§ 57*. Рациональные корни целочисленных многочленов

Выше было указано, что вопрос о разложении данного много­члена над полем рациональных чисел на неприводимые множители ни имеет практически сколько-нибудь удовлетворительного решения. Однако частный случай этого вопроса, относящийся к выделению линейных множителей многочлена с рациональными коэффициента­ми, т. е. к разысканию его рациональных корней, уже весьма прост и решается без больших вычислений. Само собой разумеется, что вопрос о разыскании рациональных корней многочленов с раци­ональными коэффициентами ни в какой мере не исчерпывает об­щего вопроса о действительных корнях этих многочленов, т. е. методы и результаты, изложенные в девятой главе, сохраняют полностью свое значение и для многочленов с рациональными ко­эффициентами.

Приступая к вопросу о разыскании рациональных корней мно­гочленов с рациональными коэффициентами, отметим, что, как было указано в предшествующем параграфе, можно ограничиться рассмотрением лишь многочленов с целыми коэффициентами; мы будем при этом рассматривать отдельно случай целых и случай дробных корней.

Если целое число а служит корнем многочлена /(х) с целы­ми коэффициентами, то а будет делителем свободного члена этого многочлена.

В самом деле, пусть

/{х)-=а₀х^п+а₁х^п~¹+ ...+а_п.

Разделим /(х)нах— а:

/(*) = (* —а) (Ь₀х^п-1 + + .. . +Ь_п._г).

Выполняя деление методом Горнера, изложенным в § 22, мы получим, что все коэффициенты частного, в том числе и Ь_п-и являются целыми числами,а так как

а_п —-1= сх (_х),

то наше утверждение доказано ^х).

Таким образом, если целочисленный многочлен /(х) обладает целыми корнями, то они будут найдены среди делителей свобод­ного члена. Необходимо, следовательно, испытать всевозможные делители свободного члена, как положительные, так и отрицатель­ные; если ни один из них не является корнем многочлена, то це­лых корней наш многочлен вообще не имеет.

^х) Было бы ошибкой доказывать эту теорему ссылкой на то, что сво­бодный члена_пявляется (с точностью до знака) произведением всех кор­ней многочлена[ (х):среди этих корней могут встретиться и дробные, и иррациональные, и комплексные, и поэтому заранее нельзя утверждать, что произведение всех этих корней, кроме а, будет целым.

Испытание веек делителей свободного члена может оказаться весьма громоздким, если даже значения многочлена будут вычис­ляться методом Горнера, а не непосредственной подстановкой каж­дого из делителей вместо неизвестного. Следующие замечания поз­воляют несколько упростить эти вычисления. Прежде всего, так как 1и —1всегда служат делителями свободного члена, вычис­ляем /(1) и /(—1), что не представляет затруднений. Если, да­лее, целое числоаявляется корнем для/(х):

/(х) = (х—а)q(дг),

то, как указано выше, все коэффициенты частного д(х)будут це­лыми числами, и поэтому частные

должны быть целыми числами. Таким образом^, подлежат испыта­нию лишь те делители а свободного члена (из числа отличных

от 1 и —1), для которых каждое из частных ■ Р яв-

'а—1¹а+1

ляется целым числом.

Примеры.1. Найти целые корни многочлена

I(*)—х³—2х^г—х—6.

Делителями свободного члена служат числа +1, ±2,±3, ±6. Так как^(1)=—8,[(—5)= —8, то 1 и—Iне являются корнями. Далее, числа

2+1 ’ —2—1 ’ 6—1 ’ -6—1

являются дробными, и поэтому делители 2, —2,6,—6должны быть отбро­шены, в то время как числа

• 8 — 8 —8 —8

3. 1’ 3 + 1 ’ —3—1’—3+ 1

— целые, и поэтому делители 3 и —3 еще подлежат испытанию. Применим метод Горнера:

|1_2—1—6 — 3 | 1—514—48’

т. е. {(—■3)= —48, и поэтому —3 не является корнем дляf (х).Наконец

1 —2 —1 —6 112 0’

т. е. f(3)=0: число 3 служит корнем дляf (х).Одновременно мы нашли коэффициенты частного от деленияf (х)нах—3;

/(*) = (*-3)(лг*+* + 2).

Легко видеть, что частное х²+я + 2 не имеет числа 3 своим корнем, т. е. это число не является кратным корнем дляf (х).

2.Найти целые корни -многочлена

/ (х) = 3х* + х?—5х^г— 2х + 2.

Здесь делителями свободного члена будут ±1 и ±2. Далее, f (1) = — 1,/(—1)=1,т. е. 1 н—1не служат корнями. Наконец, так как числа

1. —1

2+1^и—2—1

дробные, то 2и—2также не будут корнями и поэтому многочленf (х) вообще не имеет целых корней.

Переходим к вопросу о дробных корнях.

Если целочисленный многочлен, старший коэффициент кото­рого равен единице, имеет рациональный корень, то этот корень будет целым числом.

Пусть, в самом деле, многочлен

/(дг) =л;” + + а_гх^п~²+ ...+а„

с целыми коэффициентами имеет корнем несократимую дробь — , т. е.

Ь^пЬ^п~^у Ь^п~²

? + ^ai 7^ +^й27^+ ... + а„ =0.

Отсюда

' ь^п

• = —а₁Ь^п~¹—а₂Ь^п~*с— ... —а_пс'^1-1,

т. е. несократимая дробь равна целому числу, что невозможно.

Для получения всех рациональных (дробных и целых) корней целочисленного многочлена

f(x) = a₀xⁿ + a₁xⁿ-¹ + a₂xⁿ~*+... +a„_₁x+a„ нужно найти все целые корни многочлена

ф(Я=/^г + а₁^^л“¹ + а₀«2^^л"^г+ • • • +ao~²a_n.jy +а"'¹а_пи разделить их на а₀.

В самом деле, умножим /(х)наао^-1, а затем совершим замену неизвестного, положиву=а_йх.Очевидно, что

Ф(У) = Ф (^ао^х)== «о^-1/(•*)■

Отсюда следует, что корни многочлена /(х)равны корням много­члена ф{у),разделенным наа₀,В частности, рациональным кор­ням/(х)будут соответствовать рациональные же корни9(у);так как, однако, старший коэффициент ф(у)равен единице, то эти корни могут быть лишь целыми, и мы уже имеем метод для их разы­скания.

Пример.Найти рациональные корни многочленаf (х) = Зх*+5х³+х*+5х—2.

Умножая f (х)на З³и полагаяу — Ъх,получим;

Ф (У) =У* +5У³+ 3у²+ 45у—54.

Ищем целые корни многочлена <р (у).

Найдем ф (1) методом Горнера:

І 1 5 3 45 —54

1. I 16 9 54 О

Таким образом, <р(1)=0, т. е. 1 является корнем для ф (у),причем

Ф (У) = ІУ — 1)Я(У).

где

<7 (У) —У³ ++ 9у +54.

Найдем целые корни многочлена д (у).Делителями свободного члена служат числа ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ±27, ±54. Здесь

9(1) = 70, <?( — 1) = 50.

Вычисляя ^ и Рдля каждого делителя а, мы обнаружим, что долж­ны быть отброшены все делители, кроме а=—6. Испытаем этот делитель:

2. 69 54—611 0 9 0'

Таким образом, д(—6) = 0, т. е.—6служит корнем дляд (у)и поэтому для ф(у).

Многочлен ф ((/> имеет, следовательно, целые корни 1 и—6. Рациональ­ными корнями многочлена /(ж) будут, таким образом, числа -5- и—2и

О

только они.

Следует еще раз подчеркнуть, что изложенные выше методы применимы толькок многочленам с целыми коэффициентами итолькодля разыскания их рациональных корней.