25. Нагадаємо, що функціональна залежність характеризується відповідністю кожному значенню однієї змінної (аргумента) цілком певного, єдиного значення іншої змінної (функції).

Означення. Статистичною залежністю між двома змінними називається залежність, при якій кожному можливому значенню однієї змінної відповідає закон розподілу іншої змінної.

Означення. Кореляційною (регресійною) називають залежність, при якій кожному можливому значенню однієї змінної відповідає середнє (умовне середнє) значення іншої змінної (знайдене по закону розподілу або отримане шляхом спостережень). Кореляція – взаємозв’язок, регресія – вплив.

Коефіцієнт кореляції

Після знаходження оцінок невідомих параметрів регресійної моделі оцінимо щільність зв’язку між величинами, тобто потрібно відповісти на запитання, наскільки значним є вплив незалежної змінної (фактора, регресора) на залежну змінну (результат, регресант) . Найпростішим критерієм, який дає кількісну оцінку зв’язку між двома показниками, є коефіцієнт кореляції:

де - коефіцієнт коваріації між та ; - дисперсії змінних.

Як видно із виразу, коефіцієнт кореляції, на відміну від коефіцієнта коваріації, є вже не абсолютною, а відносною мірою зв’язку між двома факторами. Тому значення коефіцієнта кореляції розташовані між -1 та +1 ( ). Позитивне значення коефіцієнта кореляції свідчить про прямий зв’язок між факторами, а негативне – про зворотний зв’язок. Коли коефіцієнт кореляції прямує за абсолютною величиною до 1, це свідчить про наявність сильного зв’язку ( - щільність зв’язку велика), коли коефіцієнт кореляції прямує до нуля (), то зв’язок дуже слабкий. У нашому прикладі щільність прямого зв’язку між факторами велика, оскільки коефіцієнт кореляції близький до одиниці.

10. Означення. Дисперсією ДВВ називається МС квадрата відхилення ВВ від свого МС, тобто:

.Дисперсія (якщо вона існує) має розмірність квадрата ВВ, є невипадковою сталою невід’ємною величиною, що характеризує розсіювання значень ВВ від центру розподілу – МС.

Для того, щоб мати аналогічну характеристику такої ж розмірності як сама ВВ, розглядають середнє квадратичне відхилення (стандарт):.

ВЛАСТИВОСТІ ДИСПЕРСІЇ.

1. Дисперсію можна знаходити за формулою: .

Доведення. З визнач.дисперсії отримуємо: Д(х)=М(х-М(х))² = М(х²- 2х*М(х) + М²(х))=по властив.матем.очікування = М(х²) – 2М(х) * М(х) + М²(х) = М(х²) – 2М²(х) + М²(х) = М(х²) - М²(х).

2. Дисперсія сталої дорівнює нулю: .

Доведення. Д(С) =М(С-М(С))² = М(С-С)=М(0) = 0.

3. Сталий множник виноситься за знак дисперсії в квадраті: .

Доведення. Знайдемо дисперсію сл..вел. Д(СХ)=М(СХ М(СХ))² = М(СХ – СМ(х))² = М(С(х-М(х))² = М(С²(х-М(х))² = С²*М(х-М(х))² = С²Д(х)

4. Дисперсія суми незалежних ВВ дорівнює сумі їх дисперсій: .

Наслідок. Дисперсія різниці незалежних ВВ дорівнює сумі їх дисперсій: .

Наслідок. Дисперсія центрованої ВВ співпадає із дисперсією самої ВВ , а дисперсія стандартизованої ВВ дорівнює одиниці.

5. Якщо ВВ та залежні, то: , де - коваріація між ВВ та .

6. Дисперсія добутку незалежних ВВ дорівнює: .

7. Дисперсія середнього арифметичного незалежних ВВ дорівнює:.

12. Означення. Інтегральною функцією розподілу ВВ називається імовірність того, що ВВ прийме значення, менше від числа , тобто

Ця функція повністю характеризує ВВ з імовірнісної точки зору, тобто є однією із форм закону розподілу. Тепер можна дати чітке означення ДВВ та НВВ. Графік інтегральної функції розподілу ВВ зображений на рис.