§ 52. Симметрические многочлены

Среди многочленов от нескольких неизвестных выделяются те, которые не меняются ни при какой перестановке неизвестных. В такие многочлены все неизвестные входят, следовательно, вполне симметричным образом, и поэтому эти многочлены называются симметрическими многочленами(илисимметрическими функ­циями).Простейшими примерами будут: сумма всех неизвестных^л:1+^л:2+ ••• +■*«> сумма квадратов неизвестныхх1-\-х1-\-...

. . . -}-Хп,произведение неизвестныхх±х_г..,х_пи т. д. Ввиду пред­ставимости всякой подстановкипсимволов в виде произведения транспозиций (см. § 3), при доказательстве симметричности не­которого многочлена достаточно проверить, что он не меняется ни при какой транспозиции двух неизвестных.

Мы будем рассматривать дальше симметрические многочлены от п неизвестных с коэффициентами из некоторого поляР.Легко видеть, чтосумма, разность и произведение двух, симметрических много­членов сами будут симметрическими,т. е. симметрические много­члены составляют подкольцо в кольцеР[х_у, х₂,... ,х_п]всех мно­гочленов отпнеизвестных над полемР,называемоекольцом симметрических многочленов от п неизвестных над полем Р. К этому кольцу принадлежат все элементы из Р (т. е. все много­члены нулевой степени, а также нуль), так как они заведомо не меняются ни при какой перестановке неизвестных. Всякий другой симметрический многочлен непременно содержит всепнеизвестных и даже имеет по ним одну и ту же степень: если симметрический многочлен/{х_х, х_г,...,х_п)обладает членом, в который неизвест­ноех₁входит с показателем6, то обладает и членом, получающимся из него транспозицией неизвестныхх₍их^,т. е. содержащим не­известноеX}в той же степени6.

Следующие псимметрических многочленов отпнеизвестных называютсяэлементарными симметрическими многочленами-.

а₁=х₁+лг₂+ • • • +^лги>

а₂= х_гх₂+ х₁х_я+ ... +х„.₁х„,

3. — Х₁Х₂Х₃ -р ХуХ._гХ^ ~ . .. . ^Хп-2*'п- 1 •*“!!>

О_п_ х — ... х_п_₁-\- х^₂... х_п__гХ_п 4- . . . + Х₂Х₃ ... х_п,О_п=ХхХ₂ ... х_а.

Доказанную теорему можно также, очевидно, сформулировать следующим образом:

Система элементарных симметрических многочленов а_х, о₂,.. ■

• • •. о„, рассматриваемых как элементы кольца многочленовР1лг_х, х₂, х_п], алгебраически независима над полем Р.

§ 53*. Дополнительные замечания о симметрических многочленах

Замечания к основной теореме. Доказательство основной тео­ремы о симметрических многочленах, проведенное в предшествующем параграфе, позволяет сделать несколько существенных добавлений к формулировке теоремы, которыми мы ниже воспользуемся. Прежде всего, коэффициенты того многочлена ф (ог_х, а₂,...,а„), который найден нами в качестве выражения для симметрического многочлена /(дг₁,х_г, х_п)через элементарные симметрические многочлены, не только принадлежат к полю Р, но да^кевыражаются через коэффициенты многочлена/при помощи сложения и вычитания, т. е. принадлежат к кольцуА,порождаемому коэффициентами многочлена/внутри поля Р.

В самом деле, все коэффициенты многочлена ф_х(см. формулу (о) предшествующего параграфа) относительно неизвестныхх_±, х₂,......,х_псуть, как легко видеть, целые кратные от коэффициента а₀ при высшем члене многочлена /и поэтому принадлежат к кольцу А. Пусть уже доказано, что кI*принадлежат все коэффициенты (относительнох_ъ х₂,...,х_п)многочленов ф_х, ф₂,...,ф_г. Тогда коэффициенты многочлена /_г=/—ф_г— ф₂—...—ф_гтакже будут принадлежать к £, а поэтому вЬлежат и все коэффициенты многочлена ф_г+1относительнох_и х₂, х_п.

С другой стороны, степень многочленаф(а_х, ог₂,...,а_п) по совокупности а₁, а₂, ...,а„равна степени, которую имеет мно­гочлен /(х_х, х₂,..х_п) по каждому из неизвестных х_1шВ самом деле, так как (2) из предшествующего параграфа есть высший член многочлена /, то £_хбудет степенью /относительно неизвестного л:_х, а поэтому, ввиду симметричности, и относительно любого другого из неизвестныхх_;.Однако степень ф_хпо совокупностиаравна, по (5) из предшествующего параграфа, числу

(*Х — Ю+(*2— *з) + • • • + (*в-1— *л) + ^|» — ^1-

Далее, так как старший член многочлена /_хниже старшего члена многочлена /, то степень /_хпо каждому из дг_;будет не выше чем степень / по каждому из этих неизвестных. Однако многочлен ф₂ играет для /_хтакую же роль, как ф_хдля /, поэтому степень ф₂по совокупностиаравна степени по каждому изх_1гт. е. она не больше чем6_Хи т. д. Таким образом, и степень ф (сг_х, а₂,...,о„) не выше чем &_х. Поскольку же никакоеф_гс/>>1не может содер­жать все а_х, сг₂, . .., о„ в тех же степенях, что и ф_ьто степень ф (а_г, а₂, ..а„)в точности равна А₁. Тем самым наше утверждение доказано.

Наконец, пусть ао^о* ... а¹»будет один из членов многочленаФ (а_г,а₂, а„). Назовемвесомэтого члена число

К+ 2/_г4- • ■ • +Ш_п,

т. е. сумму показателей, умноженных на индексы соответствующих а_;. Это будет, иными словами, степень взятого нами члена по совокуп­ности неизвестных лг_1тх₂,.. .,х_п,как вытекает из доказанной в § 51 теоремы о степени произведения многочленов. Тогда справедливо следующее утверждение:

Если однородный симметрический многочлен /(х_г, х₂, . . ., х„) имеет по совокупности неизвестных степень 5, то все члены его выражения ф(а₁, а₂, . . ., а_п) через а будут одного и того же веса, равного 5.

Действительно, если (2) из предшествующего параграфа есть высший член однородного многочлена /, то

5 = 4- *2 + • ■ ■ + *п-

Однако вес члена <р_хравен, по (5) из предшествующего параграфа,

(*1—к₂) + 2(к₂ —*з)+ • • • +(л—1) (*„_! —к_п)4-пк_Л =

~*1+^2+ ^3 + • • • + *«.

т. е. также равен я. Далее, многочлен Д=/ — ф_хкак разность двух однородных многочленов степени5сам будет однородным степени х, а поэтому и член ф₂многочлена ф будет веса $ и т. д.

Симметрические рациональные дроби. Основная теорема о сим­метрических многочленах может быть распространена на случай

рациональных дробей. Назовем рациональную дробь --отпнеиз­вестныхх_г, х₂,...,х_п симметрической,если она остается равной самой себе при любой перестановке неизвестных. Легко показать,

что это определение не зависит от того, берем ли мы дробь — илие ^ё

равную ей дробь—. Действительно, если со есть некоторая пере­до

становка наших неизвестных, а ф — произвольный многочлен от этих неизвестных, то условимся через ср“ обозначать тот многочлен, в который переводится ф перестановкой со. По предположению, при любом со

т. е. fg^ш=gf^ш.С другой стороны, из

1 = А

ё ёо

следует fg₀=gf₀,откудаf^wgo=g^w/t^Умножая обе части послед­него равенства на /, мы получаем:

frgo=/g^m/:=gr/t,

откуда после сокращения на следует: fg^ = gfo,т. е.

₌А

8. 8* '

Справедлив-а следующая теорема:

Всякая симметрическая рациональная дробь от неизвестных х_р х₂, х_пс коэффициентами из поля Р представима в виде рациональной дроби от элементарных симметрических многочле­нов Ор о₂, . .., о„ с коэффициентами, снова принадлежащими к Р.Действительно, пусть дана симметрическая рациональная дробь

/(*!, *2. *_п)ё{х_х, х₂, х_п)•

Предполагая ее несократимой, можно было бы доказать, что и/и ^ будут симметрическими многочленами. Следующий путь будет, однако, более простым. Если многочлен gне является симметри­ческим, то умножаем числитель и знаменатель на произведение всехп\—1многочленов, получающихся изgпри всевозможных нетождественных подстановках неизвестных. Легко проверить, что знаменатель будет теперь симметрическим многочленом. Ввиду сим­метричности всей дроби отсюда следует, что числитель теперь также будет симметрическим, а поэтому для доказательства теоремы остается выразить числитель и знаменатель через элементарные сим­метрические многочлены.

Степенные суммы. В приложениях часто встречаются симметри­ческие многочлены

⁵* = -*Ч +^ЛГ2+ • • •^&=1> ²’ •••’

Т. е. суммык-хстепеней неизвестных *!,х₂, ■■■, х_п.Эти много­члены, называемыестепенными суммами,должны выражаться, по основной теореме, через элементарные симметрические многочлены. Разыскание этих выражений является, однако, при большихИвесьма затруднительным, и поэтому представляет интерес та связь между многочленами «₂, ... и с^, о₂,...,о„, которая будет сейчас установлена.

Прежде всего $₁=<т₁. Далее, если то легко проверить

справедливость равенств = ^ +

₂о₂— 5 ^ ~Ь *5 ^²х₂х₃^,

О)

Ч-Рі = ⁸{^х\-^і+1х2- • •*,-) +5 . .х,.л,.₊₁),2^г'^й—2,

*А-і = -5 (х[х₂. .. х_к^)-\-ка_к.

Беря альтернированную сумму этих равенств (т. е. сумму с чередую­щимися знаками), а затем перенося все члены в одну часть равен­ства, мы получим следующую формулу:

—1^ог1+⁵*-2^ог2— • • • ~Ь(—1)*^{— 1}^₁ст_А_1+ (—1)^й6ог_й=0(2)(к^п).

Если же то система равенств (1) примет вид

⁵й-1^0Г1⁼~Ь ^(^х\ ^1хъ)<

⁵/г-2^2 ⁼ ^ (^Х\^1х2) ~Ь ^ (^Х\^,Х2^Хз}<

Ч-1^а1^⁸{^х\~^^1х2• ■ • ^г) +⁵(^"^ЛГг • • • *Л₊₁), 2й£|<я — 1,

^-,А, = ⁵(Х* откуда вытекает формула

2^и2"

Формулы (2) и (3) называются формулами Ньютона.Они связы­вают степенные суммы с элементарными симметрическими многочле­нами и позволяют последовательно находить выражения для $₂,5₃₎... через а_х, а₂, . . ., ог„. Так, мы знаем, что =а_х, что вытекает и из формулы (2). Если, далее,к — 2^п,то, по (2),в₂—5_ха_х+ 2(Т₂= 0, откуда

5₂=(Ті —2а₂.

Далее, при к = 3^пбудет5₃— 5₂0₁+ х₁ог₂—За₃= 0, откуда, ис­пользуя найденные уже выражения для«₁и «₂, получаем:

5₃=о1 —Зог_га₂+ За₃,

¹) См. (11) предшествующего параграфа.

что нам уже известно (см. (12) из предшествующего параграфа). Если же6= 3, но я = 2, то, по (3),5₃—5^-(-5_го_а= 0,. откуда£₃ = 0і — За^. Пользуясь формулами Ньютона, можно получить общую формулу, выражающую через а,, а_г,...,ог„. Эта фор­мула, впрочем, весьма громоздка и мы не будем ее приводить.

Если основное поле Римеет характеристику 0 и поэтому деле­ние на любое натуральное числопимеет смысл^х), то формула (2) дает возможность последовательно выразить элементарные симме­трические многочлены а₁, а₂,...,сг„ через первыепстепенных суммя₂,...,Так, ог₁=5₁, а поэтому

®8 = уМі —«*)= уК —*₂),

сТд = -д- ($₃⁵2°і “Ь⁼"б (⁵і 35x^2 25з)

и т. д. Отсюда и из основной теоремы вытекает следующий результат: Всякий симметрический многочлен от п неизвестных х_1; х_2> ...

..., х_пнад полем Р характеристики нуль представим в виде многочлена от степенных сумм 5₁, «₂, с коэффициентами,

принадлежащими к полю Р.

Многочлены, симметрические по двум системам неизвестных. В следующем параграфе, а также в § 58 будет использовано одно обобщение понятия симметрического многочлена. Пусть даны две системы неизвестных х±, х₂,..., х_п и у_ъ у₂, ...,у_г,причем их объединение

■*-1> • • •>Хп> У1>У2> • •-1У Г(^)

алгебраически независимо над полем Р. Многочлен над полем Р /(х₁, х₂, х_п, у₁, у₂, ••., у_г) называетсясимметрическим по двум системам неизвестных,если он не меняется при любых пере­становках неизвестных х,,х₂,...,х_пмежду собой и неизвестныхУіі Уъ, ■ • ■.У г^между собой. Если для элементарных симметрических многочленов отх_г, х₂, .. .,х_пмы сохраним обозначения а_х, а₂, . . .,о_п, а элементарные симметрические многочлены оту_ъ у₂, у_гобо­

значим через Т], т₂,...,т_г, то основная теорема обобщается сле­дующим образом.

Всякий многочлен /(х_х, х₂, .. ., х_п, у₁, у₂, ..., у_г) над полем Р, симметрический по системам неизвестных х_г, х₂, . . ., х_пиУі> У2’ ■ • ■’ У г' представим в виде многочлена (с коэффициентами из Р) от элементарных симметрических многочленов по этим двум системам неизвестных:

/'(хх₂, ...,х_п,уу₂,. ..,у_г) =ф (сг_х, <т₂, . ..,о_п, т_х, т₂,...,т_г).

') В поле характеристики рвыражение — не имеет смысла при аФО, так как в этом поле при любомхбудетрх —0.

В самом деле, многочлен / можно рассматривать как многочлен /(Ун Уг>•••!У А^скоэффициентами, являющимися многочленами отХу, х_г, .. х_п.Так как / не меняется при перестановках неизвест­ныхх_х, х_2< х_п,то коэффициенты многочлена / будут симме­трическими многочленами отх_ь х_г, ..х_пи поэтому, по основной теореме, представимы в виде многочленов (с коэффициентами из Р) от0_Х, а₂,а_п.С другой стороны, многочлен/(у_х, у₂, ...,у_г), рассматриваемый над полемР(х₁,х₂,. . .,х_п),будет симметрическим относительно _у₁,у₂, .. ,,у_ги поэтому представим в виде многочлена ф(т₁, т₂, . .., т_г). Коэффициенты многочлена ф будут, как показано в начале настоящего параграфа, выражаться через коэффициенты многочлена/при помощи сложения и вычитания, а поэтому они также будут многочленами ота±, а₂,...,ог„. Это приводит, очевидно, к искомому выражению для / черезо_1г о₂, а_п, х_1гт₂, т_г.

Пр и м е р. Многочлен

Ї(Х_Х, х₃, х₃, у_иу₂)=х₁х₂х₃—х₁х₂у₁—х₁х₂у₂—х₁х₃у₁—— ХіХ-іУі—х₂х₃у_у—х₂х₃у₂ + х^У\Уг^гУіУг 4* ^хзУіУг

симметричен как по неизвестным Хі, х₂, х₃,так и по неизвестнымух, у₂,но не будет симметрическим по всей совокупности пяти неизвестных, как обна­руживается хотя бы при транспозиции неизвестных иу₁.Найдем выра­жениеДЛЯ (черезСТх, СГ₂1°3>^Г1>^Т2^:

І — ХіХ_гХ₃— (*1*2 + ХуХ₃ +Х₂Х₈) Ух — (%Х₂ Х_гХ₃х₂х₃) у₂ +

+ (*1+*2+*з)УіУ2~^аЗ —^аіУі —°2</2 + ^(Т1</і</2^{г=; а}3—^а2^т1+^(Т₁Тз.

Доказанная сейчас теорема распространяется, понятно, также на случай трех и большего числа систем неизвестных.

Для многочленов, симметрических по двум системам неизвестных, справедлива также теорема единственностипредставления через элементарные симметрические многочлены. Иными словами, справедлива следующаятеорема:

Объединенная система

> ^2» • • • і ^_п, Ті, т₂, т_г

элементарных симметрических многочленов от заданных систем неизвестных х_г, х₂, ..., х_пи _у₁, у₂, .. у_Галгебраически неза­висима над полем Р.

Пусть, в самом деле, существует многочлен

ф (<?!, Од» • * • » ^1* ^2» • • • > ^/*)

над полем Р,равный нулю, хотя не все его коэффициенты нули. Этот многочлен можно рассматривать как многочлен т₂,..%_г) с коэффициентами, являющимися многочленами от а_х, о₂,

Можно считать, следовательно, что 'ф — многочлен от т_1;т₂,...,т_г над полем рациональных дробей

Р {Х±, х₂, • ••, х_п).

Система _у₁,у₂,...,у_гостается алгебраически независимой над полем <2: если'бы для этой системы существовала алгебраическая зависимость с коэффициентами из то, освобождаясь от знаме­нателей, мы получили бы алгебраическую зависимость в системе (4) против предположения. Опираясь на теорему единственности из предыдущего параграфа, мы получаем теперь, что система г₁₇т₂, . . .

...,т_гтакже должна быть алгебраически независимой над полем а поэтому все коэффициенты многочлена ч|) равны нулю. Эти коэф­фициенты являются, однако, многочленами от <т_1;о₂„...,а_п,а поэтому, снова на основании теоремы единственности для случая одной системы неизвестных (на этот раз системых_1У х₂„...,х_п),все коэффици­енты этих последних многочленов сами равны нулю. Этим доказано, что в противоречие с предположением все коэффициенты многочлена ф должны быть равными нулю.