Эпюры.НГ

пересечении следа РН с горизонтальной проекцией экватора сферы и сносим их на фронтальную проекцию экватора.

Линия 1'− 2' является малой осью эллипса. Большая ось эллипса равна диаметру окружности, получаемой при пересечении шара плоскостью Р. Этот диаметр равен отрезку 1− 2, но расположен он перпендикулярно плоскости Н. Для отыскания центра окружности опускаем из точки О перпендикуляр на след РН, отмечаем точку О1 и находим точку . Центр О1 будет лежать в плоскости грани ВС на линии ММ. Из точки радиусом о1 − 2 делаем засечки, получая точки 3' и 4'. Линия 3' − 4' − большая ось эллипса.

По размерам большой и малой осей строим эллипс 1'− 3' − 2' − 4'. Теперь найдем линию пересечения грани АВ с шаром. Для этого

проведем через грань АВ горизонтально-проецирующую плоскость S(на рисунке 5.5 показан след SН). Плоскость S пересекает шар по окружности, которая проецируется па плоскость V в виде эллипса 6'− 7' − 5' − 8', а на плоскость Н − в виде линии 6 − 5, совпадающей со следом SН. Окружности, лежащие на гранях АВ и ВС, пересекаются в точках, расположенных на ребре В. На эпюре эллипс 1'3'2' 4' пересекается с эллипсом 6'7'5'8' в точках n', которые являются фронтальными проекциями точек пересечения ребра В со сферой. Таким образом, с помощью ребра В призмы выделяются участки линии пересечения шара с гранями АВ и ВС.

Линия пересечения грани ВС со сферой будет видна относительно плоскости V, так как она лежит на видимой грани ВС и на передней части сферы. Линия пересечения грани BС со сферой, лежащая на видимой грани АВ и на видимой части сферы (до главного меридиана), показана сплошной основной линией, а далее − штриховой.

5.2.1 Развертка прямой призмы АВСD

Развертка боковой поверхности призмы АВСD представляет с собой прямоугольник (рисунок 5. 6), одна сторона которого равна высоте Н, а на второй отложены отрезки АВ = аb, BC = bc, CD = cd и DA = da. К любой из сторон методом триангуляции пристраиваются верхнее и нижнее основания призмы. Как известно, линия пересечения сферы с любой плоскостью есть окружность, поэтому линия пересечения призмы со сферой представляет собой две окружности радиусом R = O25 и R = O12, которые пересекаются в точках N, расположенных на ребре В – В призмы. Расстояние от центров окружностей О1 и О2 до ребра В – В берем с горизонтальной проекции

ортогонального чертежа.

61

5.3 Пример 3 − Способ вспомогательных секущих плоскостей

Построение линии пересечения двух прямых круговых цилиндров. На рисунке 5.7 дана задача на пересечение прямых круговых

цилиндров. Основание первого цилиндра параллельно плоскости W, второго

– плоскости V. Чтобы построить линию пересечения данных цилиндров, проведем ряд секущих плоскостей (метод вспомогательных секущих плоскостей). В нашем примере проведены горизонтальные плоскости, но мoжнo воспользоваться фронтальными или профильными плоскостями.

Плоскость Р (на рисунке 5.7 показан след РV) пересекает первый цилиндр по образующей 1−1. Ее фронтальная проекция 1'− 1' совпадает со следом Pv, профильная 1"− представляет собой точку па окружности − профильной проекции этого цилиндра; горизонтальная 1−1 − линия, параллельная оси ОХ. Та же плоскость Р пересекает второй цилиндр по

образующей 11−11.

Поскольку образующие 1−1 первого цилиндра и 11− 11 второго цилиндра лежат в одной и той же плоскости Р,− точка их пересечения является общей для обоих цилиндров, т. е. лежат на линии пересечения данных цилиндров. На рисунке 5.6 эта точка обозначена буквой А.

Рисунок 5.7 – Построение линии пересечения двух цилиндров

63

Вспомогательная плоскость Q пересекает первый цилиндр по образующей 2−2, а второй − по образующей 21−21. Эти образующие пересекаются в точке В, лежащей на линии пересечения цилиндров.

Точно так же с помощью секущих плоскостей R, S, Т и N находим точки С, D, Е, Г и соединяем одноименные проекции этих точек плавной линией. Следует обратить внимание на необходимость находить точки пересечения крайних (контурных) образующих одного цилиндра с поверхностью другого. Проекция линии пересечения в этом случае не должна оказаться внутри проекции контура геометрического тела. На рисунке 5.6 эти точки построены с помощью плоскостей R и S и обозначены буквами С и D.

При определении видимости на горизонтальной проекции сплошной основной линией показана часть линии пересечения, расположенная на видимых частях обоих цилиндров; фронтальные и профильные проекции линии пересечения совпадают с проекциями цилиндров.

5.3.1 Развертка цилиндра №1

Разверткой боковой поверхности цилиндра вращения (рисунок 5.8) является прямоугольник длиной L1 = πd1 и высотой Н1, где L1 – длина окружности основания, d1 – диаметр основания. Для получения полной развертки в любом месте добавляют верхнее и нижнее основания, круги диаметром d1.

Для того чтобы нанести на боковую поверхность цилиндра линию пересечения цилиндра с цилиндром № 2 поступают следующим образом:

−делят на 8 равных частей проекцию основания цилиндра на профильной плоскости проекции ортогонального чертежа – получаем точки

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII;

−также на 8 равных частей делят длину окружности L на развертке – получили точки I, II, III, …;

−на развертке в точках деления проводят образующие I – I, II – II и т.

д.;

−на развертке также наносят образующие, полученные в результате построения линий пересечения – 1 – 1, 2 – 2, 3 – 3, 4 – 4, 5 – 5, 6 – 6, которые находятся между образующими, соответствуют точкам деления или совпадают с ними. Так, образующая III – III совпала с образующим 3 – 3, а образующая 1 – 1 находится на расстоянии l от образующей I – I в сторону образующей II – II. Расстояние l берем с помощью циркуля по хорде;

−по высоте размеры расположения точек линии пересечения берут с фронтальной проекции ортогонального чертежа. Так точка А находится на

расстоянии hA от нижнего основания цилиндра № 1, а точки С на расстоянии равном hC от соответствующих оснований цилиндра.

64

Развертка цилиндра № 2 строится аналогично (рисунок 5.8).

Рисунок 5.8 – Построение разверток цилиндров № 1 и № 2 65

5.4. Пример 4 – Построение линии пересечения конуса и цилиндра методом полных сечений

Метод вспомогательных сферических поверхностей (метод полных сечений) при построении линии пересечения любых тел вращения применяется в том случае если:

а) оси вращения этих тел пересекаются; б) параллельны какой-либо плоскости проекции.

Применение метода секущих сфер основано на том, что пересечение шара с любым телом вращения, ось которого проходит через центр шара, проходит по окружности, которая проецируется в линию на одну из плоскостей проекций. Например, линии пересечения сферы с цилиндром и конусом – это окружности, 1' 2' и 3' 4' – фронтальные проекции этих окружностей D и d. Далее определяем выполнение условий а) и б):

1.Оси вращения цилиндра и конуса проходят через центр сферы.

2.Оси вращения цилиндра и конуса параллельны фронтальной плоскости проекций.

Следовательно, линии пересечения цилиндра и конуса со сферой в этом случае окружности, которые на фронтальную плоскость проецируются в линии 1'2' и 3'4' (рисунок 5.9).

Рисунок 5.9 – Пересечение сферы с цилиндром и конусом

На рисунке 5.10 показано построение линии пересечения конической и цилиндрической поверхности с помощью вспомогательных концентрических сфер. Последовательность построения линии пересечения:

−определяем характерные точки, точки а' и е' – точки пересечения очерковых образующих конуса и цилиндра;

−определяем вспомогательную сферу минимального радиуса.

Rd min – сфера минимального радиуса должна касаться одной из заданных поверхностей (конуса) и пересекать другую (цилиндр).

66

Сфера радиусом Rd min пересекает конус на окружности, фронтальная проекция которой является отрезок 1' 2', а цилиндр эта же сфера пересекает по окружности, фронтальная проекция которой является отрезок 3' 4'. На пересечений этих линий находится фронтальная проекция точки d',принадлежащая линии пересечения конуса и цилиндра;

−определяем вспомогательную сферу максимального радиуса . Ra

max – радиус сферы равен расстоянию от центра до наиболее удаленной точки линии пересечения. С помощью этой сферы получаем точку а' ,принадлежащей линии пересечения конуса и цилиндра.

−для нахождения промежуточных точек фронтальной проекции линии пересечения b' и c' применяют сферы, радиусы которых лежат в

пределах Rd min ;

− по найденным точкам а', b', c', d', e' проводим фронтальную проекцию линии пересечения.

Рисунок 5.10 – Пересечение конической и цилиндрической поверхностей

67

Горизонтальную проекцию линии пересечения строим по правилам начертательной геометрии, а именно, принадлежности точки поверхности. Через точки b', c', d' проводим образующие конуса и по линии связи на горизонтальной плоскости проекции находим точки b, c, d, принадлежащей линии пересечения конуса и цилиндра. Точки а' и е' находятся на очерковой образующей конуса – S−VII.

Для построения разверток конуса и цилиндра делим основания поверхностей на 12 равных частей и строим развертки по общим правилам

(рисунки 5.11 и 5.12).

Смотри примеры 5.1, 5.2, 5.3.

Рисунок 5.11 – Развертка цилиндра

Рисунок 5.12 – Развертка конуса

68

5.5 Методические указания по выполнению эпюра № 3

Эпюр № 3 − «Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел» выполняется в карандаше на листе формата А1 (594х841 мм). Основная надпись и дополнительные графы выполняются по ГОСТ 2.104-68.

Задача решается в трех ортогональных проекциях. Размеры геометрических тел увеличиваются так, чтобы занять изображением не менее 50 % площади поля формата. Оставшееся поле чертежа будет предназначено для разверток. Для ориентации рекомендуется брать размеры геометрических тел: диаметр основания 80 – 100 миллиметров, высоту – 100 – 120 миллиметров. Обводка чертежа выполняется с соблюдением типов линий по ГОСТ 2.303-68; видимый контур поверхности геометрического тела, видимые ребра многогранников, видимая часть линии пересечения обводятся сплошной толстой линией толщиной S около 1 мм (при определении видимых элементов принимается во внимание непрозрачность поверхностей); невидимый контур поверхности, невидимая часть линии пересечения – штриховой линией толщиной S/2 около 0,5 мм. Образующие поверхности, расположенные внутри контура, следы вспомогательных плоскостей, оси проекций и линии проекционной связи обводятся сплошной тонкой линией S/3 около 0,3 мм.

Проекции геометрических тел (вершины, ребра и т.п.) следует обозначить буквами латинского шрифта. Проекции опорных точек строящихся линий пересечения геометрических тел следует обозначить цифрами. При построении разверток поверхностей тел и нанесении линии пересечения необходимо определять натуральную величину образующих, на которых находятся точки пересечения.

Задания на эпюр № 3 приведены в таблице № 3.

Таблица 3 − Контрольные задания на эпюр № 3

b

69