- •1. Краткие сведения из теории вероятностей
- •Функция распределения и плотность распределения случайной величины
- •Меры положения и рассеяния кривой распределения
- •1.3. Начальные и центральные моменты
- •1.4. Коэффициенты относительного рассеяния и относительной асимметрии
- •1.5. Квантили распределения
- •1.6. Интервальные оценки истинного значения
- •1.7. Методы оценки точности результатов
- •1.8. Точечные диаграммы и практические кривые распределения размеров
- •1.9. Теоретические законы распределения
- •1.9.1. Закон нормального распределения (закон Гаусса)
- •Кривая Гаусса имеет следующие особенности.
- •1.9.2. Усеченное нормальное распределение
- •1.9.3. Экспоненциальное распределение
- •1.9.4. Распределение Эрланга
- •1.9.5. Логарифмически нормальное распределение
- •1.9.6. Распределение Вейбулла
- •1.9.7. Закон равной вероятности
- •1.9.8. Закон Релея (эксцентриситета)
- •Основными параметрами закона Релея являются:
- •1.9.9. Треугольный закон распределения (закон Симпсона)
- •1.10. Статистическое регулирование технологического процесса
- •1.11. Проверка статистических гипотез
- •1.12. Композиция законов распределения и суммирование погрешностей
- •Контрольные вопросы к главе 1
1.4. Коэффициенты относительного рассеяния и относительной асимметрии
Положим, что погрешности отклонений размеров изделий от их номинального значения заданы функцией плотности f(х) и величинами параметров Mх , Дх (рис. 1.8.). Примем номинальное значение за начало координат.
Практически предельным полем рассеяния называется расстояние между такими двумя значениями х1 и х2 случайной величины, при которых площадь, ограниченная кривой, осью абсцисс и отрезком [х1, х2], равна 1- b, где b – вероятность риска (брака). Обычно принимают b = 0,0027. По определению можно написать:
.
На практике обычно х1 и х2 выбирают так, что:
.
Определенное таким образом практически предельное поле рассеяния принимают за поле допуска, т.е. 2dт = х2 -х1 .
Введем обозначения: - половина поля допуска; - координата середины поля допуска; - коэффициент относительной асимметрии; - коэффициент относительного рассеяния.
Индекс «Т» при D, d, a, K указывает на теоретическое значение этих коэффициентов, для эмпирических распределений эти коэффициенты будут иметь индекс «э».
В тех случаях, когда целью эксперимента является лишь определение или уточнение значений коэффициентов a и K относительно заданного конструктором поля допуска, не подлежащего пересмотру, коэффициенты aэ и Kэ определяются по формулам:
и .
При этом может оказаться, что заданное конструктором поле допуска не соответствует практически предельному полю рассеяния, т.е. вероятность риска (брака) b 0,0027.
Практически предельное поле рассеяния оказывается не равным полю допуска даже в тех случаях, когда за величину поля допуска принимается вся зона рассеяния R.
1.5. Квантили распределения
Пусть Х – непрерывный количественный случайный признак с функцией распределения F(x) и плотностью распределения f(х). Квантилью порядка Р или Р-квантилью распределения F(x) называется величина xp, являющаяся решением уравнения:
F(xP) = P, 0 ≤ P ≤ 1 (1.20)
Поскольку для непрерывного признака ее функция распределения F(x) непрерывная и монотонно возрастающая, решение уравнения (1.20) единственно (рис. 1.9).
Квантиль порядка Р = 0,5 называется медианой распределения (рис. 1.10.). Ордината медианы рассекает площадь между кривой плотности вероятности и осью абсцисс пополам. Для непрерывного признака ее функция распределения имеет вид:
где f(х) - плотность распределения.
Поэтому квантиль xP удовлетворяет соотношению:
.
На рис. 1.11. площадь под заштрихованной фигурой равна Р, а оставшаяся площадь под фигурой равна 1 - Р.
1.6. Интервальные оценки истинного значения
Рассмотренные ранее оценки результата измерения (), выраженного одним числом, называютсяточечными оценками.
Точечная оценка погрешности измерения не полная, поскольку S указывает на границы интервала, в котором может находиться истинное значение x, но ничего не говорит о вероятности попадания x в этот интервал.
Более полным и надежным способом оценки случайных величин является определение интервальной оценки, которая с заданной степенью достоверности включает в себя значение оцениваемого параметра.
Вероятность того, что случайная погрешность не выйдет за пределы x1, x2 называется доверительным интервалом, а соответствующая ему вероятность появления случайной погрешности – доверительной вероятностью α:
α = Р(хн ≤ х ≤ хв) = 1– β, (1.21)
где хн =–х1, хв =+х2 – нижняя и верхняя доверительные границы параметра х; – уровень значимости (β = Р(хн > х > хв) = 1– α).
Доверительная вероятность определяет область допустимых значений, а уровень значимости – критическую область, т.е. вероятность того, что х выйдет за пределы . Выбираемое значение β должно быть достаточно малым, чтобы не была совершена ошибка первого рода, т.е. чтобы не была забракована правильная оценка. С другой стороны, слишком малое значение β может привести к ошибке второго рода, когда будет принята ложная оценка. Уровень значимости лежит в пределах 0,02 £ β £ 0,1 .
Доверительный интервал характеризует степень воспроизводимости результатов измерений, причем при большом доверительном интервале наблюдается большая доверительная вероятность. Таким образом, доверительный интервал и доверительная вероятность – основные характеристики случайной погрешности.
Наиболее часто значения доверительных вероятностей принимают равными 0,90; 0,95; 0,99 или уровни значимости соответственно 0,10; 0,05; 0,01.
Доверительный интервал обычно выражают через относительную величину α в долях среднеквадратической погрешности, т.е. α = x / s. Например, при доверительном интервале x = s доверительная вероятность α = 0,68. Это значит, что 68% случайных погрешностей не будут превышать значения s. При x = 2s α = 0,95 , при x = 2,5s α = 0,988 , а при x = 3s α = 0,997. В технических измерениях ограничиваются доверительной вероятностью α = 0,95.
При нормальном законе распределения случайных погрешностей часто пользуются доверительным интервалом от +3s до –3s, для которого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверительная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погрешностей только одна по абсолютному значению будет больше 3s.
Определение доверительных границ случайных погрешностей производится на основе вычисленного значения s с учетом заданной доверительной вероятности и числа наблюдений N. При этом предполагается, что результаты наблюдений распределены по нормальному закону.
Доверительные границы х определяются по уравнениям:
–нижняя граница, (1.22)
–верхняя граница, (1.23)
где квантиль распределения Стьюдента для вероятности или уровня значимости = 1 – и числа степеней свободы f = N – 1; величина находится по табл. П1.
В случае двустороннего определения доверительных границ
1 = 2 = (1 – )/2.
Доверительные границы определяются неравенством:
, (1.24)
где квантиль хи-квадрат распределения при вероятности Р = 1–/2 и числе степеней свободы f = N – 1; – то же для вероятности P = /2.
Значения находятся по табл. П2.