- •1. Краткие сведения из теории вероятностей
- •Функция распределения и плотность распределения случайной величины
- •Меры положения и рассеяния кривой распределения
- •1.3. Начальные и центральные моменты
- •1.4. Коэффициенты относительного рассеяния и относительной асимметрии
- •1.5. Квантили распределения
- •1.6. Интервальные оценки истинного значения
- •1.7. Методы оценки точности результатов
- •1.8. Точечные диаграммы и практические кривые распределения размеров
- •1.9. Теоретические законы распределения
- •1.9.1. Закон нормального распределения (закон Гаусса)
- •Кривая Гаусса имеет следующие особенности.
- •1.9.2. Усеченное нормальное распределение
- •1.9.3. Экспоненциальное распределение
- •1.9.4. Распределение Эрланга
- •1.9.5. Логарифмически нормальное распределение
- •1.9.6. Распределение Вейбулла
- •1.9.7. Закон равной вероятности
- •1.9.8. Закон Релея (эксцентриситета)
- •Основными параметрами закона Релея являются:
- •1.9.9. Треугольный закон распределения (закон Симпсона)
- •1.10. Статистическое регулирование технологического процесса
- •1.11. Проверка статистических гипотез
- •1.12. Композиция законов распределения и суммирование погрешностей
- •Контрольные вопросы к главе 1
1.9.5. Логарифмически нормальное распределение
Случайная величина Х имеет логарифмически нормальное распределение, если ее натуральный логарифм 1nХ имеет нормальное распределение, параметры которого обозначим и. Основные характеристики этого распределения имеют вид:
. (1.48)
Среднее значение и дисперсиявыражаются с помощью параметров распределения по формулам:
. (1.49)
На рис. 1.21 изображены графики функций f(x) и (х). Характерной особенностью логарифмически нормального распределения является то, что интенсивность отказов (х) вначале увеличивается, а потом уменьшается (рис. 1.21,б).
Работать с логарифмически нормальным распределением удобнее, если свести его к хорошо известному нормальному распределению. Для этого следует рассматривать не случайную величину X, а ее логарифм 1n X.
1.9.6. Распределение Вейбулла
Это распределение характеризуется следующими формулами:
(1.50)
(1.51)
где и параметры распределения, причем , > 0.
Следовательно, в данном случае интенсивность отказов пропорциональна величине наработки х (рис. 1.22). Частными случаями этого распределения являются экспоненциальное распределение (при = 1) и распределение Релея (при = 2).
1.9.7. Закон равной вероятности
Если погрешность измерений с одинаковой вероятностью может принимать любые значения, не выходящие за некоторые границы, то такая погрешность описывается равномерным законом распределения. Распределение по закону равной вероятности встречается, когда наряду со случайными факторами, вызывающими рассеивание, действует доминирующий систематический фактор, непрерывно и равномерно изменяющий во времени положение центра группирования Mx. Графически такое распределение случайной величины отображается прямоугольником (рис. 1.23).
Например, при установившемся износе режущего инструмента уменьшение его размеров во времени подчиняется прямолинейному закону, что соответственно увеличивает (при обработке валов) или уменьшает (при обработке отверстий) диаметры обрабатываемых заготовок. Тогда в момент времени t1 вал будет иметь размер а, в момент времени t2 b. Естественно, что изменение размеров обрабатываемых заготовок тоже происходит по закону прямой линии.
При изменении случайной величины X в интервале от a до b плотность f(x) постоянна и равна С; вне этого интервала она равна нулю. Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице
, отсюда . (1.52)
Плотность распределения f(x) имеет вид:
. (1.53)
Функция распределения (рис. 1.24) и интенсивность отказов (рис. 1.23) имеют вид:
. (1.55)
Вычислим математическое ожидание и дисперсию:
,
Определяем среднее квадратическое отклонение и поле рассеяния:
; . (1.56)
Коэффициент асимметрии Sk = 0 (распределение симметрично). Для определения коэффициента эксцесса найдем четвертый центральный момент
.
Отсюда .
С таким законом распределения хорошо согласуется погрешность от трения в опорах электромеханических приборов, погрешность дискретности в цифровых приборах и др. Равномерное распределение наиболее характерно для неисключенных систематических погрешностей. Если отсутствуют данные о виде распределения систематической погрешности, то они принимаются равномерными, так как оцениваются границами (пределами) допускаемых погрешностей.