Эпюры.НГ

Продолжение таблицы 4.2

51

Продолжение таблицы 4.2

5 Эпюр № 3 − Взаимное пересечение поверхностей геометрических

тел

Цель задания: закрепить знания, полученные при изучении разделов курса: «Пересечение прямой линии с поверхностью», «Взаимное пересечение поверхностей геометрических тел».

54

Заданием предусматривается построение линии пересечения поверхностей геометрических тел в ортогональных проекциях и построение разверток этих геометрических тел с нанесением линий пересечения.

Линию пересечения двух поверхностей можно построить:

1)путем нахождения точек пересечения ребер или образующих одного геометрического тела с поверхностью другого (задача на определение точки встречи прямой с поверхностью). Этот способ удобно применять при нахождении линии пересечения конуса или пирамиды с цилиндром или призмой (имеется в виду прямой цилиндр и прямая призма). Пример 1;

2)путем нахождения линий пересечения граней одного геометрического тела с поверхностью другого (задача на пересечение плоскостей для многогранников, или на пересечение плоскости с поверхностью − когда одно из тел ограничено кривой поверхностью). Этот метод называют методом полных сечений. Метод полных сечений можно применять при отыскании линии пересечения призмы с шаром, с конусом или цилиндром. Пример 2;

3)путем применения вспомогательных секущих плоскостей. Метод вспомогательных секущих плоскостей является наиболее распространенным, так как с помощью этого метода можно решить любую задачу на пересечение геометрических тел. При выполнении эпюра № 3 этот метод целесообразно применять в случае построения линии пересечения цилиндра

сцилиндром, конуса с пирамидой, шара с цилиндром, конусом или пирамидой. Пример 3;

4) путем применения вспомогательных секущих поверхностей (например, шаровых, цилиндрических и т. д.). Метод вспомогательных секущих поверхностей применяется при наличии определенных условий. Например, метод шаровых сечений применяется при построении линии пересечения только тел вращения, оси которых пересекаются. Пример 4.

Применение некоторых из указанных выше методов для построения линии пересечения геометрических тел мы рассмотрим на ряде примеров.

5.1 Пример 1 − Способ пересечения прямой с поверхностью

Построение линии пересечения прямой пятиугольной призмы и прямого кругового конуса в ортогональных проекциях. Построение разверток пересекающихся поверхностей.

Прямая пятигранная призма поставлена на плоскость V , а конус – на плоскость Н. Воспользуемся тем, что грани призмы перпендикулярны плоскости V и, следовательно, фронтальные проекции граней (линии а' b', b'c', c'd', d'e' и е'а') являются следами профильно-проецирующих плоскостей. Линия пересечения полностью совпадает с этими следами.

Для построения искомой линии пересечения найдем точки пересечения образующих конуса с призмой и затем последовательно соединим между собой точки, лежащие в одной и той же грани.

55

На фронтальной плоскости проекции в первую очередь определяем характерные или опорные точки линии пересечения 1', 5', 3' ≡ , 6', 10' ≡ , 13' и строим соответствующие им горизонтальные и профильные проекции (рисунок 3.1).

Далее определяем точки, полученные при пересечении ребер призмы С

– С и D – D c поверхностью конуса – точки 9' ≡ , и 12' ≡ . Эти точки являются также характерными, т.к. определяют переход линии пересечения от одной грани призмы к другой. В этих точках изменяется кривизна линии пересечения.

Рисунок 5.1 – Эпюр №3. Построение линии пересечения прямой пятиугольной призмы и прямого кругового конуса

56

Примечание. На фронтальной и профильной плоскости проекций указаны обозначения только очерковых образующих конуса.

Для качественного построения линии пересечения добавляем точки 2' ≡ , 4' ≡ , 7' ≡ , 8' ≡ , 11' ≡ . Строим соответствующие им горизонтальные и профильные проекции.

Полученные проекции точек соединим между собой плавной линией и покажем видимые и невидимые части проекций линии пересечения:

−на фронтальной плоскости проекций линия пересечения совпадает с проекцией призмы, т.е. полностью видима;

−на горизонтальной плоскости проекции видима линия пересечения грани АВ с конусом;

−на профильной плоскости проекций будет видима проекция линии пересечения, принадлежащая передней половине (относительно наблюдателя) конической поверхности 3''−4''−5''−41''−31'' и 10"- 9"−8"−7"−6"−−−−. Точки 3"−, и 10"− являются характерными, т.к. в них меняется видимость линии пересечения.

5.1.1 Развертка прямого кругового конуса

Полный конус вращения развертывается в сектор с углом α = 360,

где R = – радиус основания конуса, L – длина образующей конуса.

Основание конуса – окружность диаметром D, пристраивается к боковой поверхности конуса.

Основание конуса (на горизонтальной плоскости проекций) делим на 12 равных частей. Получаем точки I, II, III, IV и т. д. На поверхности конуса наносим образующие, соответствующие этим точкам. Угол α1 = .

При построении развертки конуса на каждой образующей откладываем действительную величину соответствующего отрезка. Для этого точки, лежащие на промежуточных образующих, переводим на очерковые (I и VII) образующие. Например, действительная величина отрезка X – 10 – это НВ Х –

10 (рисунок 5.2).

Промежуточные образующие, на которых лежат точки, принадлежащие линии пересечения, наносим на развертку в зависимости от длины хорды, отделяющей образующую от точек деления основания конуса. Например, образующая, на которой лежит точка 7, расположена от точки XII на расстоянии хорды длиной l.

57

5.1.2 Развертка прямой пятигранной призмы

Строим боковую поверхность (рисунок 5.3)

Рисунок 5.2 – Развертка прямого кругового конуса

Проводим горизонтальную прямую. На этой прямой откладываем отрезки основания призмы АВ = а'b', BC = b'c', CD = c'd', DE = d'e', EA = e'a',

равные своим фронтальным проекциям, т. к. на фронтальную плоскость основание призмы проецируется в натуральную величину. Высоту призмы равную Н, берем с горизонтальной проекции и откладываем перпендикулярно развернутой линии основания. Линии сгиба на развертке выполняем штрихпунктирными тонкими с двумя точками.

К боковой поверхности пристроены методом триангуляции верхнее и нижнее основание АВСDE.

58

Рисунок 5.3 – Развертка пятигранной призмы

При нанесении на боковую поверхность линии пересечения, проводим образующие призмы, соответствующие точкам линии пересечения. Например, образующая 7 лежит на стороне DE, расстояние от точки E берем с фронтальной проекции. По высоте точка 7 лежит на расстоянии равном h7 от линии I – VII (точка 7 – на расстоянии ) (рисунок 5.3).

5.1.3 Построение аксонометрического изображения пересекающихся геометрических тел − конуса и пятигранной призмы

Далее строим аксонометрическое изображение по общим правилам выполнения аксонометрических изображений (рисунок 5.4).

59

Рисунок 5.4 – Аксонометрическое изображение пересекающихся геометрических тел: конуса и пятигранной призмы

Пример 2 − Метод полных сечений. Построение линии пересечения

прямой призмы со сферой

На рисунке 5.5 показано построение линии пересечения призмы со сферой, выполненное при помощи метода полных сечений. Сущность этого метода заключается в следующем, через грани призмы проводятся вспомогательные проецирующие плоскости, находятся линии пересечения этих плоскостей со сферой и определяются точки пересечения этих линий, расположенных в смежных гранях. Таким образом, сначала выполняются полные сечения сферы проецирующими плоскостями граней, а затем выделяются участки линии пересечения, находящиеся в пределах граней призмы.

Через грань ВС призмы ABCD проведена горизонтально-проецирующая плоскость Р (на рисунке 3.4 показан след РН). Плоскость Р пересекает шар по окружности, но эта окружность наклонена к плоскости V и поэтому проецируется на плоскость V в виде эллипса, а на плоскость Н − в виде линии 1− 2 на следе РH. Чтобы построить эллипс, находим точки 1 и 2 в

60