Molekulyarna_Fizika

системі гармонічних осциляторів рівноважна відстань між частинками не залежить від температури і, як наслідок, термічний коефіцієнт розширення дорівнює нулю.

При зроблених наближеннях формула (12) набуває вигляду:

Нагадаємо, що коефіцієнт лінійного термічного розширення вводять згідно з формулою (2), тому коефіцієнт лінійного розширення, отриманий з мікроскопічних уявлень дорівнює

Знак коефіцієнта визначається знаком . Це означає, що якщо асиметрія кривої потенціальної енергії така, що при зближенні частинок енергія зростає швидше, ніж при їх віддаленні, то >0 і нагрівання призводить до розширення. В протилежному випадку <0 і тіла зменшують лінійні розміри. Із приведеної формули видно, що у розглядуваній моделі α =const, але із приведених вище якісних міркувань випливає, що при Т → 0 і α → 0. Взагалі ж коефіцієнт теплового розширення залежить від температури таким же чином, як теплоємність, тобто при низьких температурах зменшується з пониженням T пропорційно кубу температури. Це зрозуміло, оскільки як і теплове розширення, так і теплоємність пов’язані з коливаннями атомів кристалічної гратки. Формула, що зв’язує

170

коефіцієнт лінійного розширення і теплоємність, вперше була запропонована для металів Грюнайзеном і має вигляд:

Гχρ

α3 Cρ,

де – коефіцієнт стисливості метала, – густина, С – питома теплоємність, Г – постійна Грюнайзена, яка коливається для різних металів в межах від 1,5 до 2,5. На рис. 4 представлені експериментальні залежності і СV для міді – подібними є залежності і для інших металів.

Рис. 4. Температурні залежності теплоємності СV і термічного коефіцієнта лінійного розширення міді від температури.

Однак, коефіцієнт лінійного розширення практично лишається незмінними, якщо інтервал температур, в яких він досліджується, малий, а сама температура велика. Зауважимо, що внаслідок анізотропії кристалів, коефіцієнт лінійного розширення може бути різним у різних кристалографічних напрямках.

Параметр β можна виразити на основі розгляду пружного

171

маса та ρ – густина речовини, NA – число Авогадро. Враховуючи цей вираз формула (18) набуває вигляду

ρNA

Підставляючи формулу (18) у вираз (17) для коефіцієнта термічного розширення і виражаючи із нього γ, одержимо

ρNA

Приведені оцінки параметрів β та γ, як і розглядувана нами модель, є лише першим наближенням, адже вона не пояснює навіть наближеної температурної залежності α(Т).

2. МЕТОДИКА ЕКСПЕРИМЕНТУ ТА ОПИС ПРИЛАДІВ

Експериментальна установка, схема якої наведена на рис. 5, складається з трубчастої печі 1, що знаходиться в корпусі, на яку з трансформатора подається напруга. На кронштейні над піччю закріплений мікрометр 5. У печі розміщується досліджуваний зразок 3 відомих розмірів та кварцовий стрижень, один кінець якого впирається в зразок, а інший – в щуп мікрометра, за допомогою якого вимірюється зміна довжини зразка. Застосування кварцового стрижня необхідне для того, щоб запобігти нагріванню щупа мікрометра. При цьому враховано, що кварц має дуже малий коефіцієнт термічного лінійного розширення і зміною його розмірів на результати експерименту при нагріванні досліджуваного зразка можна знехтувати. Визначення температури у печі проводиться за допомогою термопари 4 та мілівольтметра 2 (графік градуювання термопари додається).

172

4. ЗАВДАННЯ ТА ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ

Завдання 1. Дослідження лінійного термічного розширення твердих тіл.

1.Виміряти за допомогою штангенциркуля з точністю не гіршою 0,1

мм початкову довжину l0 досліджуваних зразків (мідь, алюміній, латунь l0 ≈ 100 мм). Вставити зразок у піч.

2.Між зразком і щупом мікрометра встановити кварцовий стрижень і виставити нуль шкали мікрометра навпроти індикаторної стрілки.

3.Ввімкнути трансформатор в електричну мережу. Встановити на трансформаторі напругу 100 В для забезпечення рівноважного процесу досягнення певної температури зразка і збільшувати напругу поступово до максимального значення 200 В.

4.Записати покази мілівольтметра (значення термо-е.р.с., яка виникає в термопарі) при відхиленні стрілки мікрометра на 1, 2, 3, і т. д поділок. (Ціна поділки мікрометра 0,01мм).

Рис. 5. Схема установки для дослідження термічного коефіцієнту лінійного розширення.

5. Нагрівати зразок до температури, при якій видовження зразка становитиме 0,1 – 0,15 мм (тобто стрілка мікрометра повинна відхилятися від нуля на 10 – 15 поділок відповідно). Отримані дані занести в таблицю.

Увага ! Не нагрівати зразок вище 200°С

173

6. Виключити нагрівник. Занести у таблицю значення е.р.с. термопари і відповідні температури, при яких видовження становитиме 0,15 мм, 0,14 мм, і т.д., тобто зняти залежність видовження від температури у режимі охолодження.

Обробка одержаних результатів

1. За формулою t tH tO знайти середнє значення температури для

2

кожного видовження Δl та занести його у таблицю. Побудувати залежність Δl(t).

Таблиця 1. Експериментальні результати дослідження лінійного термічного розширення.

0

0,01

0,02

…

…

2. За отриманими експериментальними даними розрахувати температурну залежність коефіцієнта лінійного розширення за формулами:

……………………………………..

li- покази мікрометра при температурі ti.

3.Побудувати графік залежності від температури.

4.Оцінити систематичну похибку вимірювань.

174

Завдання 2. Оцінка параметрів потенціалу міжатомної взаємодії

1.Знайти за довідниками значення молярної маси М , густини ρ та модуля Юнга Е матеріалу досліджуваних зразків.

2.З використанням середнього значення коефіцієнту термічного лінійного розширення α, знайденого у завданні 1, за формулами

(19)та (20) знайти коефіцієнти β та γ потенціалу міжатомної взаємодії.

3.За формулою (9) побудувати графік залежності W від u. Зробити відповідні висновки.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1.Що називається лінійним (об’ємним) коефіцієнтом теплового розширення ?

2.Як зв’язані між собою коефіцієнти лінійного та об’ємного термічного розширення для анізотропного твердого тіла ?

3.Як залежить коефіцієнт теплового розширення від температури ?

4.Чим пояснюється збільшення розмірів твердих тіл при нагріванні ?

5.Чи буде залежати значення α від чистоти речовини?

6.Які типи хімічного зв’язку можуть мати місце в твердому тілі ?

7.Як ведуть себе сили взаємодії в залежності від відстані між атомами ? Опишіть характерні властивості потенціалу ЛенардаДжонса.

8.Які типи точкових дефектів у твердому тілі ви знаєте ?

9.Яким треба вважати осцилятор – класичним чи квантовим при розгляді теплового розширення твердих тіл?

10.Що таке фонон?

11.Чим обумовлене теплове розширення твердих тіл?

12.Як пояснити зменшення об’єму (в деякому температурному інтервалі) деяких тіл при нагріванні?

13.Як пояснюється ангармонізм коливань атомів у твердому тілі?

175

Лабораторна робота № 16

ДОСЛІДЖЕННЯ ТЕМПЕРАТУРНОЇ ЗАЛЕЖНОСТІ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ ТВЕРДИХ ТІЛ

Мета роботи : вивчити принцип вимірювання теплопровідності на серійній установці ІТ- -400 і визначити температурну залежність теплопровідності твердого тіла в діапазоні температур 290-650 К.

Прилади і матеріали: установка ІТ- -400, штанген-циркуль, досліджуваний зразок у формі циліндра діаметром 15 0,3 мм і висотою від 0,5 до 5 мм.

1. КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Більшість фізичних явищ у природі та техніці, як правило, супроводжується зміною температури тіл у просторі та часі. Тому температура тіла є функцією координат х, у, z і часу t:

T = f(x,y,z,t).

Сукупність миттєвих значень температур у всіх точках простору або тіла називають температурним полем. Графічно температурне поле зображають ізотермічними поверхнями, які є геометричним місцем точок з однаковими температурами. Лінії перетину ізотермічних поверхонь з будь-якою площиною (рис. 1) будуть ізотермами в околі цієї площини з температурами T, T±ΔT, T±2ΔT … . Порівняємо відношення різниці температур Т між ізотермами до відстані між

ними Δn в напрямку її нормалі n із

176

спрямований за нормаллю до ізотермічної поверхні в сторону збільшення температури і чисельно дорівнює:

де i – одиничний вектор у напрямку осі х.

Дослідним шляхом встановлено, що у випадку існування у деякому напрямку градієнта температури, то у протилежному напрямку встановлюється потік теплоти.

Розповсюдження теплоти здійснюється трьома способами: тепловим випромінюванням (перенесення енергії електромагнітними хвилями), конвекцією (перенесення енергії за рахунок переміщення шарів газу або рідини у просторі з областей з вищою температурою в області з нижчою температурою) і теплопровідністю.

При невисоких температурах потік електромагнітної (променистої) енергії складає незначну частку кількості теплоти, яка переноситься із однієї частини термодинамічної системі в іншу, а конвекція у твердих тілах відсутня. Тому основним типом переносу теплоти у твердих тілах є теплопровідність.

Теплопровідність – це процес передачі теплоти від більш нагрітої частини тіла до менш нагрітої за рахунок теплового руху молекул. При теплопровідності здійснюється безпосередня передача енергії від молекул з більшою енергією до молекул з меншою енергією. Величина теплового потоку у цьому випадку визначається

рівнянням Фур’є

градієнт температури (зміна температури на одиниці довжини вздовж заданого напрямку х), κ – коефіцієнт пропорціональності, який

177

залежить від властивостей середовища і називається коефіцієнтом теплопровідності (або просто – теплопровідністю). Розмірність J є

Дж/с=Вт. Отже, κ має розмірність Дж/(м с К) Вт/(м К). Знак “–„ у рівнянні (1) відображає ту обставину, що напрямок, в якому зростає температура, і напрямок поширення тепла, протилежні, тобто що теплота розповсюджується у напрямку зменшення температури (рис. 3).

J>0 J<0

Рис. 3. До пояснення напрямку теплового потоку .

Величина коефіцієнту теплопровідності κ для різних речовин змінюється в надзвичайно широких межах. Так, наприклад, коефіцієнт теплопровідності міді 395 Вт/(м∙К), тоді як для ебоніту має значення 0,16 Вт/(м∙К). Така значна відмінність у коефіцієнтах теплопровідності визначається механізмами передачі тепла.

Для пояснення теплопровідності твердих тіл використовують поняття про електронний і фононний газ. Під електронним газом розуміють сукупність вільних (не зв’язаних з атомами або молекулами) електронів, які можуть переміщуватись по всьому об’єму твердого тіла. Наявність такої сукупності електронів характерна для металів, які мають високу електропровідність. У першому наближенні для такого електронного газу вважають справедливими закони ідеальних газів, тому внесок їх у теплопровідність оцінюється як і для ідеального газу

Другою складовою теплопровідності є фононний вклад κФ. Фонони – це кванти колективних коливань сукупності атомів кристалічної гратки. Для кращого розуміння поняття “фонон”

178

представимо тверде тіло як сукупність атомів або молекул, розташованих у вузлах кристалічної гратки і зв’язаних силами міжатомної (міжмолекулярної) взаємодії. Одномірна модель такого твердого тіла представлена на

рис. 4.

Атоми здійснюють коливання навколо положень рівноваги, однак ясно, що ці коливання не можуть бути незалежними, оскільки зміщення довільного атома відчують і всі його сусіди. Замість того, щоб описувати індивідуальні коливання частинок, розглядають їх колективний рух в кристалі, як в просторово впорядкованій системі. Таке спрощення ґрунтується на тому, що, внаслідок дії значних сил зв’язку, коливання, яке виникло у однієї частинки, одразу передається сусіднім частинкам і в кристалі збуджується

колективний рух у формі пружної хвилі, що охоплює всі частинки кристалу. Такий колективний рух називається нормальним коливанням гратки. Максимальне число нормальних коливань, що можуть виникнути в гратці, дорівнює числу ступенів вільності частинок кристалу, тобто 3N (N – число атомів, що утворюють кристал). Колективні кванти коливань атомів кристалічної гратки дістали назву квазічастинок – фононів. Очевидно, що навіть у такій простій моделі частота коливань, а отже і енергія, не може бути довільною, а має дискретні значення.

За низьких температур не всі можливі нормальні коливання в ланцюгу атомів можуть збуджуватись. Існує температура ΘD=hωмакс/k, при якій частота хвилі в ланцюгу збуджених атомів гратки твердого тіла (тобто частота нормального коливання ω) досягає максимуму ω=ωмакс. Довжина хвилі при цьому дорівнює подвоєному періоду гратки (рис. 4). Звісно, що при такій температурі

179