D =

e-2x

e-3x

=-e-5x ,

D1

=

0

e-3x

=-

e-3x

,

1

-3e-3x

-2e-2x -3e-3x

1+e2x

1+e2x

e 2x

0

e

2x

2x

3x

e

e

2

2e

2x

1

;

C

, C

;

1 e

2x

1

1

e

2x

2

1 e

2x

1 e

2x

C

1

e2x

dx 1

d(e2x

1)

1 ln(1 e2x ) C

;

1 e2x

2 e2x

1

2

3

C

2

=-

e3x dx

=

ex =t

=-

t2 dt

=-(t -arctg t) +C

4

=

ò 1+e2x

ex dx = dt

ò 1+t2

So,

=-(ex -arctg ex ) +C4 .

é

1

ù

êéex -arctg ex +C4 úù –

y =e-2x ê

2

ln(1+e2x ) +C3 ú-e-3x

êë

úû

ë

û

1.

y 3y 2y 0 .

2. y 6y 8y 0 .

3. y 2y y 0 .

4.

y 4y 4y 0 .

5.

y 2 y 2y 0 .

6.

y y y y 0 .

7.

y y y 0 .

8.

y 3y 3y y 0 .

9.

y y 0 .

10. y (4) y 0 .

11.

y (4)

5y 4y 0 .

12. y (5) 8y 16y 0 .

13.

y (5)

5y (4) 12y 16 y 12 y 4 y 0 .

14. y 7 y 12y 5 .

15. y 7 y 6y sin x .

16. y y y 3e2x .

17. y 2y 3y 4e x .

18. y 8y 7 y 3x2 7x 8 .

19. y 2y 4 y (x 2) e3x .

20. y 2y x3 2x 1 .

23.

y 4y sin 2x .

24.

y y 3x 1 .

25.

y 2y y 4e x .

26.

y y xe x 2e x .

27.

y y

1

.

28.

y

y

2 x

e

x

.

sin x

x3

Solve using Cauchy’s method..

29.

y ¢¢+4 y ¢+4 y =3e-x ,

y(0) = y¢(0) = 0 .

30.

y ¢¢+4 y =sin 2x ,

y(0) = y ¢(0) = 0 .

Answers.

1. y C e x

C

2

e2x .

2. y C e2x C

2

e4x .

3. y C e x C

2

xe x .

1

1

1

4. y (C

C

2

x)e 2x . 5.

y (C

cos x C

2

sin x) e x . 6. y C e x

C

2

xe x C

3

e x .

1

1

1

3

3

x) e

1

x .

y C e x C

xe x C

x 2e x .

7.

y (C cos

x C

2

sin

2

8.

2

3

1

2

2

1

9. y C e x

3

3

x

2

x (C cos

2

2

(C

2

cos

x C

sin

x)e 2 .

10.

y e 2

x C

2

sin

x)

1

2

3

2

1

2

2

+e-

2

x (C cos

2

2

2

x +C

4

sin

x) .

11.

y C sin x C

2

cos x C sin 2x

3

2

2

1

3

C

4

cos 2x .

12.

y C

(C

2

C

3

x) cos 2x (C

4

C

5

x) sin 2x .13.

y C ex

1

1

C

2

ex cos x C ex sin x C

4

xex cos x C xex sin x .

14. y C e3x

C

e4x

5

.

3

5

1

2

12

15. y C ex C

e6x

7

5

16. y e

1

x (C

cos

3

x

3

x)

3

e2x .

2

cos x

sin x .

2

C

2

sin

1

74

74

1

2

2

7

17. y C e x

C

2

e 3x e x .

18. y C ex C

e7x

3

x2

97 x 1126 .

1

1

2

7

49

343

19. y (C1 cos

x

3x

1

10

20. y

C1 C2e

2x

1

x

4

1

x

3

3x C2 sin

3x)e

e

x

.

7

8

4

49

7

x2

3

x .21. y e3x (C cos 4x C

2

sin 4x) 14cos x 5sin x

.22. y C cos x C

2

sin x

8

8

1

102

1

9x2 9x 28 cos 2x

x 2

sin 2x .

23. y C cos 2x C

sin 2x

1

x cos 2x .

24. y C ex

27

9

1

2

4

1

C

2

C x

1

x3

x2 .

25. y (C

C

2

x)e x 2x 2e x .

26. y C

cos x C

2

sin x

3

2

1

1

e x

1

(x 1)ex .

27. y (C

ln

sin x

) sin x (C

2

x) cos x .

28. y

ex

C

2

1

x

1

x

cos 2x + 1 sin 2x .

C2ex

. 29. y =1,5x2e-2x . 30.

y

=-

4

8

T3.

Individual tasks

3.1. Find the general solutions of linear homogeneous equations.

3.1.1. а)

y y 2 y 0 ;

б)

y 2y 5y 0 .

3.1.2. а)

y 4y 0 ;

б)

y 4 y 4 y 0 .

3.1.3. а)

2y y y 0 ;

б)

y 2y 10y 0 .

3.1.4. а)

y 6y 13y 0 ;

б)

y 4y 4y 0 .

3.1.5. а)

2y 3y 5y 0 ;

б)

y 2y 10y 0 .

3.1.6.

а)

y 9y 0 ;

б)

3y 12y 15y 0 .

3.1.7.

а)

y 2y 3y 0 ;

б)

3y 4 y 4y 0 .

3.1.8.

а)

4y 4 y 5y 0 ;

б)

y 8y 16y 0 .

3.1.9.

а)

4y 8y 5y 0 ;

б)

y 8y 20 y 0 .

3.1.10. а)

y 4y 5y 0 ;

б)

y 6 y 8y 0 .

3.1.11. а)

y 4y 29y 0 ;

б)

y 7 y 10y 0 .

3.1.12. а)

4y 4 y y 0 ;

б)

y 2y 5y 0 .

3.1.13. а)

y 7 y 12y 0 ;

б)

4y 4 y y 0 .

3.1.14. а)

y 2y 8y 0 ;

б)

9y 12y 4y 0 .

3.1.15. а)

4y 12y 9y 0 ;

б)

5y 6y 5y 0 .

3.1.16. а)

y y y 0 ;

б)

y 4y 0 .

3.1.17. а)

y 3y 2y 0 ;

б)

y 4y 4y 0 .

3.1.18. а)

y 5y 4y 0 ;

б) 9y 12y 4y 0 .

3.1.19. а)

y 7 y 6 y 0 ;

б)