3.3 Числовые характеристики распределения системы двух случайных величин

1. М.о. ,(32.3)

или в общем виде (32.3).

Геометрически точка является проекцией на плоскостьXOY центра тяжести объема, ограниченного поверхностью распределения p(x,y).

2. Дисперсия: (33.3).

3. Корреляционный момент с.в. X и Y: (34.3).

Корреляционный момент характеризует стохастическую зависимость между с.в. а также рассеивание. Корреляционный момент - м.о. произведения отклонений двух с.в. от их мат. ожиданий , при.

Корреляционный момент - достоверная величина.

Если зависимости между X и Y нет, то K_xy=0, но из того, что K_xy=0 не следует независимость X и Y.

С.в. могут быть:

1) Независимы, т.е. не коррелированы K_xy=0;

2) Зависимы и коррелированы K_xy0;

3) Зависимы и не коррелированы K_xy=0 (если поверхность плотности распределения симметрична относительно осей координат OX и OY, т.е. M(X)=M(Y)=0).

4. Коэффициент корреляции: , (35.3)

где - стандарт.

-1 r_xy 1 - характеризует степень тесноты линейной зависимости между с.в. r_xy=1 при Y=aX+b (линейная функциональная стохастическая связь).

При нелинейной функциональной связи r_xy<1. При отсутствии стохастической связи r_xy=0 - необходимое, но недостаточное условие независимости X и Y.

Систему n с.в. можно охарактеризовать n м.о. ,n дисперсиями иn(n-1) корреляционными моментами K_XiYj с i  j (при этом K_XiYj=K_XjYi).

4. Функции случайных величин

Функция с.в. будет также случайной величиной Y=(X). Ее распределение соответствует распределению аргумента, но с измененной шкалой абсцисс. P(y)=Prob(Y<y)=Prob((X)<y).

(36.3)=(17.3),

где (y) - функция обратная (х) (замена подинтегрального выражения x=(y), dx=(y)dy).

Если Y=(X), где (X) - монотонная функция своего аргумента, то распределение Y определяется тем, что вероятность нахождения y в пределах y₁<Y<y₂ равна вероятности неравенства х₁<X<x₂,

где y₁=(x₁) и y₂=(x₂).

М.о. и дисперсия с.в. Y:

(37.3)=(20.3) и (22.3).

Доказательство (37.3):

Для линейной функции Y=aX+b из (37.3) и (18.3) следует

и D(Y)=a²D(X) (38.3).

Доказательство (38): .

Для функции Z=(X,Y) двух случайных аргументов м.о. и дисперсия (39.3).

Если Z=(X,Y)=X+Y и X и Y - независимы, то м.о. и дисперсия суммы независимых с.в. величинD(Z)=D(X)+D(Y).

Плотность распределения непрерывной с.в. Y, связанной монотонной функциональной зависимостью Y=(X) с непрерывной с.в. Х:

или (40.3),

где x=(y) - функция обратная y=(x).

Для линейной функции y=ax+b из (40) следует

p(y)=(1/a)p(x) (40.3).

Если Y=(X/R) и p(x/r) - условная плотность вероятности с.в. Х, входящей в систему (X,R), то условная плотность вероятности с.в. Y - ,

где (y/r) - функция обратная Y=(X/R), а безусловная плотность вероятности с.в. Y:

,

где p(r) - плотность вероятности с.в. R.

Если имеются функции с.в. U=U(X,Y) и V=V(X,Y), то, зная совместную плотность распределения p(x,y), совместная плотность распределения U и V:

(41.3)

(в скобках - Якобиан ).

Матожидания: (42.3),

дисперсия ,

корреляционный момент .

В случае линейного преобразования U=a₁X+b₁Y+c₁ и V=a₂X+b₂Y+c₂ по (41.3) и (42.3) имеем:

(43.3),

и (44.3).

Дисперсия

Доказательство (44)

Запишем еще раз дисперсии и корреляционные моменты:

, ,(доказать самостоятельно).

Зная плотность распределения p(U,V), где U=U(X,Y) и V=V(X,Y), можно определить плотность распределения p(U) или p(V): .

Пример (стр.23 [7]). Стержень нагружен изгибающим моментом M_b и крутящим моментом M_t, и есть их совместная плотность вероятности p_q(M_b,M_t). Кроме того, моменты M_b и M_t стохастически независимы и подчиняются центрированному нормальному распределению:

,

где _b и _t – стандарты M_b и M_t.

Опасное состояние стержня достигается при превышении некоторой функцией этих моментов предельного значения M_r>M_r,lim, зависящего от свойств материала и геометрии сечения стержня. Например, для стержня круглого сечения из пластического материала эта функция может быть взята в виде , гдеM_r – приведенный момент, определенный в соответствии с критерием текучести, основанном на наибольших касательных напряжениях.

Касательное напряжение от крутящего момента , гдеI_ - полярный момент круглого сечения, y – радиус окружности, содержащей рассматриваемую точку,  = _max при y=r (r – радиус стержня). Нормальное напряжение от изгибающего момента . Для расчета надежности стержня необходимо знать плотность вероятностиp_u(M_r) приведенного момента M_r.

Перейдем к полярным координатам, положив , где 02. Согласно (41.3) совместная плотность распределения с. в. M_r и :

.

Используя и замечая, что якобиан преобразования,

найдем

Плотность распределения вероятности p_u(M_r) определяется интегрированием полученной формулы по углу : . Используя формулу анализа, где- функция Бесселя мнимого аргумента нулевого порядка, получим окончательно.

Если дисперсии моментов M_b и M_t одинаковы, т.е. _b=_t=, то I₀(0)=1 и . При этом приведенный момент подчиняется распределению Рэлея.