2. Меры положения и рассеяния кривой распределения

Кривая распределения плотностей вероятностей случайной величины характеризуется своим положением на оси абсцисс и рассеиванием случайной величины. Для оценки положения и рассеяния кривой распределения вводятся соответствующие критерии или меры.

К мерам положения относятся: мода, математическое ожидание и медиана случайной величины.

К мерам рассеяния относятся: стандартное отклонение, дисперсия и размах.

Функция распределения плотности вероятностей может иметь одно или несколько максимальных значений в разных местах области (рис. 1.4). Значение случайной величины X, при котором f(x) принимает максимальное (наиболее вероятное) значение в окрестности какого-либо значения случайной величины х, называется модой распределения (Mо).

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений

. (1.5)

Это определение справедливо для дискретных случайных величин. Для непрерывных величин математическое ожидание случайной величины X, имеющей плотность распределения f(х), вычисляется по формуле

. (1.6)

Статистической оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значение случайной величины

. (1.7)

Математическое ожидание (среднее арифметическое значение) случайной величины называют часто центром рассеяния или центром группирования случайной величины. Математическое ожидание является оценкой истинного значения измеряемой величины.

Медианой (Ме) случайной величины называется значение, для которого

Р(х < Ме) = Р(х > Ме),

т.е. вероятность появления случайной величины меньшей, чем медиана, или большей, чем медиана, одинакова (рис.1.5).

Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам

.

В случае симметричного одномо­дульного распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой, т.е.

Ме = М_х = Мо.

Так как величина Х является случайной, то фактические значения ее будут лежать как правее, так и левее среднего значения.

Мерой рассеяния случайной величины Х около ее среднего значения служитстандартное (или среднее квадратическое) отклонение 

. (1.8)

Для непрерывной случайной величины  определяется по формуле

. (1.9)

Когда оценка стандартного отклонения осуществляется на основе статистических данных, ее называют выборочным средним квадратическим отклонением, обозначают буквой S и определяют по формуле

. (1.10)

С целью экономии времени и уменьшения ошибок при подсчетах S, когда n велико, а х_i – большие или нецелые числа, следует использовать тождество

. (1.10)

Другая мера рассеяния – дисперсия (дисперсия и означает рассеивание) характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия увеличивается с увеличением рассеяния результатов наблюдения.

Дисперсия определяется по формуле

, (1.11)

где х_i  дискретная случайная величина, и по формуле

, (1.11)

где х_i – непрерывная случайная величина.

Дисперсия эмпирических данных вычисляется по формуле

. (1.11'')

Дисперсия обладает следующими свойствами:

• Д_х ≥ 0;

• Д∙С = 0 для С = const (дисперсия неслучайной величины равна нулю);

• Д (СХ) = С²∙Д_х – неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возведя ее в квадрат;

• Д_х = М_x(X²) – (М_х)² – дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания;

• Д(Х+Y) = Д_х + Д_y, если Х и Y – независимые случайные величины.

Последнее свойство рассмотрим более подробно на примере двух случайных величин X и Y. По определению

.

После раскрытия квадратных скобок и объединения каждой случайной величины со своим математическим ожиданием получим

,

откуда

,

где .

Величину, определяемую формулой (1.13), называют ковариацией. Она характеризует связь между случайными величинами X и Y. Для независимых случайных величин ковариация равна нулю. Ковариация является неудобной характеристикой, так как по ее величине трудно судить о степени (тесноте) связи. Поэтому была введена другая величина – коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле

. (1.12)

Коэффициент корреляции меняется в пределах от –1 до +1 и является характеристикой тесноты линейной связи между двумя случайными величинами. Если x и y независимы, то . Если абсолютное значение ρ(ХY) окажется больше 1, то совершенно ясно, что произошла ошибка и необходимо пересчитать результат. В случае сильной положительной корреляции достигается значение, близкое к +1, а при сильной отрицательной корреляции достигается значение, близкое к –1. Таким образом, когда |ρ(ХY)| близок к 1, это указывает на сильную корреляцию между X и Y, а когда |ρ(ХY)| близок к 0 – на слабую корреляцию.

Переходя от случайных величин X и Y к их значениям x и y, коэффициент корреляции по результатам статистических испытаний можно вычислить по формуле

, (1.12')

где ;

;; n – число пар данных.

Размах случайной величины R определяется как разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины

. (1.13)

Этот показатель характеризует широту разброса данных. Более точно колебаемость признака отражает коэффициент вариации

(1.14)