- •Шумилов к. А. Козлова е. М. Вероятностные методы в строительной механике
- •Часть 1
- •Оглавление
- •Задачи теории вероятностей в строительстве. Понятие надежности и ее свойства
- •Основные положения теории вероятностей используемые для решения задач теории надежности строительных конструкций
- •3. Характеристики распределения случайных величин
- •3.1 Одномерная случайная величина
- •3.2 Случайная векторная величина двух измерений
- •3.3 Числовые характеристики распределения системы двух случайных величин
- •Некоторые наиболее важные законы распределения случайных величин
- •4.7 Распределение максимумов случайных величин
- •5. Случайные функции
- •5.1 Характеристики случайных функций
- •5.2. Выбросы случайной функции за заданный уровень
- •Подстановка (82) и (81) в (80) даст для временной плотности вероятности выброса
- •В случае нестационарной функции
- •6. Приближенные методы нахождения распределения функций с.В.
- •7. Вероятность редких событий (появление случайного события a за время t)
- •8. Простейшие модели надежности
- •8.1 Последовательное соединение элементов
- •8.2 Параллельное соединение элементов
- •Литература
- •Приложение
3.2 Случайная векторная величина двух измерений
На практике решаются задачи, в которых результат опыта описывается не одной с.в., а двумя или более с.в., образующими систему. При этом свойства системы нескольких с.в. могут включать и взаимные связи (зависимости) между ними.
Если с.в. X и Y принимают дискретные значения xi, yj и каждой паре значений (xi, yj) соответствует определенная вероятность pij, то можно составить таблицу распределения вероятностей дискретной двумерной с.в.
Очевидно .
Значение функции Р(x,y) равно вероятности обнаружить с.в. Х<х и с.в. Y<y, т.е.
P(x,y)=Prob(X<x,Y<y).
Свойства функции распределения Р(x,y):
1) Р(х,y) - неубывающая функция своих аргументов,
т.е. при х2>x1 P(x2,y)>P(x1,y) или при y2>y1 P(x,y2)>P(x,y1);
2) P(x,-)=P(-,y)=P(-,-)=0;
3) P(x,+)=P(x), P(+,y)=P(y) - если один из аргументов равен +, то функция распределения Р(х,y) превращается в функцию распределения другой с.в.;
4) P(+,+)=1.
Плотность распределения системы двух с.в. (вторая смешанная производная P(x,y) по и затем по).
(25.3)(15.3)
или в общем виде
, .
Геометрически p(x,y) можно представить поверхностью (поверхность распределения - по ОХ и OY откладываются значения с.в. X и Y, по Z - вероятность их появления, см. рис. ).
Из (25) следует
(26.3)(17.3).
Вероятность обнаружить двумерную с.в. (X,Y) в области D:
Prob((X,Y)D)=(27.3)=(16.3).
Вероятность обнаружить точку М с координатами х1, х2,...хn в n-мерном объеме V:
Prob(MV)= (27.3)
Далее, аналогично (18)
(28.3),
т.е. геометрически объем под поверхностью распределения равен 1.
В общем виде имеем n-кратный интеграл
(28.3).
Если известен закон распределения системы двух случайных величин p(x,y), то можно определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему:
(29.3).
То же, в общем виде:
(29.3).
Но для того, чтобы по заданным законам распределения отдельных с.в., входящих в систему, определить законы распределения системы с.в., надо знать зависимость между величинами, входящими в систему.
Условный закон распределения с.в. Х, входящей в систему (X,Y) - закон ее распределения, вычисленный при условии, что другая с.в. Y приняла определенное значение. Условный закон распределения можно задавать функцией P(x/y) и плотностью p(x/y) распределения.
Геометрически функция плотности распределения p(x/y) представляет собой сечение поверхности распределения при y=const. Сечения поверхности распределения плоскостями x=const и y=const дают соответственно условные плотности распределения p(y/x) величины Y при определенных значениях x и условные плотности распределения p(x/y) величины X при определенных значениях y. Если X и Y - зависимые с.в., то кривые плотности распределения p(y/x) изменяются при изменении x, а кривые плотности распределения p(x/y) изменяются при изменении y. М.о. этих кривых при таких изменениях образуют линии регрессии 1 и 2. В случае независимости X и Y линии регрессии представляют собой прямые и, параллельные осям координат. При наличии функциональной связи (а не стохастической) междуX и Y обе линии регрессии сливаются в одну - y=y(x), при этом поверхность плотности распределения может быть заменена кривой плотности распределения X или Y вдоль линии y=y(x).
С учетом вышесказанного плотность распределения системы двух с.в. равна плотности распределения одной из них, умноженной на условную плотность распределения другой величины, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение:
p(x,y)=p(x)p(y/x) (30.3)=(7.2)
или в общем случае
p(x1,x2,...,xn)=p(x1,x2,...,xi/xi+1,xi+2,...,xn)p(xi+1,xi+2,...,xn) (30.3).
Для независимых с.в. p(x,y)=p(x)p(y) (31)=(3) - плотность распределения системы независимых с.в. равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.