Molekulyarna_Fizika

Розподіл густини ймовірності f( ) дозволяє знайти ймовірність попадання модуля швидкості молекул в певний інтервал.

Тоді, шукана залежність густини ймовірності від модуля

швидкість руху молекул залежить від температури середовища,

запишемо закон розподілу Максвела за модулем швидкості:

0

Слід звернути увагу на те, що в показнику експоненти стоїть узяте із знаком мінус відношення кінетичної енергії молекули до величини, що характеризує середню енергію молекул газу. Функція f(υ,T ) залежить також і від температури газу, що і відбито в позначенні функції.

Одержані Максвелом розподіли за швидкостями не залежать ні від структури молекул, ні від виду їх взаємодії одна з одною. Тому вони

30

Характерні швидкості розподілу Максвелла

Одержані вирази для розподілу за модулем швидкостей дозволяють встановити деякі характеристики цього розподілу. Це характерні швидкості руху молекул газу: найбільш ймовірна υйм, середня υ і середньоквадратична υкв.

Найбільш ймовірній швидкості υйм відповідає максимум функції розподілу, який знаходиться з умови рівності нулю першої похідної від f(υ) по υ:

31

Це значення, перетворює вираз (18) в нуль, і дає нам шукану найбільш ймовірну швидкість (тут М – молярна маса газу, R – універсальна газова стала).

Середня швидкість υ (мається на увазі середня арифметична швидкість) за визначенням

Оскільки функція розподілу Максвела несиметрична щодо найбільш ймовірного значення, то і для трьох характерних швидкостей значення різні. Разом з тим спостерігається постійне співвідношення між характерними швидкостями:

Залежність розподілу Максвела від температури

Підставивши вираз (18) для найбільш ймовірної швидкості υйм у вираз (15) для функції розподілу, знайдемо максимальне значення f(υ,T ):

З формул (19) та (24) видно, що при збільшенні температури максимум функції f(υ,T ) зміщується у бік більших швидкостей, а величина максимуму зменшується. При цьому площа під кривою залишається такій, що дорівнює одиниці. Наочно трансформація розподілу Максвела представлена кривими на рис. 9, які можна розглядати як криві функції f(υ,T ) для постійної маси при T1 T2 T3 або для постійної температури при m1 m2 m3.

32

При переході до нової змінної, одержимо:

π

У такому вигляді розподіл Максвела є універсальним – він не залежить ні від температури, ні від роду газу.

2. МЕТОДИКА ЕКСПЕРИМЕНТУ ТА ОПИС ПРИЛАДІВ

Ця лабораторна робота присвячена визначенню невідомих параметрів функції розподілу ймовірностей випадкової величини за обмеженою кількістю дослідів. Треба відзначити, що будь-яке значення шуканого параметра, обчислене на підставі обмеженого числа дослідів, завжди міститиме елемент випадковості. Таке

33

наближене, випадкове значення називається оцінкою параметра. Наприклад, оцінкою для істинного значення може служити середнє арифметичне спостережуваних значень випадкової величини в n незалежних дослідах. При дуже великому числі дослідів середнє арифметичне буде з великою ймовірністю дуже близьким до істинного значення. Якщо ж кількість дослідів n невелика, то заміна істинного значення середнім значенням приведе до деякої похибки. Позначимо спостережувані значення випадкової величини:

збільшенні кількості дослідів повинна наближатися до істинного значення параметра a. Оцінка, що володіє такою властивістю, називається спроможною. Друга вимога: при використанні величини

~ замість а, ми не повинні робити систематичну помилку у бік a

завищення або заниження. Оцінка, що задовольняє такій умові, називається незміщеною. Як оцінка для істинного значення, що задовольняє вищенаведеним вимогам, можна узяти середнє арифметичне спостережуваних значень х:

n

xi

Для оцінки дисперсії можна узяти величину, яка визначається згідно виразу

:

n

xi х 2

Тут в знаменнику стоїть n (n–1), а не n2, оскільки у цьому випадку, як показує теорія, оцінка дисперсії виходить зміщеною. Тоді середньоквадратичне відхилення

34

n

xi x 2

У цій лабораторній роботі досліджується і оцінюються параметри нормального розподілу випадкової величини (розподіл Гауса) з використанням так званої дошки Гальтона, яка зображена на рис. 10. Вона складається з вертикальної дошки 1, на якій закріплені в шаховому порядку стрижні 2, які служать для розсіювання кульок, що поступають із бункера 3, розташованого вверху дошки.

Під стрижнями розташовані kМАКС = 25 однакових комірок, які розділені перегородками 4 однакової висоти. У верхній частині дошки розташований бункер з маленьким кульками. Кульки утримуються в бункері стрижнем 5, що закриває отвір, через який вони можуть висипатися з бункера. Лицьова частина дошки закрита оргсклом. Випускний отвір бункера для кульок розміщений над 13-ю коміркою.

Якби не було стрижнів, то кульки, випущені з бункера, потрапили б в 13-у комірку. У нашому ж досліді кулька, ударяючись у стрижні, може потрапити практично в будь-яку комірку. Інакше кажучи, попадання кульки в ту або іншу комірку носить випадковий характер. Якщо випустити велике число кульок, то вони

35

розташуються у комірках дошки Гальтона так, як показано на рис. 11. Якщо дослід проведено акуратно, то одержана крива повинна бути схожа на теоретичну криву розподілу Гауса для випадкової величини.

Підрахуємо, скільки кульок знаходиться в кожній комірці. Тоді статистична ймовірність попадання кульки в будь-яку комірку дорівнює відношенню кількості кульок, що потрапили в цю комірку до суми кульок у всіх комірках. Для визначення ймовірності попадання кульок в ту або іншу комірку незручно рахувати кількість кульок в комірках. Тому поступають таким чином: вимірюють висоту стовпчика кульок в кожній комірці, а потім підсумовують висоти по всіх 25 комірках, тоді ймовірність Рі попадання кульки в і-у комірку:

hi

i1

Отже, ми одержуємо експериментальну криву ймовірності Рі залежно від номера комірки хі.

hi ВыпускВипускшариковкульок

13 xi

Рис. 11. Гістограма розподілу Гауса.

Рис.3.3.2. Распределение шариков по ячейкам

3. ЗАВДАННЯ ТА ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ

Перед початком роботи необхідно переконатися, що в комірках немає кульок.

1. Поступово випустити бункера всі кульки.

36

2. За допомогою лінійки виміряти висоти стовпчиків кульок у кожній комірці – hi і занести результати в таблицю 1, округляючи їх до 0,5 см.

3. Перевернувши дошку Гальтона, пересипати всі кульки у бункер, розташований у верхній частині дошки.

Обробка результатів вимірювань

25

1.Підрахувати суму висот hi у всіх комірках hi .

i1

2.За формулою (32) визначити експериментальне значення ймовірності попадання кульки в кожну комірку Pi=P(hi). Результати занести в таблицю.

3.Обчислити добуток xiPi і теж занести у відповідний стовпчик таблиці 1. Підрахувати середнє значення, яке визначається координатою випускного отвору за формулою (7), узявши Рі, отримане в пункті 2.

4.Обчислити величину xi х 2 і занести в таблицю 1.

5.Обчислити і занести в таблицю значення xi х 2Pi.

6.За формулою (8) визначити середнє квадратичне відхилення σx .

7.Із використанням одержаних значень х та σx обчислити за формулою (9) значення функції розподілу густини ймовірності f(xi).

8.У одних і тих же осях координат побудувати гістограму Pi=P(xi) та графік функції густини ймовірності f(x) залежно від координати хі. Порівняти одержані результати.

37

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1.Що таке випадкова величина? Який процес називається випадковим?

2.Як обчислити середнє значення дискретної, та неперервно змінної випадкової величини?

3.Що називається інтегральним законом розподілу випадкової величини?

4.Що таке функція розподілу густини ймовірності випадкової величини?

5.Запишіть основні властивості густини розподілу.

6.Вкажіть основні параметри, що характеризують закон розподілу густини ймовірності випадкової величини і поясніть їх зміст.

7.Який зв’язок між інтегральною функцією розподілу ймовірності і густиною розподілу? Запишіть основні властивості інтегральної функції розподілу випадкової величини.

8.Дайте визначення дисперсії.

9.Що називається середнім квадратичним відхиленням?

10.Запишіть вираз для функції розподілу густини ймовірності неперервної випадкової величини в загальному випадку; запишіть і поясніть розподіл Гауса.

11.Яка ймовірність одержання випадковою величиною конкретного значення при дискретному розподілі? При неперервному розподілі?

12.Як впливає дисперсія випадкової величини на форму кривої розподілу?

13.У класичній фізиці має місце розподіл Максвела. Що це за розподіл і чим він відрізняється від нормального розподілу?

14.Як по гістограмі одержати характеристики розподілу випадкової величини?

38

Лабораторна робота № 3

ВИЗНАЧЕННЯ СТАЛОЇ БОЛЬЦМАНА

Мета роботи: експериментальне визначення сталої Больцмана, порівняння одержаного значення із табличними даними.

Прилади і матеріали: велика скляна посудина, водяний манометр, універсальний медичний шприц для ін’єкцій, етиловий ефір, термометр.

1. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Найбільш простими об’єктами у молекулярній фізиці є ідеальні гази, які:

–складаються із молекул, розмірами яких можна знехтувати у порівнянні із відстанню між ними, між молекулами немає притягання і відштовхування;

–у довільному досить малому об’ємі газу міститься дуже велика кількість молекул, у таких системах виникають нові статистичні, імовірнісні закономірності, суть яких зводиться до існування певних найбільш імовірних розподілів молекул за енергіями, координатами, імпульсами та ін.;

–зіткнення молекул між собою та стінками посудини відбуваються за законами пружних ударів, інтервал часу між зіткненнями значно більший, ніж час самих зіткнень. Зважаючи на це, у проміжках між зіткненнями молекули рухаються прямолінійно і рівномірно;

–за відсутності зовнішніх сил молекули розподілені рівномірно у всьому об’ємі, напрямки швидкостей молекул газу у рівноважному стані розподілені хаотично, тобто рух молекул носить хаотичний, невпорядкований характер. Хаотичність слід розуміти у тому сенсі, що система не зберігає ніякої

інформації про своє минуле.

Отже, тепловий рух, по-перше, являє собою рух великого колективу частинок, по-друге, він хаотичний. Ці дві його ознаки – масовість об’єктів і хаотичність їхнього руху – якісно відрізняють тепловий рух від механічної форми руху.

До найбільш важливих характеристик ідеального газу входять тиск р, температура Т та об’єм V. Зауважимо, температура

39