- •1. Краткие сведения из теории вероятностей
- •Функция распределения и плотность распределения случайной величины
- •Меры положения и рассеяния кривой распределения
- •1.3. Начальные и центральные моменты
- •1.4. Коэффициенты относительного рассеяния и относительной асимметрии
- •1.5. Квантили распределения
- •1.6. Интервальные оценки истинного значения
- •1.7. Методы оценки точности результатов
- •1.8. Точечные диаграммы и практические кривые распределения размеров
- •1.9. Теоретические законы распределения
- •1.9.1. Закон нормального распределения (закон Гаусса)
- •Кривая Гаусса имеет следующие особенности.
- •1.9.2. Усеченное нормальное распределение
- •1.9.3. Экспоненциальное распределение
- •1.9.4. Распределение Эрланга
- •1.9.5. Логарифмически нормальное распределение
- •1.9.6. Распределение Вейбулла
- •1.9.7. Закон равной вероятности
- •1.9.8. Закон Релея (эксцентриситета)
- •Основными параметрами закона Релея являются:
- •1.9.9. Треугольный закон распределения (закон Симпсона)
- •1.10. Статистическое регулирование технологического процесса
- •1.11. Проверка статистических гипотез
- •1.12. Композиция законов распределения и суммирование погрешностей
- •Контрольные вопросы к главе 1
1. Краткие сведения из теории вероятностей
Функция распределения и плотность распределения случайной величины
Количественный анализ надежности осуществляется с помощью методов теории вероятностей и математической статистики, предназначенных для изучения случайных величин и событий. Именно случайность является характерной особенностью проблем, возникающих при изучении надежности. Случайными являются моменты возникновения отказов, продолжительность безотказной работы изделий и т.п. Для конкретности под случайной величиной будем понимать продолжительность безотказной работы (ресурс) изделия.
Случайной величиной называют переменную величину, которая в результате опыта может принимать различные значения. Случайные величины обычно обозначают большими буквами, например, Х. Значения случайной величины, которые она принимает в результате опыта, обозначают малыми буквами . При массовых испытаниях каждое из возможных значений случайной величиныможет встретитьсяm1, m2,…,mn раз. Эти числа называют частотами. Весь набор значений случайной величины называют генеральной совокупностью Nx. Отсеянные из генеральной совокупности Nx значения грубых ошибок образуют выборку объема N. Если всего было проведено Nx испытаний, то в результате выборки получаем , и отношение mi/N называют частостью или относительной частотой.
Случайные величины бывают дискретными и непрерывными.
Дискретными случайными величинами называют такие, которые могут принимать конечное и счетное множество возможных значений, например: 0,1; 0,2; 0,3 и т.д. К дискретным случайным величинам относится и формула Бернулли для определения вероятности:
Pm,n =Cnm Pm Qn-m = Pm Qn-m ,
где n - количество опытов; m = 0, 1, 2, … – количество событий; Q=1P.
Пример 1.1. Известно, что вероятность Р безотказной работы изделия при каждом испытании равна 0,8. Проводят n = 10 испытаний. Найти вероятность того, что из 10 испытаний m (m = 2) испытаний будут успешными.
Решение. Для нахождения вероятности воспользуемся формулой Бернулли:
Р2,10 =С102 ∙0,82(1 0,8)8 =∙0,82 ∙0,28=0,00073.
Полученное значение дает 0,073%-ную вероятность.
В технических приложениях наиболее часто встречаются распределения дискретных случайных величин по биноминальному закону и по закону Пуассона (закону редких событий).
Биноминальный закон распределения встречается при повторении испытаний. Если n раз производятся независимые одинаковые опыты, причем вероятность повторения изучаемого события в каждом опыте постоянна и равна P, а вероятность его непоявления Q=1– P, тогда вероятность появления данного события точно xi раз определится по формуле
.
Распределение обладает следующими свойствами:
область значений – целые положительные числа от 0 до n;
вероятность P может иметь любое значение между 0 и +1;
при P = 1/2 закон распределения симметричный;
N – целое положительное число;
среднее значение = n∙P;
среднеквадратическое отклонение .
Распределение по закону Пуассона встречается в задачах о повторении испытаний, в которых вероятность ожидаемого события очень мала. В технике это распределение применимо при определении числа редких компонентов на единицу площади или объема, числа атмосферных помех при радиопередачах, при расчете количества запасных частей, определении вероятности восстановления сложных систем и т.п. Закон распределения Пуассона имеет вид:
,
где а – параметр распределения; хi = 0, 1, 2, … .
Свойства распределения:
распределение несимметричное;
несимметричность особенно сильно выражена при малых значениях а;
среднее значение ;
среднее квадратическое отклонение .
Непрерывными случайными величинами называют такие, которые в некотором интервале могут принимать любое значение. Число бракованных изделий в различных выборках из генеральной совокупности есть дискретная случайная величина, а размер этих изделий – непрерывная случайная величина.
Всякую непрерывную случайную величину можно задать в виде дискретной, если все возможные ее значения разбить на интервалы и задать вероятности появления этих интервалов (из-за ограниченности измерительных средств все замеры непрерывных величин задаются в дискретном виде). Случайные величины характеризуются функциями распределения вероятностей.
Кроме случайной, на практике приходится иметь дело и с систематической величиной. Это такая величина, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одного и того же физического параметра. Она может возникнуть, например, из-за неправильного монтажа устройства или из-за постоянного внешнего воздействия (нагрев, вибрация и т.д.). Систематическая величина может быть исключена путем введения поправки, равной по величине и обратной по знаку погрешности.
Рассмотрим описание распределения случайных величин. Если X – случайная величина, а x – некоторое ее значение, то вероятность Р того, что случайная величина X не превысит значения x, т.е. попадет в интервал
F(x) = P(X<x),
Ее задание и определяет закон распределения случайной величины Х. В общем случае функция распределения F(x) может быть как разрывной, так и непрерывной. Конкретные виды функции распределения для некоторых важных распределений будут рассмотрены ниже.
В большинстве практически важных случаев распределение недискретных случайных величин может быть задано в другой форме с помощью введения функции плотности вероятностей f(x).
Характерной особенностью случайной величины является то, что заранее не известно, какое из значений она примет. Возможность принятия случайной величиной Х значения из элементарного интервала (х1, х2) количественно оценивается вероятностью
P(x1<Xx2) =f(x)dx , (1.1)
где P(x1<Xx2) – вероятность указанного события (x1<Xx2); f(х) плотность распределения случайной величины; x2= x1+dх.
Плотность f(х) является важнейшей характеристикой, задающей распределение случайной величины. Плотность удовлетворяет двум условиям: она неотрицательна и интеграл от нее в полных пределах изменения аргумента х равен единице:
. (1.2)
Как видно из формулы (1.1), функция распределения F(х) выражается через плотность f(х):
. (1.3)
С другой стороны, если плотность f(х) непрерывна в точке х, то ее значение в этой точке равно производной от функции F(х):
. (1.4)
При этом предположении функция распределения F(x) будет являться первообразной для плотности f(x). Поэтому
,
f(x) называют также дифференциальной функцией распределения.
Из свойств плотности f(x) и определения функции следует, что последняя – неотрицательна, не убывает и равна 0 и 1 при значении аргумента
и :
F(х)0; F(х1 )F(х2) при x1>х2 ; F(–)=0; F()=1.
График плотности распределения f(x) называется кривой распределения случайной величины. Исходя из геометрической интерпретации интеграла как площади соответствующей криволинейной трапеции заключаем, что для произвольного <х0<+числоF(x0) равно площади под кривой распределения, лежащей левее прямой х=х0. Аналогично интерпретируется вероятность P(x1<xx2) (рис.1.2).
Если под случайной величиной X понимать продолжительность безотказной работы объекта, то произведение f(х)dх есть вероятность отказа объекта в интервале времени (х1, х2). Значение функции распределения F(х) равно вероятности отказа объекта до момента х. В теории надежности часто употребляют такое понятие, как вероятность безотказной работы Р(х), которое является дополнительным понятием к функции распределения F(x).
Значение вероятности безотказной работы в точке х равно вероятности того, что случайная величина X превысит х, т. е. изделие будет работать безотказно в течение времени x:
Р(х) = 1– F(х)=P{X>х}.
Функция Р(х) называется также функцией надежности. Примерные графики функции распределения F(х) и функции надежности Р(х) изображены на рис. 1.3.
На практике часто располагают дополнительной информацией о том, что случайная величина превысила некоторое значение х (в частности, это изделие проработало время x и не отказало).
Разумеется, эта информация изменяет возможность принятия случайной величиной тех или иных значений. В связи с этим вводят специальную функцию интенсивность отказов . Значение интенсивности отказов в точке х, умноженное на dх, равно вероятности принятия случайной величиной значения из элементарного интервала (х1, х2) при условии, что эта случайная величина X больше х:
(х)dx = P{x < X x + dx|X > x},
где символ «|» означает «при условии, что…».
В нашем контексте есть вероятность отказа изделия сразу после момента времени х, если оно до этого не отказало.