8.2 Параллельное соединение элементов

Считаем элементы идеально хрупкими, модуль упругости и площадь сечения элементов одинаковыми и детерминированными. Известна функция распределения прочности P_r(R) и плотность распределения p_r(R),

(101.8).

Внешнее усилие N распределяется поровну между всеми n элементами, в которых напряжения не достигли предельных. При напряжении  из строя выходит nP_r() элементов (произведение общего количества стержней на вероятность выхода из строя одного) и м.о. воспринимаемого усилия:

(102.8)

или т.к. , то

(103.8).

Уравнение (10.3) описывает диаграмму работы системы n параллельно соединяемых хрупких элементов, т.е. кривую состояний равновесия этой системы. P_r() – вероятность того, что прочность R будет меньше действующего напряжения , т.е. вероятность хрупкого разрушения стержня, F – площадь поперечного сечения каждого стержня. Рассмотрим зависимость напряжений от деформаций для хрупкого стержня  = ().

Напряжения в стержне – с.в., т.к. его предел прочности R также с.в.

М.о. действующего в стержне напряжения (из 102.8)

и при n=1

(104.8),

где - м.о. напряжения в стержне при деформации.

Т.к. функция () разрывная, то возможны два события:

1. сопротивление равно E и вероятность этого ;

2. сопротивление равно 0 и вероятность этого , т.е. вероятность хрупкого разрушения стержня и падения напряжения до нуля.

Согласно этому (и используя формулу определения м.о. для двух случайных событий )

математическое ожидание:

(идентично 104.8).

Дисперсия (используя формулу для дисперсии):

(105.8).

Подобным образом получаем корреляционную функцию

.

Данные характеристики относятся к одному хрупкому стержню. В случае n параллельно работающих стержней сопротивление системы (при одинаковой для всех стержней деформации) равно сумме сопротивлений составляющих:

,

где и- случайные несущая способность системы и действующее напряжение вi-том стержне.

М.о. несущей способности

, что аналогично (102.8).

Дисперсия несущей способности системы: (см. далее 105.8). При этом предполагается, что прочности отдельных стержней – независимые с.в.

При нормальном распределении м.о. максимальной несущей способности системы:

,

где Ф(u) – интеграл вероятности Гаусса,

,

где - ожидаемая прочность одного стержня (м.о.);

(R) – стандарт этой прочности;

- коэффициент вариации прочности одного стержня.

Дисперсия несущей способности системы:

.

Коэффициент изменчивости несущей способности системы:

.

Пример. Определим надежность статически неопределимой системы.

Дано: нагрузка и размеры – детерминированы, прочность (предел текучести R_y) всех стержней случайна, независима и распределена одинаково по нормальному закону. Сталь С245, R_y=240 МПа, МПа – м.о. предела текучести;(R_y)=25 МПа (достаточно большой разброс), N=130кН, А₁=6см², А₂=10 см², l₁=1.5 м, l₂=1 м, а=1 м.

Считаем, также, что разрыв стержней происходит хрупко, динамический эффект хрупкого разрушения не учитываем.

Вычисляем усилия в стержнях.

А) М_А=-N3a+N₁2a+ N₂a=0,

, ,

и подставляя в уравнение равновесия, получим

(кН),

тогда (кН)

и напряжения (МПа),(МПа).

Б) В случае хрупкого обрыва стержня 1:

М_А= -N3a+ N₂a=0 (кН)

и напряжение в оставшемся стержне 2: (МПа).

В) В случае хрупкого обрыва стержня 2: М_А= -N3a+ N₁2a = 0 (кН)

и напряжение в оставшемся стержне 1: (МПа).

Вероятность неразрушения системы определим по формуле полной вероятности (9.2). Система не разрушится в трех случаях:

А) не разрушится и стержень 1 и 2 – вероятность этого P_a;

Б) разрушится стержень 1, но не разрушится стержень 2 – P_б;

В) разрушится стержень 2, но не разрушится стержень 1 – P_в;

А) Р_а=(1-Р₁(₁^а))(1 - Р₂(₂^а)), где Р₁(₁^а) – вероятность разрушения стержня 1 (т.е. предел текучести будет меньше действующего напряжения ₁).

(1-Р₁(₁^а)) – вероятность неразрушения стержня 1;

(1-Р₂(₂^а)) – вероятность неразрушения стержня 2, при условии, что стержень 1 не разрушился.

Б) Р_б=Р₁(₁^а)(1-Р₂(₂^б)), где Р₁(₁^а) – вероятность разрушения стержня 1.

(1-Р₂(₂^б)) – вероятность не разрушения стержня 2, при условии, что стержень 1 разрушился.

.

В) Р_в=Р₂(₂^а)(1-Р₁(₁^в)), где Р₂(₂^а) – вероятность разрушения стержня 2.

(1-Р₂(₂^б)) – вероятность неразрушения стержня 1, при условии, что стержень 2 разрушился.

.

Тогда вероятность неразрушения системы (события а, б, в – не совместны):

Р_с = Р_а+Р_б+Р_в= 0,99179 + 210^-9 + 2510^-9 = 0,99179.

Значения двух последних слагаемых очень малы, поэтому с достаточной степенью точности можно сказать, что статическая неопределимость в данной системе почти не увеличивает ее надежность. Однако, при увеличении степени статической неопределимости увеличение за счет ее надежности системы более существенно.

На рисунках показаны зависимости надежности системы (с параметрами из задачи) от усилия N, от предела текучести R_y и от стандарта (R_y). Максимальная надежность данной системы наблюдается при выравнивании напряжений в стержнях, т.е. при . При увеличении разброса прочности(R_y) увеличивается разброс воспринимаемой нагрузки (кривая зависимости надежности от нагрузки становится более пологой).