный вид

(1.62)

и табулируется аналогично функции Лапласа (табл. П.4).

Пример 1.5. Рассчитать вероятный процент брака, если допуск на изготовление детали равен  = 0,04 мм. В результате непосредственных измерений первых 25 деталей установлено среднее квадратическое отклонение S = 0,009 мм.

Решение. Расчетное значение среднего квадратического отклонения находим по формуле σ = k_×S и табл.1.3 σ_Rc = σ = k_∙S = 1,4∙0,009 = 0,0126 мм.

Фактическое поле рассеяния значений эксцентриситета – по формуле (1.60): ω = 5,252σ_Rc = 5,252∙0,0126 = 0,0662 мм.

При R_c=  = 0,04 мм и t = 0,655 /σ_Rc = 0,655∙0,04/0,0126 = 2,08. В соответствии с табл. П.4. Ф(t) = 0,8851, т.е. количество годных деталей составляет 88,51% и количество брака – оставшиеся 11,49%.

1.9.9. Треугольный закон распределения (закон Симпсона)

К распределению по закону Симпсона приводит сложение двух случайных величин, подчиненных закону равной вероятности при одинаковых параметрах рассеяния. Кривая рассеяния имеет вид равнобедренного треугольника (рис. 1.27), из-за чего закон Симпсона часто называют законом треугольника.

При выборе в качестве начала отсчета случайной величины ее плотность распределения и математическое ожидание имеют следующий вид:

, (1.63)

M_x = 0 , , . (1.64)