Властивості функції

Всюди надалі вважається, що інтегральна функція визначена .

1. Значення функції належать проміжку , тобто , причому .Доведення. Т.к. с вероятносной точки зрения ф-ция F(х) = Р(Х<х), то из свойств вероятности получ. Е(F) = [0;1]

2. Функція є неспадною, тобто .

Наслідок ( основна формула теорії ймовірностей) :

.

3. Імовірність того, що НВВ прийме деяке окреме значення дорівнює нулю, тобто .

Наслідок . Для НВВ справедливі рівності:

Розглянуті властивості функцій розподілу можна сформулювати наступним чином: будь-яка функція розподілу є невід’ємною неспадною функцією, що задовольняє умови . Справедливе і обернене твердження: будь-яка функція, що задовольняє вищевказаним властивостям, може бути функцією розподілу деякої ВВ.

26. Нагадаємо, що функціональна залежність характеризується відповідністю кожному значенню однієї змінної (аргумента) цілком певного, єдиного значення іншої змінної (функції).

Означення. Статистичною залежністю між двома змінними називається залежність, при якій кожному можливому значенню однієї змінної відповідає закон розподілу іншої змінної.

Означення. Кореляційною (регресійною) називають залежність, при якій кожному можливому значенню однієї змінної відповідає середнє (умовне середнє) значення іншої змінної (знайдене по закону розподілу або отримане шляхом спостережень). Кореляція – взаємозв’язок, регресія – вплив.

Після знаходження оцінок невідомих параметрів регресійної моделі оцінимо щільність зв’язку між величинами, тобто потрібно відповісти на запитання, наскільки значним є вплив незалежної змінної (фактора, регресора) на залежну змінну (результат, регресант) . Найпростішим критерієм, який дає кількісну оцінку зв’язку між двома показниками, є коефіцієнт кореляції:

де - коефіцієнт коваріації між та ; - дисперсії змінних.

Як видно із виразу, коефіцієнт кореляції, на відміну від коефіцієнта коваріації, є вже не абсолютною, а відносною мірою зв’язку між двома факторами. Тому значення коефіцієнта кореляції розташовані між -1 та +1 ( ). Позитивне значення коефіцієнта кореляції свідчить про прямий зв’язок між факторами, а негативне – про зворотний зв’язок. Коли коефіцієнт кореляції прямує за абсолютною величиною до 1, це свідчить про наявність сильного зв’язку ( - щільність зв’язку велика), коли коефіцієнт кореляції прямує до нуля , то зв’язок дуже слабкий.

13. Означення. Щільністю розподілу ймовірностей (або диференціальною функцією розподілу) називається похідна (якщо вона існує) від інтегральної функції розподілу:

ВЛАСТИВОСТІ

1. Щільність розподілу імовірностей – невід’ємна функція, тобто .

Доведення.

Теорема .(основна формула теорії імовірностей). Імовірність того, що НВВ прийме значення із деякого проміжка знаходиться за формулою:

.

Інтегральна функція розподілу та диференціальна (щільність розподілу імовірностей) є еквівалентними узагальненими характеристиками НВВ, які пов’язані співвідношенням: .

Умова нормування закону розподілу НВВ має вигляд: .

Числові характеристики НВВ визначаються наступними формулами (якщо збігаються відповідні невласні інтеграли):

.

24.Означення. Статистичними називають гіпотези про вигляд розподілу генеральної сукупності або про параметри відомих розподілів.

Наприклад, статистичними будуть гіпотези: а) генеральна сукупність розподілена за нормальним законом; б) дисперсії двох сукупностей, розподілених за законом Пуассона, рівні між собою.

Приклад нестатистичної гіпотези (оскільки не йде мова ні про вигляд закону розподілу, ні про його параметри): значна частина людей, народжених у другому півріччі, має краще розвинену праву частину мозку, яка здійснює образне мислення.

Разом із припущеною гіпотезою завжди можна розглядати протилежну їй гіпотезу, які доцільно розрізняти.

Означення. Основною (нульовою) називають припущену гіпотезу і позначають .

Означення. Альтернативною (конкурентною) називають гіпотезу, що суперечить основній і позначають .

Наприклад, якщо , то .

Гіпотези можуть містити тільки одне припущення ( прості ) або більше одного припущення ( складні ). Наприклад, якщо - параметр показникового розподілу, то гіпотеза - проста, а гіпотеза - складна (містить нескінченну множину гіпотез).

Статистична гіпотеза, яка висунута, може бути правильною або неправильною, тому виникає необхідність її статистичної перевірки (перевірка за даними вибірки). При цьому за даними випадкової вибірки можна зробити хибний висновок.

Означення. Якщо за висновком буде відкинута правильна гіпотеза, то кажуть, що це похибка першого роду.

Означення. Якщо за висновком буде прийнята хибна гіпотеза, то кажуть, що це похибка другого роду.

Відмітимо, що наслідки похибок другого роду більш небезпечні, ніж наслідки похибок першого роду.

Означення. Імовірність здійснити похибку першого роду називають рівнем значущості.

Означення. Критичною областю називають множину можливих значень критерію, при яких основна гіпотеза відхиляється. Є однобічні та двобічні критичні області.

Означення. Областю прийняття гіпотези (областю допустимих значень) називають множину можливих значень критерію, при яких основна гіпотеза приймається.

Для знаходження критичних областей (та областей прийняття гіпотез) задають рівень значущості , визначають кількості ступенів вільності (це поняття буде розглянуто далі), а потім шукають критичну точку із умови у випадку правобічної критичної області. Ця точка відокремлює критичну область від області прийняття гіпотези.

Зауваження. Єдиним способом одночасного зменшення імовірностей похибок першого та другого роду є збільшення об’єму вибірки.

16. Означення. НВВ розподілена за нормальним законом з параметрами та , якщо її щільність розподілу імовірностей має вигляд:

.

Скористувавшись означеннями, неважко переконатись, що числові характеристики нормально розподіленої ВВ дорівнюють .

ВЛАСТИВОСТІ НОРМАЛЬНОГО РОЗПОДІЛУ.

Імовірність попадання значень нормально розподіленої ВВ до проміжку знаходиться за формулою:

.(*)

Імовірність того, що модуль відхилення нормально розподіленої ВВ від свого математичного сподівання не перевищить величину , дорівнює

. (**)

18. Наслідок (центральна гранична теорема). Зокрема, якщо всі ВВ однаково розподілені, то закон розподілу їх суми при необмежено наближається до нормального.

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Для біноміально розподіленої ДВВ - частоти появи події з імовірністю в серії із НПВ справедлива наближена формула:

,

де - = ½(1 + Ф(х-а/ơ) інтегральна функція Лапласа, .

Частинні випадки інтегральної теореми Муавра-Лапласа . Для частоти та частості появи події з імовірністю в серії із НПВ справедливі наближені формули:

,

.

22. Точкові оцінки параметрів розподілу є випадковими величинами, їх можна вважати первинними результатами обробки вибірки, оскільки невідомо, з якою точністю кожна з них оцінює відповідну числову характеристику генеральної сукупності. Якщо об’єм вибірки досить великий, то точкові оцінки задовольняють практичні потреби точності. Якщо ж об’єм вибірки малий, то точкові оцінки можуть давати значні похибки, тому питання точності оцінювання у цьому випадку дуже важливе і необхідно використовувати інтервальні оцінки.

23 Інтервальні оцінки вибірки. Три типи задач на вибірку.

Означення. Інтервальною називають оцінку, яка визначається двома числами – кінцями інтервалу.

Інтервальні оцінки дозволяють встановити точність та надійність оцінок.

Нехай знайдена за даними вибірки статистична оцінка є точковою оцінкою невідомого параметра . Очевидно, що тим точніше визначає , чим меншим є модуль різниці . Іншими словами, якщо , тоді меншому відповідатиме більш точна оцінка. Тому число називають граничною похибкою вибірки і воно характеризує точність оцінки.

Але статистичні методи не дозволяють категорично стверджувати, що оцінка задовольняє нерівність . Таке твердження можна зробити лише із певною імовірністю.

Означення. Надійністю (довірчою імовірністю) оцінки параметра називають імовірність яку можна записати у вигляді . З цієї рівності випливає, що інтервал містить невідомий параметр генеральної сукупності (часто кажуть, що інтервал покриває невідомий параметр).

Означення.Інтервал називають довірчим, якщо він покриває невідомий параметр із заданою надійністю .Зауважимо, що кінці довірчого інтервалу є випадковими величинами.

За допомогою теорем закону великих чисел з уточненням Ляпунова (Чебишова для кількісної ознаки та Бернуллі для якісної ознаки) доводиться наступне твердження (класичні інтервальні оцінки або формули довірчої імовірності):

ТРИ ТИПИ ЗАДАЧ ВИБІРКОВОГО МЕТОДА.

1) Для заданих об’ємові вибірки та довірчому інтервалі знайти надійність 2) При заданих об’ємові вибірки та надійності оцінки знайти довірчий інтервал 3) При заданих надійності оцінки та довірчому інтервалі знайти необхідний об’єм вибірки

7. дискретная случ.велич. Х, возможніми значениями котороя явл. Х= m(m=0,1,2,…), а вероятности соответствущих значений определ.по ф-ле Пуассона Р(Х= m) = наз.пуассоновской случ.величиной с параметром а. Если число испытаний n увелич, то увелич.число членов биномиального распределения. Значение вероятности каждого отдельного значения уменьшается, по скольку сумма вероятностей всех возможных значений остается = 1. По этому закон Пуассона часто наз. Законом редких событий. Свойства:1)Математ.ожидание и дисперсия сл.величины равны между собой. М(Х) =а, Д(Х)=а. 2)Сумма вероятностей всех возможных значений пуассоновской случ.величины равна 1.

17. НВВ X розподілена за нормальним законом з параметрами a та , якщо її щільність розподілу імовірностей має вигляд: Скористувавшись означеннями, неважко переконатись, що числові характеристики нормально розподіленої ВВ дорівнюють: Інтегральна: Імовірність попадання значень нормально розподіленої ВВ X до проміжку [x1;x2] знаходиться_за_формулою: Правило трьох сигм. Із практичною достовірністю (з імовірністю 0,9973) можна стверджувати, що значення нормально розподіленої ВВ X попадають до проміжка

11.1.если случ.величины Х и U связаны между собой равентством U = X = xo/h.

M(X) = x0 + hM(U) D(X) = h²D(U) ơ = hơ(U) Доказательство. 1)Пользуясь свойствами матем.ожид.находим M(U) = M(X-x0) / h = 1/h*M(X-x0) = 1/[M(x) – M(x0)] = 1/h*M(x) – x0. Получим M(U) = 1/h*M(x) – x0 /h => h*M(U) = M(x) – x0 => M(x) = h*(M(U) + x0

2. пользуясь свойствами дисперсии получим: D(U) = D(x-x0/h) = 1/h² * D(x-x0) = 1/h² D(x) +D(x0) = 1/h*D(x). Отсюда находим D(U) = 1/h² * D(X)……...D(x) = h² * D(U)

3. по определ. ср.кв.отклонения находим

Ơ(х) = Д(U) = |h| * ơ(U). если h>0, то

ơ(х) = h*ơ(U)

2.числовые характеристики биномиальной случ.велич. вычисл. По ф-лам.

М(Х) = М(m) = np…..D(X) = npq…

Ơ= ơ(m) = npq

Доказательство. С каждым испытанием свяжем величину Хі, которая связана с і-м испытанием имеет_закон_распределения Хі=1, если в і-том испытании соб.А произошло, по этому Р(Хі = 1) = р. случ. Велич. Хі принимает значение если в і-том испытании соб.А не произошло, по-этому Р(Хі=0) = Р(А¯) = 1-р=q. Найдем числовые характеристики_случ.велич.Хі. М(Хі)= 0² * q + 1*p = p.

D(Xі) = М(х²) - М²(Х) = 0²*q + 1²*p - p²= p-p² = p(1-p) = p*q. Т.к. в схеме Бернулли испытания явл.независимыми, то случ.величины Хі(і=1,n) – независимы. Частота m-появление события А в n-независимых испытаниях с помощью случ. Величины Хі может быть представлено в виде m = xі +х2+..+хn. Пользуясь свойствами числовых характеристик находим

M(m) = M(x1)+M(x2)+…+M(xn) = np

D(m) = D(x1)+D(x2)+…+D(xn) = npq

5. Біноміальным законом розподілу ДВВ X називають ДВВ X = m – частоту появи події A у n НПВ, таблиця розподілу якої має наступний вигляд

X=m	0	…	n
P=Pm,n	P0,n	…	Pm,n

M(m) = np; D(m) = npq;

Найімовірнішою частотою m0 (або модою) появи події A у n НПВ називають частоту, для якої

За означенням із системи умов

неважко дістати подвійну нерівність для визначення найімовірнішої частоти:

14.НВВ X називається рівномірно розподіленою на проміжку [a,b] , якщо її щільність розподілу імовірностей стала на цьому проміжку, а поза цим проміжком дорівнює нулю, тобто

Свойство1. Дифференциальная ф-ция равномерно распределенной на отрезке [a;b] случайной величины записывается в виде

Следствие2. Интегральная ф-ция распределения случ.велич., равномерно распределенной на отрезке [а;в] записывается в виде:

Следствие3. Математическое ожидание случ.велич.,равномерно распределенной на отрезке [a;b] определ.по ф-ле ,

Следствие4. Дисперсия случ.велич., равномерно распредел.на отрезке [a;b], определ.по ф-ле

Следствие5. Среднее квадратич.отклонение случ.велич. определ.по ф-ле