§ 54*. Результант. Исключение неизвестного. Дискриминант

Если дан многочлен/{х_1г х₂,. . .,х_п)из кольцаР[х_х, х₂, . . ., х_п], то егорешениемназывается такая система значений для неизвестных

Х\— ,Х₂=СС₂, . . .,Х_п= С£_п,

Взятых в поле Рили в некотором расширенииРэтого поля, кото­рая обращает многочлен / в нуль:

/(^а1, «2. • ■ ■>^а„) = °-

Всякий многочлен/,степень которого больше нуля, обладает решениями:если неизвестно^х_хвходит в запись этого многочлена, то в качестве а₂,...,а_пможно взять по существу произвольные элементы из поляР,лишь бы степень многочлена/{х_х, а₂,.. .,а_п) Оставалась строго положительной, а затем, используя теорему о суще­ствовании корня (§ 49), взять такое расширение Рполя Р, в кото­ром многочлен/{х_х, а₂,. ..,а_п)от одного неизвестногох_хобладает корнем а_х. Мы видим вместе с тем, что свойство многочлена сте­пенипот одного неизвестного обладать во всяком поле не более чемпкорнями для многочленов от нескольких неизвестных пере­стает быть справедливым.

Если дано несколько многочленов от пнеизвестных, то можно поставить вопрос о разыскании решений, общих для всех этих много­членов, т. е. решений той системы уравнений, которая получается в результате приравнивания заданных многочленов нулда. Частный случай этой задачи, а именно случай систем линейных уравнений,

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ

§ 56*. Приводимость многочленов над полем рациональных чисел

Третьим числовым полем, которое наряду с полями действитель­ных и комплексных чисел представляет для нас особый интерес, является поле рациональных чисел; обозначим его через /?. Оно является самым малым среди числовых полей: как доказано в § 43, поле Ясодержится целиком во всяком числовом поле. Мы будем интересоваться сейчас вопросом о приводимости многочленов над полем рациональных чисел, а в следующем параграфе — вопросом

о рациональных (целых и дробных) корнях многочленов с рацио­нальными коэффициентами. Еще раз подчеркнем, что это два разных вопроса: многочлен

х* + 2х* + \ ={х²+ I)²

приводим над полем рациональных чисел, хотя не имеет ни одного рационального корня.

Что можно сказать о приводимости многочленов над полем /?? Заметим, прежде всего, что если дан многочлен /(х), коэффициенты которого рациональны, но не все целые, то, приводя коэффициенты к общему знаменателю и умножая /(х)на этот знаменатель, р-авный, например, &, мы получим многочленк/{х),все коэффициенты кото­рого будут уже целыми числами. Очевидно, что многочлены/{х)ик/(х)имеют одинаковые корни; с другой стороны, они одновре­менно будут приводимыми или неприводимыми над полемЯ.

'Мы, однако, пока не получили права ограничиться в дальнейшем рассмотрением многочленов с целыми коэффициентами. В самом деле, пусть целочисленный многочленg(x)(т. е. многочлен с це­лыми коэффициентами) приводим над полем рациональных чисел, т. е. разложим на множители меньшей степени с рациональными (вообще говоря, дробными) коэффициентами. Следует ли отсюда разложимость§(х)на множители с целыми коэффициентами? Иными словами, не может ли многочлен с целыми коэффициентами, приво­димый над полем рациональных чисел, оказаться неприводимым над кольцом целых чисел?

Ответ на эти вопросы может быть получен при помощи рассмо­трений, аналогичных проведенным в § 51. Назовем многочлен f(x) с целыми коэффициентамипримитивным, если его коэффициенты в совокупности взаимно просты, т. е. не имеют общих делителей, отличных от 1 и —1. Если дан произвольный многочлен (р(х)с ра­циональными коэффициентами, то его можно, притом однозначным образом, представить в виде произведения несократимой дроби на некоторый примитивный многочлен:

Ф (•*) = -£-/(*)’. 0)

для этого нужно вынести за скобки общий знаменатель всех коэф­фициентов многочлена ср (х), а затем и общие множители из числи­телей этих коэффициентов; заметим, что степеньf(x) равна сте­пени ф(д:). Однозначность (с точностью до знака) представления (1) доказывается следующим образом. Пусть

Ф (x) = jf(x)^~g(x),

где g(x) — снова примитивный многочлен. Тогда

adf(x) = beg (х).

Таким образом, ad иЬсполучены вынесением всех общих мно­жителей из коэффициентов одного и того же целочисленного много­члена, а поэтому могут отличаться друг от друга лишь знаком. Отсюда следует, что и примитивные многочленыf(x) и ^(д:) также могут отличаться друг от друга лишь знаком.

Для целочисленных примитивных многочленов остается справед­ливой лемма Гаусса:

Произведение двух целочисленных примитивных многочленов само есть примитивный многочлен.

В самом деле, пусть даны примитивные целочисленные много­члены

f(x) = а_Лх^к~¹ + ... +а_{х^к-¹+...+а_к,

g (х) — b₀x^l -f- Ь_гх^{1 1}-}-.. .-f- bjX^l *-f- ...-f- b_t

и пусть

/MgW = _v^h4vⁱ⁺'-4 ... +с,._+/*⁽*^+г>-"'^+/>+ ... +с*₊₁.

Если это произведение не примитивно, то существует такое про­стоечислор,которое служит общим делителем для всех коэффи­циентов с₀, с_х,...,c_k+l. Так как все коэффициенты примитивного многочлена / (лг) не могут делиться нар,то пусть коэффициент до­будет первым, нарне делящимся; аналогично черезbj мы обозначим первый коэффициент многочлена не делящийся нар.Перемножая почленно /(*) иg(x)и собирая члены, содержащиех^1к+^!)~^11+л, мы получим:

c_i+^—a_ibJ-\-a_i_₁bj_+l^Jra_i_₂b_J■+₂-]_г... + + а_{; + 2}^_₂ + ...

Левая часть этого равенства делится на р.На него заведомо делятся также все слагаемые правой части, кроме первого; действительно, ввиду условий, наложенных на выбор / и у, все коэффициенты^а,--1>^а;-г>•••>^атакжеbj__x, Ь...,делятся нар.Отсюда сле­дует, что произведение также делится нар,а поэтому, ввиду простоты числар,нардолжен делиться хотя бы один из коэффи­циентов а,.,Ьчто, однако, не имеет места. Этим заканчивается доказательство леммы.

Переходим к ответу на поставленные выше вопросы. Пусть мно­гочлен §■(*) степени пс целыми коэффициентами приводим над полем рациональных чисел:

g(x) = ^p₁(х) ср₂ (*),

где ф_г(х)и ф₂(х)— многочлены с рациональными коэффициентами и их степени меньшеп.Тогда

Фг(*) = -^-/;(*). ^/=1. ²> где~— несократимая дробь, /_;(х)— примитивный многочлен. Отсюда

«■(*) = [Л (*)/*(*)]■

Левая часть этого равенства является целочисленным многочленом, поэтому знаменатель Ь_хЬ_гв правой части должен сократиться. Однако многочлен, стоящий в квадратных скобках, будет, по лемме Гаусса, примитивным, поэтому всякий простой множитель изЬ_ХЬ₂может сократиться лишь с некоторым простым множителем иза_ха₂,а так кака_{иЬ₍взаимно просты, /=1,2, то число а₂должно нацело делиться наЬ_г, а₁— наЬ₂\

о>₂ ~ ЬуО-2₁а^^Ь^а^,

Отсюда

Присоединив коэффициент йха_гк любому из множителей /_х(х),/₂(х),мы получим разложение многочленаg(x)на множители меньшей степени с целыми коэффициентами. Этим доказана следующаятеорема:

Многочлен с целыми коэффициентами, неприводимый над кольцом целых чисел, будет неприводимым и над полем рацио­нальных чисел.

Теперь мы получили, наконец, право ограничиваться в вопросах, относящихся к приводимости многочленов над полем рациональных чисел, рассмотрением разложений целочисленных многочленов на множители, все коэффициенты которых также целые.

Мы знаем, что над полем комплексных чисел приводим всякий многочлен, степень которого больше единицы, а над полем действи­тельных чисел — всякий многочлен (с действительными коэффициен­тами), степень которого больше двух. Совсем иное положение в случае поля рациональных чисел: для любого п можно указать многочлен п-й степени с рациональными (даже целыми) коэф­фициентами, неприводимый над полем рациональных чисел. Доказательство этого утверждения основано на следующем доста­точном признаке неприводимости многочлена над полем /?, назы­ваемомкритерием Эйзенштейна:

Пусть дан многочлен

/(х) = а₀х^п+ а₁х^п-¹+... +а_п_₁.х + а„

с целыми коэффициентами. Если хотя бы одним способом можно подобрать простое число р, удовлетворяющее следующим тре­бованиям:

1. старший коэффициент а_ане делится на р,

2. все остальные коэффициенты делятся на р,

3. свободный член, делясь на р, не делится на р²,

то многочлен /(х) неприводилі на& полем рациональных чисел.

В самом деле, если многочлен /(х)приводим над полем /?, то он разлагается на два множителя меньшей степени с целыми коэф­фициентами:

/(х) = (Ь₀х^к-{-Ь_хх^к~^х+...+£*)[с₀х¹+с_хх¹~^гс_г),

где к<іп, 1<іп, к-\-1 = п.Отсюда, сравнивая коэффициенты в обеих частях этого равенства, получаем:

(2)

^ап = ^Ьк^сР ^ап-1 ⁼ ^к^с1-1 + Ь)г-1^СР^ап-2 ⁼ ^к^с1-2 Н" ^к~ 2^СР

^а0—V о •

Из первого из равенств (2) следует, так как а_пделится на,р, а числорпростое, что один из множителейЬ_к, с₁должен делиться нар.Они оба не могут одновременно делиться нар,так кака_п, по условию, не делится нар².Пусть, например,Ь_кделится нар и поэтомус₁взаимно просто ср.Переходим теперь ко второму из равенств (2). Его левая часть, а также первое слагаемое правой части делятся нар,поэтому нарделится и произведениеЬ_к__хс₁;

так как, однако, с_гнар не делится, то нарбудет делитьсяЬк-і. Подобным же образом из третьего равенства (2) мы получим, чтоЬк-ї делится нар,и т. д. Наконец, из (Уг-)-1)-го равенства будет получено, что нарделится'Ь₀;но тогда из последнего из равенств (2) вытекает, что нар делится а₀, что противоречит предположению.

Весьма легко для любого пнаписать целочисленные многочленып-Й степени, удовлетворяющие условиям критерия Эйзенштейна и, следовательно, неприводимые над полем рациональных чисел. Та­ков, например, многочленх^п+2; к нему применим критерий Эйзенштейна прир —2.

Критерий Эйзенштейна является лишь достаточным условием не­приводимости над полем /?, но отнюдь не необходимым: если для данного многочлена /(х)нельзя подобрать такого простого числар, чтобы выполнялись условия критерия Эйзенштейна, то он может быть приводимым, какX^2,— 5лг +6, но может быть и неприводимым, как лг^а1. Существует, помимо критерия Эйзенштейна, много других достаточных критериев неприводимости многочленов над полемІ?, впрочем менее значительных. Существует также метод, принадлежащий Кронекеру и позволяющий о любом многочлене с целыми коэффициентами решить, приводим ли он над полемЯ или нет. Этот метод, однако, очень громоздок и практически почт? неприменим.

Пример.Рассмотрим многочлен

М*>⁼т^⁼*^р"^{1 +}*^р'²⁺---^+д;+1’

где р—простое число. Корнями этого многочлена служат корнир-й степени из единицы, отличные от самой единицы; так как эти корнн вместе с1де­лят единичный круг комплексной плоскости нарравных частей, то много­член(х)называетсямногочленом деления круга.

К этому многочлену не может быть непосредственно применен критерий Эйзенштейна. Совершим, однако, замену неизвестного, положив х = у-\-1. Мы получим:

-у [у' + ру*-¹ + ^Р-^¹У^р-² Ч-... +Р2/] =

'=У^р~^г+р/~⁸+- “^Р₂~-¹- г/^р~³+р.

Коэффициенты многочлена g(у) являются биномиальными коэффициентами и поэтому все, кроме старшего, делятся нар,причем свободный член не делится нар². Таким образом, согласно критерию Эйзенштейна многочлен^ (у)неприводим над полем /?. Отсюда следуетнеприводимость над полем Я многочлена деления круга ї_р(х). В самом деле, если

ИЛИ

йГ(у)=ф(0+1)1>(0+1)-