- •Module 3
- •Topic 1 .Differential equations of the first order and the first degree
- •Typical problems
- •Self-test and class assignments
- •Individual tasks
- •1.1. Solve the separable differential equations.
- •1.2. Solve the homogeneous differential equations.
- •1.3. Solve the linear differential equations.
- •1.4. Solve the Bernoulli’s differential equations.
- •1.5. Find the general solution and also the particular solution through the point written opposite the equation.
- •1.6. Solve the exact differential equations.
- •Various types of differential equations with appropriate substitution will be considered in the following articles (see table 3.1).
- •Table 3.1
- •Consider other types of differential equations with appropriate substitution for reduction of order:
- •1) a differential equation
- •Typical problems
- •Self-tests and class assignments
- •Answers
- •Table3.2
- •Table 3.4
- •Examples of typical problems
- •Class and self assignments
- •Answers.
- •3.2. Find the general solutions of linear homogeneous equations.
- •3.3. Find general the solutions of linear homogeneous equations with right part of special form.
- •3.4. Solve Cauchy’s test for equations of the second order.
- •3.5. Solve the equations using the Lagrange’s method.
- •Examples of typical problems solving
- •Tests for general and self-studying
- •Answers
3.1.24.а) y 10y 9 y 0 ;
3.1.25.а) y 12y 11y 0 ;
3.1.26. а) 2y 3y y 0 ;
3.1.27.а) y 6y 5y 0 ;
3.1.28.а) y 7 y 8y 0 ;
3.1.29. а) |
5y 2 y 7 y 0 ; |
3.1.30. а) |
3y 5y 8y 0 ; |
б) y 4 y 13y 0 .
б) y 2 y y 0 .
б) 25y 10y y 0 . б) 4y 12y 9y 0 . б) 36y 12y y 0 . б) 16y 8y y 0 . б) 8y 4y y 0 .
3.2. Find the general solutions of linear homogeneous equations.
3.2.1. y y 4 y 4 y 0 . 3.2.2. y(4) 16 y 0 .
3.2.3.y 2y y 2 y 0 .
3.2.5.y 2y 4y 8y 0 .
3.2.7. y 4y 5y 2y 0 . 3.2.9. y 3y y 3y 0 .
3.2.11.y (4) 3y 3y 3y 2y 0 .
3.2.13.y 9y 27 y 27 y 0 .
3.2.15.y 4y y 6 y 0 .
3.2.17.y 3y 9y 27 y 0 .
3.2.19.y 2y 4y 8y 0 .
3.2.21.y 6 y 12y 8y 0 .
3.2.23.y (4) 2 y 2y 2y y 0 .
3.2.25.y 3y 4y 12y 0 .
3.2.27. y (4) 2 y 2y 2 y y 0 .
3.2.29. y (4) y 3y y 2y 0 .
3.2.4.y (4) 5y 4y 0 .
3.2.6.y(4) 8y 9y 0 .
3.2.8.y (4) 4y 4y 0 .
3.2.10.y 5y 7 y 3y 0 .
3.2.12.y y 4y 4 y 0 .
3.2.14.y(4) 13y 36y 0 .
3.2.16.y(4) 2 y 2 y y 0 .
3.2.18.y 3y 3y y 0 .
3.2.20.y (4) 3y 3y y 0 .
3.2.22.y (4) 3y y 3y 0 .
3.2.24.y (4) 7 y 6 y 0 .
3.2.26.y(4) 2y 2y 0 .
3.2.28.y (4) 3y 4y 0 .
3.2.30.y 2y 9y 18y 0 .
3.3. Find general the solutions of linear homogeneous equations with right part of special form.
3.3.1. |
y 2 y y xe x . |
|
3.3.2. y y x sin x . |
3.3.3. |
y 6 y 9 y e x sin x . |
3.3.4. y ¢¢+2 y¢+5y = ex sin 2x . |
|
3.3.5. |
y 6 y 9 y 2x2 |
2x 3 . |
3.3.6. y 2y 2 y e x cos x . |
|
|
|
235 |
3.3.7. |
y 4 y 5y x2 |
|
3 . |
3.3.8. y 3y 2y 2xe x . |
|||||||||||||||||||||||
3.3.9. |
y 2 y 2 x x2 . |
3.3.10. |
4y 16y 15y e1,5x . |
||||||||||||||||||||||||
3.3.11. |
|
y 4y 4 y e 2x e x . |
3.3.12. y y 2x2 . |
||||||||||||||||||||||||
3.3.13. |
|
y y e x |
x 1 . |
3.3.14. y 2y 10y xe x . |
|||||||||||||||||||||||
3.3.15. |
|
|
|
y y 2y e x cos x . |
3.3.16. y 2y y e x sin x . |
||||||||||||||||||||||
3.3.17. |
|
y ¢¢+4y = cos 2x . |
|
|
3.3.18. y 9y xe3x . |
||||||||||||||||||||||
3.3.19. |
|
y 2y 2y e x sin 2x . |
3.3.20. |
y 9 y e3x . |
|||||||||||||||||||||||
3.3.21. |
|
y 2 y y e x . |
|
|
|
|
3.3.22. y 3y 1 2x x2 . |
||||||||||||||||||||
3.3.23. |
|
y 4y 5y xe x . |
3.3.24. y 4y 4y e2x . |
||||||||||||||||||||||||
3.3.25. |
|
|
|
y 2 y 2 y (x 1)e x . |
3.3.26. y 2y 5y cos x . |
||||||||||||||||||||||
3.3.27. y 4 y 3y e x |
|
x2 . |
3.3.28. y 4y 8y cos 2x . |
||||||||||||||||||||||||
3.3.29. y 3y 2 y e2x . |
3.3.30. y 8y sin 4x x . |
||||||||||||||||||||||||||
3.4. Solve Cauchy’s test for equations of the second order. |
|||||||||||||||||||||||||||
3.4.1. |
y |
|
|
4y |
|
8y sin 4x , |
y(0) 0 , |
|
1. |
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|
|
|
|
|
|
y (0) |
|||||||||||||||||||||
3.4.2. |
|
y |
|
3y |
|
2y e |
x |
|
, |
|
|
y(0) 2 , |
|
1. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
||||||||||||||||||
3.4.3. |
y |
|
|
y |
|
|
y cos 2x , |
y(0) 1, |
|
3 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|||||||||||||||||||||
3.4.4. |
y |
|
|
4y |
|
3y x |
2 |
|
3x , |
y(0) 2 , |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) 4 . |
||||||||||||||||||
3.4.5. |
y |
|
|
2y |
|
5y e |
2x |
, |
|
y(0) 0 , |
|
0 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
||||||||||||||||
3.4.6. y |
|
|
10y |
|
9y xe |
x |
, |
|
y(0) 1 , |
|
0 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|||||||||||||||||||
3.4.7. |
y |
|
|
4y |
|
4y e |
2x |
, |
|
y(0) 1 , |
|
1. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
||||||||||||||||
3.4.8. |
y |
|
|
2 y |
|
2y 3x 2 , |
y(0) 2 , |
|
2 . |
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|
|
|
|
|
|
y (0) |
|||||||||||||||||||||
3.4.9. |
y |
|
|
5y |
|
6 y e |
4x |
|
, |
|
|
y(0) 3 , |
|
2 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|||||||||||||||
3.4.10. |
|
y |
|
|
2 y |
|
10y x |
2 |
|
4 , |
y(0) 0 , |
|
4 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
||||||||||||||||||
3.4.11. |
|
y |
|
|
4 y |
|
x |
2 |
5x 2 , |
y(0) 0 , |
|
1 . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
||||||||||||||||||||
3.4.12. |
|
y |
|
|
2 y |
|
y e |
x |
|
, |
|
|
|
|
y(0) 3 , |
|
5 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
||||||||||||||
3.4.13. |
|
y |
|
|
9 y sin 3x , |
|
|
|
|
|
|
y(0) 2 , |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) 1 . |
||||||||||||||||
3.4.14. |
|
y |
|
|
2y |
|
2y e |
x |
|
sin 3x , |
y(0) 1 , |
|
3 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
|||||||||||||||||||
3.4.15. |
|
y |
|
|
2y |
|
y e |
x |
|
, |
|
|
y(0) 4 , |
|
0 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) |
||||||||||||||
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