§ 58*. Алгебраические числа

Всякий многочлен /2-й степени с рациональными коэффициентами имеет в поле комплексных чиселпкорней, некоторые из которых (или даже все) могут лежать вне поля рациональных чисел. Однако не всякое комплексное или действительное число служит корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами. Те ком­плексные (в частности, действительные) числа, которые являются корнями таких многочленов, называютсяалгебраическимичислами в противоположность числамтрансцендентным.К числу алгебраи­ческих чисел принадлежат все рациональные числа, как корни многочленов первой степени с рациональными коэффициентами а также всякий радикал видаас рациональным подкоренным числом а, как корень двучленах^п—а.С другой стороны, в боль­ших курсах математического анализа доказывается трансцендент­ность числае— основания системы натуральных логарифмов, а так­же известного из элементарной геометрии числа я.

Если число а алгебраическое, то оно будет даже корнем неко­торого многочлена с целыми коэффициентами и поэтому корнем

Найдем ф (1) методом Горнера:

І 1 5 3 45 —54

1. I 16 9 54 О

Таким образом, <р(1)=0, т. е. 1 является корнем для ф (у),причем

Ф (У) = ІУ — 1)Я(У).

где

<7 (У) —У³ ++ 9у +54.

Найдем целые корни многочлена д (у).Делителями свободного члена служат числа ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ±27, ±54. Здесь

8. (1) = 70, <?( — 1) = 50.

Вычисляя ^ и Рдля каждого делителя а, мы обнаружим, что долж­ны быть отброшены все делители, кроме а=—6. Испытаем этот делитель:

2. 69 54—611 0 9 0'

Таким образом, д(—6) = 0, т. е.—6служит корнем дляд (у)и поэтому для ф(у).

Многочлен ф ((/> имеет, следовательно, целые корни 1 и—6. Рациональ­ными корнями многочлена /(ж) будут, таким образом, числа -5- и—2и

О

только они.

Следует еще раз подчеркнуть, что изложенные выше методы применимы толькок многочленам с целыми коэффициентами итолькодля разыскания их рациональных корней.

§ 58*. Алгебраические числа

Всякий многочлен /2-й степени с рациональными коэффициентами имеет в поле комплексных чиселпкорней, некоторые из которых (или даже все) могут лежать вне поля рациональных чисел. Однако не всякое комплексное или действительное число служит корнем некоторого многочлена с рациональными коэффициентами. Те ком­плексные (в частности, действительные) числа, которые являются корнями таких многочленов, называютсяалгебраическимичислами в противоположность числамтрансцендентным.К числу алгебраи­ческих чисел принадлежат все рациональные числа, как корни многочленов первой степени с рациональными коэффициентами а также всякий радикал видаас рациональным подкоренным числом а, как корень двучленах^п—а.С другой стороны, в боль­ших курсах математического анализа доказывается трансцендент­ность числае— основания системы натуральных логарифмов, а так­же известного из элементарной геометрии числа я.

Если число а алгебраическое, то оно будет даже корнем неко­торого многочлена с целыми коэффициентами и поэтому корнем

одного из неприводимых делителей этого многочлена также е це­лыми коэффициентами. Тот неприводимый целочисленный много­член, корнем которого является а, определен однозначно с точ­ностью до постоянного множителя, т. е. вполне однозначно, если потребовать, чтобы коэффициенты этого многочлена были в совокупности взаимно просты(т. е. чтобы многочлен был при­митивным). В самом деле, если а служит корнем двух неприводи­мых многочленов /(X) иg(x),то наибольший общий делитель этих многочленов будет отличен от единицы, а потому эти многочлены, ввиду их неприводимости, могут отличаться друг от 'друга лишь множителем нулевой степени.

Алгебраические числа, являющиеся корнями одного и того же неприводимого (над полем /?) многочлена, называются сопряжен­нымимежду собой¹). Все множество алгебраических чисел распа­дается, следовательно, на непересекающиеся конечные классы со­пряженных между собой чисел. Всякое рациональное число как корень многочлена первой степени не имеет сопряженных чисел, отличных от самого себя, и это свойство является для рациональ­ных чисел характерным: всякое алгебраическое число, не являю­щееся рациональным, будет корнем неприводимого многочлена, степень которого больше единицы, и поэтому для него сущест­вуют сопряженные, отличные от него самого.

Множество всех алгебраических чисел является подполем поля комплексных чисел. Иными словами, сумма, разность, произведение и частное алгебраических чисел сами будут алге­браическими числами.

Пусть, в самом деле, даны алгебраические числа аир.Обо­значим через а₁= а, а₂....,а_пвсе числа, сопряженные с а, че­рез01=Р, Р₂> •••>Р*— числа, сопряженные с р, через /(х) и £•(.*;) — неприводимые многочлены с рациональными коэффициента­ми, имеющие своими корнями соответственно а и р. Напишем многочлен, корнями которого служат всевозможные суммы + (5^; это будет_{п $}

ф (*) = П П [X— («£ + Ру)].

<=1/=1

Коэффициенты этого многочлена не будут, очевидно, меняться при перестановках всех а_;между собой, а также всех ру между собой. Они являются, следовательно, на основании теоремы о многочленах, симметричных по двум системам неизвестных (см. конец § 53), многочленами от коэффициентов многочленов /(лг) иg(x).Иными словами, коэффициенты многочлена <р(х)оказыва­ются рациональными числами, и поэтому числоа+Р=а₁+ р₁, являющееся одним из его корней, будет алгебраическим.

Таким же образом при помощи многочленов

♦w-П П [*—(«/-М

1. = 1 1=1

и

х(*)=*П П (=1 /= 1

доказывается алгебраичность чисел а—1$ и оф.

Для доказательства алгебраичности частного достаточно показать, что если число а — алгебраическое и отличное от нуля, то а^-1 также будет алгебраическим числом. Пустьаслужит корнем мно­гочлена

f(x) — aoXⁿ -f a₁xⁿ~¹ -j- ... +я„_₁лг+ а_п с рациональными коэффициентами. Тогда, очевидно, многочлен. g(x) = a_nx^,‘-i-a_n_₁x'^!~¹-j- ... -f- a_tx -f- a₀,

также с рациональными коэффициентами, будет иметь своим кор­нем число а^-1, что и требовалось доказать.

Из доказанной сейчас теоремы вытекает, что любая сумма ра­ционального числа и радикала, например 1+ ^/2, а также любая сумма радикалов, напримерVз + {/5, будут алгебраическими чис­лами. Мы пока не можем, однако, утверждать алгебраичность чи­сел, записываемых в виде «двухэтажных» радикалов, например

числа УI-\-У2.Это будет вытекать лишь из следующейтео­ремы:

Если число со служит корнем многочлена

<р(*) = л:^п-+ах^п~¹-\г$х^п~^г-\-... +Хлг + {х,

коэффициенты которого — алгебраические числа, то со также будет алгебраическим числом.

Пусть а,-, Ру, ...,K_s, \x_t пробегают числа, сопряженные соот­ветственно с а, р,...,К,ц, причем а₁=а,Pi = p, ...,—X, = [1. Рассмотрим всевозможные многочлены вида

Ф с,/ _s,t(x) = xⁿ+ a_ixⁿ-^l+ $_Jxⁿ-*+ ... +

так ЧТО ф_ь1,..., 1, i (•*) = ф (*), и возьмем произведение всех этих многочленов

F{x)= П Ч>!, ! s,t{x).

t, i t

Коэффициенты многочлена F(x) симметричны, очевидно, по каж­дой из систем а,-, ру, ...,k_s, ц.₍, а поэтому (снова по теореме из § 53) они суть многочлены от коэффициентов тех неприводимых многочленов (с рациональными коэффициентами), корнями которых служат соответственноа, X,т. е. сами суть рацио­

нальные числа. Число и, являясь корнем для ф (х),будет, следо­вательно, корнем многочлена Т⁷(х)с рациональными коэффициен­тами, т. е. будет алгебраическим числом.

Применим эту теорему к числу £0= 1/1+|^2. Число а=1-{- +1/2алгебраично по предыдущей теореме и поэтому число со является корнем многочленах²— а с алгебраическими коэффициен­тами, т. е. само алгебраично. Вообще, применяя несколько раз обе доказанные сейчас теоремы, читатель без труда придет к следую­щему результату:

Всякое число, записываемое в радикалах над полем рацио­нальных чисел (т. е. выражающееся через сколь угодно сложную комбинацию радикалов, в общем случае «многоэтажных»), будет алгебраическим числом.

Алгебраические числа, записываемые в радикалах, составляют, очевидно, поле. Следует помнить, однако, что это поле, как выте­кает из замечания, сделанного (без доказательства) в конце § 38, будет лишь частью поля всех алгебраических чисел.

Выше была отмечена трансцендентность двух чисел: еи я. На самом деле, однако, трансцендентных чисел бесконечно много. Больше того, ис­пользуя понятия и методы, относящиеся к теории множеств, мы покажем, что трансцендентных чисел, так сказать, даже больше, чем чисел алгебра­ических; точный смысл этого выражения станет ясен ниже.

Бесконечное множество Мназываетсясчетным,если оно может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел, т. е. если его элементы могут быть пронумерованы при помощи всех натуральных чисел, инесчетным —в противоположном случае.

Лемма 1. Всякое бесконечное множество М содержит счетное подмно­жество.

В самом деле, возьмем в Мпроизвольный элемента_г.Выберем затем элемент сг₂, отличный отаВообще, пусть вМуже выбранопразличных

элементов а_и а₂а_п.Так как множествоМ,будучи бесконечным, не

может исчерпываться этими элементами, то можно указать отличный от них элемент а_л+1. Продолжая этот процесс, мы найдем вМбесконечное подмно­жество, составленное из элементов

^яа>^а2> • ■ • •^ат— >

счетность этого подмножества очевидна.

Лемма 2. Всякое бесконечное подмножество В счетного множества А само счетно.

Множество А,ввиду его счетности, можно записать в виде

а_иа₂,.... а_п, ... (1)

Пусть а_кхбудет первый элемент последовательности (1), принадлежащий кВ, а—второй элемент с этим же свойством и т. д. Полагаяа^=Ь_п, п—1, 2, мы получаем, что элементы подмножестваВсоставляют после­довательность

Ъ_ъ*_а,Ь_п

т. е. это подмножество счетное.

Лемма 3. Объединение счетного множества конечных множеств, по­парно не имеющих общих элементов, есть счетное множество.

Пусть, в самом деле, даны конечные множества

^1> ^2» Лп>

и пусть их объединение будет В.Мы пронумеруем, очевидно, все элементы множестваВ,если произвольным образом пронумеруем элементы конечного множестваА_х,затем продолжим эту нумерацию, перейдя к элементам мно­жества Л2»^{и т}- Д-

Лемма- 4. Объединение двух счетных множеств, не имеющих общих элементов, есть счетное множество.

Пусть даны счетные множества Ас элементами

%> ^а2> • • • >^ап<* • •

и В с элементами

и пусть объединение этих множеств будет С.Если мы положим

°п”^с2п-1>Ь_п = с_гп, п=1,2

то все элементы множества С будут представлены в виде последовательности

^с1>^С2>•••> ^с2л-1> ^с2я> •••>

что и доказывает счетность этого множества.

Докажем теперь следующую теорему:

Множество всех алгебраических чисел счетно.

Докажем предварительно счетность множества всех многочленов от од­ного неизвестного с целыми коэффициентами. Если

1(х) = а₀х^П+а₁х^п~¹+ ... +а_п_₁х+ а_п

—такой многочлен, притом отличный от нуля, то назовем высотойэтого многочлена натуральное число

^/=« + 1^ао | + 1^а11+ ••• +!^ап-\I +1^апI-

Очевидно, что существует лишь конечное число целочисленных многочленов с данной высотой /г; обозначим это множество через М^.Кроме того, через Мо обозначим множество, состоящее нз одного нуля. Множество всех целочисленных многочленов будет объединением счетного множества конеч­ных множествМ₀, М_и М₂М/г, ...,т. е,, по лемме 3, оно сче'Гно.

Отсюда, по лемме 2, вытекает, что множество всех целочисленных примитивных неприводимых многочленов также счетно.Мы знаем, вместе с тем, что всякое алгебраическое число является корнем одного и только одного целочисленного примитивного неприводимого многочлена. Собирая, следовательно, корни всех таких многочленов, т. е. беря объединение счет­ного множества конечных множеств, мы получим множество всех алгебраи­ческих чисел; это множество будет, таким образом, ввиду леммы 3, счетным. Докажем, наконец,теорему:

Множество всех трансцендентных чисел несчетно.

Рассмотрим сначала множество ^ всех действительных чисел х,распо­ложенных между нулем и единицей,0<х<1, и докажем, чтоэто мно­жество несчетно.Известно, что каждое из указанных чиселхможно за­писать в внде правильной бесконечной десятичной дроби

х = 0, ... а„ ...

и что эта запись однозначна, если не допускать дробей, у которых для всех п, начиная с некоторогоn = N,все а„ = 9; обратно, всякая дробь указанного вида равна некоторому числухиз множестваР.Предположим теперь, что множество ^ счетно, т. е. что все числахможно записать в виде после­довательности

*1.*2••• (2)

Пусть

х_к= 0, а_кха_к1... а_кп ...

будет запись числа х_кв виде бесконечной десятичной дроби. Напишем те­перь бесконечную десятичную дробь

О, РхР. (3)

полагая р_хотличным от первого десятичного знака дробих_1гт. е.фо^, р₂—отличным от второго десятичного знака дробих₂,т. е. |3₂Фа₂₂, и, во­обще,Ф а_пп.Положим, кроме того, что среди цифр |3_Ябесконечно много отличных от цифры 9. Ясно, что существует дробь (3), удовлетворяющая всем этим требованиям. Она является, следовательно, числом из множествар, но, по самому построению, отлична от всех чисел последовательности (2). Это противоречие доказывает несчетность множества

Отсюда следует несчетность множества всех комплексных чисел: если бы оно было счетным, то, ввиду леммы2, оно не могло бы содержать несчетного подмножества Р. Несчетность множества всех трансцендентных чисел теперь, ввиду леммы 4, очевидна, так как объединение этого множе­ства со счетным множеством всех алгебраических чисел является множеством всех комплексных чисел, т. е. несчетно.

Доказанные нами две теоремы показывают, ввиду леммы 1, что мно­жество трансцендентных чисел на самом деле является много более богатым элементами, т. е. более «мощным», чем множество алгебраических чисел

получим:

2 = а У% + Ь У1.

Подставляя сюда выражение (2') для У4,мы после очевидных преобразо- ваний придем к равенству

(а + 6²) >/2=2—аЬ.(2")

Если а+Ь² Ф0, то

2—аЬ

оТ*⁵’

что невозможно, так как справа стоит рациональное число. Если жеа + 6²= 0, то, ввиду (2"), и 2—а6= 0. Из этих двух равенств вытекает Ь³= —2, что снова невозможно ввиду рациональности числаЬ.

1Соответствующие понятия для случаяп=1 были уже введены в § 47: элемент а, алгебраически независимый над полемРв смысле только что данного определения, был назван тамтрансцендентнымнадР,в противном случае — алгебраическнм над Р.

1Не следует смешивать этого понятия с сопряженностью комплекс­ных чисел.