Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища геодезія для Mathcad

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Крiм того, знайдемо

ab cos tp) (

a cos t) + a2 0 = a2b,

r = (ab sin t) (a sin t) + (

#„ · #„

−

· −

#„

( a sin t) + (a cos t) + b

a + b ,

#„ ...

−

#„

B · B = (ab sin t) ·(ab sin t) + (−ab cos t) ·(−ab cos t) + a2 ·a2 = a2(a2 + b2).

Пiдставимо цi вирази у (3.8), (3.9) та пiсля спрощень отримаємо:

r˙

√a2 + b2

+ b2

#„

√

k =

a + b

= const,

a2b

#„

...

#„

κ = #„ · #„

= const.

)

+ b

B · B

a (a + b

3.5. Приклад дослiдження просторової кривої в середовищi Mathcad

Задано рiвняння просторової кривої у векторнiй формi
r (t) = a sin t .
	a cos t
#„
Вектор дотичної, вектор головної	bt2
Вектор дотичної, вектор головної	нормалi,	вектор бiнормалi, кривизни,

радiус кривизни та кручення кривої потрiбно виразити як функцiї вiд t, а також знайти їх числовi значення при t = 1. Обчислити довжину кривої мiж точками, яким вiдповiдають значення t = 0 i t = 1.

Нижче продемонстровано розв’язання даної задачi в MATHCAD. Попередньо рекомендується детально вивчити Додаток Б.

ǹ ȣȓȒȈ:D:\GEODETICLIB.XMCDZ(R)
Ɉɝɨɥɨɲɭɽɦɨ ɫɢɦɜɨɥɶɧɿ ɡɦɿɧɧɿ
t 1	t t	a 1	a a	b 2	b b

Ɂɚɞɚɽɦɨ ɜɟɤɬɨɪɧɭ ɮɭɧɤɰɿɸ ɹɤ ɜɟɤɬɨɪ ɡ ɬɪɶɨɯ ɫɢɦɜɨɥɶɧɢɯ ɜɢɪɚɡɿɜ

a cos(t) ·

r a sin(t) ¸ b t2 ¸¹

Ɂɧɚɯɨɞɢɦɨ ɜɢɪɚɡɢ ɞɥɹ ɩɟɪɲɨʀ, ɞɪɭɝɨʀ, ɬɪɟɬɶɨʀ ɩɨɯɿɞɧɢɯ ɜɿɞ ɜɟɤɬɨɪɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ (ɨɩɟɪɚɬɨɪ ɫɢɦɜɨɥɶɧɨɝɨ ɜɢɜɨɞɭ ɬɭɬ ɨɛɨɜ'ɹɡɤɨɜɢɣ)

a sin(t) ·

a cos(t) ·

a sin(t)

r o a cos(t)

d2r

r o

a sin(t) ¸

d3r

r o

a cos(t) ¸

dt2

dt3

2 b t

2 b ¹

ȼɟɤɬɨɪ ɞɨɬɢɱɧɨʀ

0.841470984807897 · dr 0.54030230586814 ¸

4 ¹

ȼɟɤɬɨɪ ɛɿɧɨɪɦɚɥɿ

2 a b (cos(t) t sin(t))º

5.527093162704145 ·

dr u d2r simplify o 2 a b (sin(t) t cos(t))»

1.204674715759027 ¸

ȼɟɤɬɨɪ ɝɨɥɨɜɧɨʀ ɧɨɪɦɚɥɿ

4 a b

t sin(t) a

cos(t) 4 a b

cos(t)

B u dr simplify o

sin(t) 4 a b

t cos(t) 4 a b

sin(t) ¸

2 a b

4.278396557167968 · N 22.949843635624475 ¸

4 ¹

Ʉɪɢɜɢɡɧɚ ɤɪɢɜɨʀ ɬɚ ɪɚɞɿɭɫ ɤɪɢɜɢɡɧɢ

norm(B)

simplify o

a4 4 a2 b2 t2 4 a2 b2

0.081956534825792

norm(dr)3

a2 4 b2 t2 2

12.201589563609646

Ʉɪɭɱɟɧɧɹ ɤɪɢɜɨʀ

B d3r

simplify

2 b t

0.121212121212121

B B

assume ALL = real a2 4 b2 t2 4 b2

Довжина дуги кривої визначається iнтегралом (3.4). Продемонструємо як вiрний, так i невiрний способи обчислення в MATHCAD. Спочатку розглянемо невiрний спосiб.

ɇɟɜɿɪɧɟ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɞɨɜɠɢɧɢ ɞɭɝɢ ɤɪɢɜɨʀ
	d		a sin(t) ·	´		1
dr		r o	a cos(t) ¸	´
				µ			dr	dt 4.123105625617661
				µ			dr	dt 4.123105625617661
	dt		¸	¶0
			2 b t ¹
					dr		4.123105625617661

Незважаючи на те, що MATHCAD обчислив значення iнтеграла, цей результат не є правильним. Причина тут криється в невiрному пiдiнтегральному виразi. MATHCAD при чисельному розрахунку спочатку обчислює |dr|,

отримує при цьому значення 4.1231056, а потiм обчислює iнтеграл

= 4.1231056 ·(1 −0) = 4.1231056

4.1231056 dt = 4.1231056 ·t 0

Насправдi

не є константою, оскiльки залежить вiд t. Неважко ба-

чити, що

| |

−a cos t =

dr =

(

a sin t)2

+ (a cos t)2 + (2bt)2 = a2 + 4b2t2

2bt

−

a sin t

Щоб

отримати правильну вiдповiдь, потрiбно в MATHCAD -документi

задати dr як функцiю скалярного параметра:

ȼɿɪɧɟ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɞɨɜɠɢɧɢ ɞɭɝɢ ɤɪɢɜɨʀ

a sin(t) ·

dr(t)

r o

a cos(t) ¸

dr(t)

dt 2.323391881216471

2 b t

¶0

´1

a2 4 b2 t2 dt 2.323391881216471

¶0

Для демонстрацiї правильностi обчислення поруч наведено результат обчи-

слення iнтеграла Z 1√a2 + 4b2t2 dt.

3.6. Поверхня та криволiнiйнi координати на нiй

Нехай радiус-вектор залежить вiд двох скалярних параметрiв u та v,

тобто його компоненти є функцiями u, v				y(u, v)	(3.11)
r = r (u, v)		r (u, v) =		y(u, v)	(3.11)
				x(u, v)
#„ #„		#„		z(u, v)
Iншою формою запису (3.11) є				z(u, v)
	#„	#„		#„	(3.12)
r (u, v) = x(u, v) i		+ y(u, v) j	+ z(u, v) k.		(3.12)
#„

Формули (3.11), (3.12) — це параметричне представлення поверхнi. Кожнiй точцi поверхнi вiдповiдає своя пара чисел u, v, тому величини u, v можна розглядати як криволiнiйнi координати точки на поверхнi. Зафiксу-

ємо одну з криволiнiйних координат, поклавши v = v = const. Тодi #„(u, v )

0 r 0

виражає залежнiсть радiус-вектора вiд одного скалярного параметра u, а тому є рiвнянням просторової кривої, причому рiзним значенням v0 вiдповiдають рiзнi просторовi кривi. З iншого боку, зафiксувавши u = u0 = const,

маємо залежнiсть #„(u , v), яка також при рiзних u описує просторовi

r 0 0

кривi. Таким чином, на поверхнi можна видiлити сiмейство лiнiй, вздовж кожної з яких параметр v зберiгає стале значення, а змiнюється лише параметр u, а також сiмейство лiнiй, вздовж яких u є сталим, а v змiнюється; цi лiнiї називаються координатними. Сiмейства лiнiй u = const та v = const разом утворюють координатну сiтку на поверхнi (рис. 3.8).

Приклад. Рiвняння вигляду

x(ϕ, u) = a cos ϕ cos u

y(ϕ, u) = a sin ϕ cos uz(ϕ, u) = b sin u

описують поверхню сфероїда з пiвосями a та b. Лiнiї ϕ = const та u = const утворюють на поверхнi сфероїда сiтку меридiанiв i паралелей (ϕ — довгота, u — приведена широта).

Приклад. Рiвняння (1.9) на стор.8 при H = 0 також описують сфероїд, лiнiї L= const та B = const утворюють сiтку меридiанiв i паралелей, але параметр B є геодезичною широтою.

Частиннi похiднi вiд радiус-вектора криволiнiйним координатам означають обчислення частинних похiдних вiд компонент радiус-вектора, тобто

#„

∂x(u, v) #„

∂y(u, v)

∂z(u, v) #„

#„

∂ r

#„

(3.13)

ru ≡

∂u

#„

∂x(u, v) #„

∂y(u, v)

∂z(u, v) #„

#„

∂ r

#„

(3.14)

rv ≡

∂v

(для скорочення запису їх будемо позначати через ru,

rv). Вектори ru,

#„

#„ називаються координатними векторами, їх геометричний змiст насту- rv

пний. Частинна похiдна по u обчислюється в припущеннi, що v = const,

	v = CONST	u = CONST		#„
				#„
z			v = const	n	u = const
			v = const	n


					#„
					rv
					θ	˙
					θ	˙
						#„
					#„	r
					ru
		y
x
Рис. 3.8. Координатна сiтка на поверхнi				Рис. 3.9

#„

∂ r

тому ∂u можна розглядати як диференцiювання векторної функцiї, яка описує просторову криву, вздовж якої змiнюється лише параметр u, тобто

координатну лiнiю. Звiдси випливає, що #„ є вектором дотичної до коор- ru

динатної лiнiї v = const. Аналогiчно #„ в свою чергу є вектором дотичної rv

до координатної лiнiї u = const.

Вектор нормалi #„ до поверхнi в будь-якiй її точцi очевидно перпен- n

дикулярний до координатних лiнiй, а значить, i до координатних векторiв

#„	#„			#„
ru,	rv, що вiдповiдають точцi, в якiй побудована нормаль. Тому вектор			n
виражається через координатнi вектори як
	#„	#„ #„	(3.15)
	n	= [ ru, rv]	(3.15)

Площина, яка проходить через окрему точку поверхнi перпендикулярно до

вектора нормалi n, називається дотичною площиною. Очевидно, ru,		rv
#„	#„	#„
лежать в дотичнiй площинi, оскiльки ru n,	rv n.
#„ #„	#„ #„

Нехай деяка крива лежить на поверхнi i параметризована за допомогою параметра t. Тодi кожному значенню t вiдповiдає певна точка кривої, а значить, i певнi значення криволiнiйних координат u, v. Таким чином, криволiнiйнi координати точок кривої, розташованої на поверхнi, є функцiями

параметра t. Вiдповiдну систему спiввiдношень
u = u(t),	v = v(t)	(3.16)

називають внутрiшнiми рiвняннями кривої на поверхнi. Пiдстановка
(3.16) в рiвняння поверхнi r = r (u, v) приводить до рiвняння вигляду
#„	#„
r = r u(t), v(t) ,		(3.17)
#„	#„

яке по сутi виражає залежнiсть радiус-вектора вiд t i є параметричним рiвнянням просторової кривої.

Дотичний вектор до кривої на поверхнi отримаємо диференцiюванням (3.17) по t:

#„		#„	du		#„
d r		∂ r	du		∂ r	dv	#„	#„
	=			+			= ruu˙	+ rvv˙.	(3.18)
dt	=	∂u dt		+	∂v	dt	= ruu˙	+ rvv˙.	(3.18)

Формула (3.18) показує, що вектор дотичної до кривої на поверхнi є лiнiйною комбiнацiєю координатних векторiв, а тому вiн лежить в дотичнiй до поверхнi площинi.

Обчислимо довжину дуги кривої, розташованої на поверхнi. З (3.18)

знайдемо диференцiал радiус-вектора		+ rvv˙)dt	(3.19)
d r = ( ruu˙
#„	#„	#„

З геометричної точки зору, d #„ — це нескiнченно малий прирiст, який отри- r

мує радiус-вектор точки, коли параметр t отримує прирiст dt i точка змi-

щується вздовж кривої. Диференцiал дуги кривої
	√		= p
ds =\|d r \| =	√	d r ·d r	= p	( ruu˙	+ rvv˙)2 dt	(3.20)
#„		#„ #„		#„	#„

=#„2u˙ 2 + 2 #„ #„ u˙ v˙ + #„2v˙2 dt ru ru rv rv

Введемо позначення

ru2	≡ E,	ru rv ≡ F,	rv2	≡ G.	(3.21)
#„		#„ #„	#„

Довжина дуги, обмежена точками кривої, яким вiдповiдають параметри t1 i t2, виражається iнтегралом

	S = Zt2
					Eu˙ 2 + 2Fu˙ v˙ +Gv˙2 dt
		t1	p
Вираз (3.19) перепишемо так:
#„	#„ du				#„ dv		#„	#„
d r	= ru			+ rv			dt = rudu + rvdv,
		dt				dt
а тому (3.20) еквiвалентно виразу									=
ds2 = d r ·d r = ru2du2 + 2 ru rv dudv + rv2dv2
	#„ #„			#„			#„ #„	#„

= Edu2 + 2F dudv +Gdv2

(3.22)

(3.23)

Вираз в правiй частинi (3.23) називається першою квадратичною формою

поверхнi.

Кут, пiд яким двi кривi на поверхнi перетинаються, — це кут мiж їх

дотичними в точцi перетину (рис. 3.10). Нехай #˙„ та #˙„ — дотичнi вектори r1 r2

v	v + dv	ru, rv		u
		#„ #„
				u + du
			#„
			rvdv
˙
#„
r1
θ		#„
		rudu
˙
#„
r2

Рис. 3.10. Кут мiж кривими на поверхнi	Рис. 3.11. Площа нескiнченно малої
	дiлянки поверхнi

до кривих. Кут θ мiж векторами	˙	та		˙	визначається як
до кривих. Кут θ мiж векторами	r1	та		r2	визначається як
	#„			#„
			˙		˙
			#„ #„
cos θ =			r1 r2				(3.24)
cos θ =			˙		˙		(3.24)
			#„		#„	\|
			\| r1\|·\| r2			\|

З (3.24) легко отримати значення кута мiж лiнiями координатної сiтки.

Як було показано вище, вектори ru					та	rv	є дотичними для координатних
				#„		#„
лiнiй, а тому
				#„	#„			F
				ru rv				F		(3.25)
		cos θ =					=	√

				#„2	·	#„2			EG
	F			ru	·	rv			EG
Зокрема, достатньо		= 0 для	p		p

пiд прямим кутом, тобто утворювали ортогональну сiтку (такий вигляд має, наприклад, координатна сiтка декартових та полярних координат на площинi, сiтка меридiанiв та паралелей на сферi та сфероїдi).

Розглянемо задачу про знаходження площi дiлянки поверхнi. Спочатку знайдемо площу нескiнченно малої дiлянки, яка обмежена координатними лiнiями u, u + du, v, v + dv (рис. 3.11). Внаслiдок малостi сторiн дiлянка

має форму паралелограма. Зображений на рис. 3.11 вектор #„ du є приро- ru

стом, який отримує радiус-вектор, коли скалярний параметр u змiнюється на нескiнченно малу величину du, а параметр v залишається сталим. Ана-

логiчно rv dv — це прирiст радiус-вектора при змiнi v на величину dv при

#„

та

rv dv , а площа не-

u = const. Сторони дiлянки мають довжини

ru du

#„

rv dv

скiнчено малого паралелограма, побудованого на векторах ru du та

#„

як на сторонах, буде

Площа

dS =

#„

du dv =

#„

du dv.

rudu, rvdv

ru,

скiнченої областi поверхнi виражаєтьсяq

подвiйним iнтегралом

S = ZZ q

(3.26)

, rv

2 du dv

(iнтегрування потрiбно виконати по

#„

всiй

областi).

Використовуючи вiдоме спiввiдношення

, b

= a

2 b2

−( a b)2,

(3.27)

#„

#„ 2

#„

#„ #„

маємо з врахуванням (3.21)

i (3.26)

= ru2 rv2 −( ru rv)2

= EG −F2,

(3.28)

ru, rv

#„

перетворюється в

S = ZZ p

du dv.

EG −F2

(3.29)

#„

k = k

3.7. Нормальна та геодезична кривизна лiнiї на поверхнi

Нехай деяка крива розташована на криволiнiйнiй поверхнi (рис. 3.12). Виберемо на кривiй точку Q, проведемо в цiй точцi вектор нормалi до по-

верхнi #„ та вектор дотичної до кривої #˙„. Через вектори #„ та #˙„ проведемо n r n r

т. зв. нормальну площину. Взагалi кажучи, через нормаль до поверхнi можна провести безлiч нормальних площин, але в даному випадку лише одна з них буде розташована по дотичнiй до кривої. Лiнiя перетину нормальної площини i поверхнi називається нормальним перерiзом.

#„ n

#˙„ r

#„ kn k α

#„

Рис. 3.12. Нормальна та геодезична кривизни кривої на поверхнi

#„

Вектор кривизни кривої в точцi Q — вектор k на рис. 3.12 — це

#„

вектор, напрям якого спiвпадає з вектором головної нормалi N в точцi Q, а абсолютна величина дорiвнює кривизнi кривої в цiй точцi:

#„

#„ .

|N|

#„

Проекцiя вектора k на побудовану нормальну площину (на напрямок

нормалi	#„
нормалi	n) називається нормальною кривизною kn кривої; вона дорiвнює
				#„		·	#„
				N			#„
	kn = k	\|	cos α = k	N			n			.	(3.30)
	kn = k		cos α = k	#„				#„		.	(3.30)
			\|	N	\|·\|			n
				\|	\|·\|				\|

Геодезичною кривизною kg лiнiї на поверхнi в точцi називається модуль проекцiї вектора кривизни на дотичну площину до поверхнi. З рис. 3.12

видно, що
kg = k\| sin α\| = qk2 −kn2,	(3.31)

3.8. Числовий приклад знаходження кривизни лiнiї на поверхнi

На поверхнi	r (u, v) =
			u + v	(3.32)
			uv2	(3.32)
	#„
			u2 + v2
розташована крива, задана	внутрiшнiми рiвняннями
розташована крива, задана
u(t) = t2,		v(t) = 2t + 1.		(3.33)

В точцi поверхнi, яка вiдповiдає значенням криволiнiйних координат

u = 2, v = 3, знайти координатнi вектори ru,	rv та вектор нормалi до по-
#„	#„

верхнi, аналiтичнi вирази та числовi значення коефiцiєнтiв E, F, G першої квадратичної форми, кут мiж координатними лiнiями.

В точцi кривої, яка вiдповiдає значенню скалярного параметра t = 0,5, знайти вектор кривизни, а також повну, нормальну та геодезичну кривизни кривої.

	ǹ ȣȓȒȈ:D:\GEODETICLIB.XMCDZ(R)
Ɉɝɨɥɨɲɭɽɦɨ ɫɢɦɜɨɥɶɧɿ ɡɦɿɧɧɿ
u	2	u u	v 3	v v
Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɩɨɜɟɪɯɧɿ
		u v
r		u v2

u2 v2

Ɉɬɪɢɦɭɽɦɨ ɚɧɚɥɿɬɢɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ ɞɥɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɢɯ ɜɟɤɬɨɪɿɜ ɬɚ ʀɯ ɱɢɫɥɨɜɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɥɹ ɡɚɞɚɧɢɯ u ɬɚ v

r o v2

r o 2 u v

2 u

2 v

Ʉɨɟɮɿɰɿɽɧɬɢ ɩɟɪɲɨʀ ɤɜɚɞɪɚɬɢɱɧɨʀ ɮɨɪɦɢ ɬɚ ʀɯ ɱɢɫɥɨɜɿ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɥɹ ɡɚɞɚɧɢɯ u ɬɚ v

T r o 4 u2 v4 1

E 98

T r

o 2 u v3

4 u v 1

133

T r

o 4 u2 v2 4 v2

181

ȼɟɤɬɨɪ ɧɨɪɦɚɥɿ ɞɨ ɩɨɜɟɪɯɧɿ ɬɚ ɣɨɝɨ ɱɢɫɥɨɜɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɥɹ ɡɚɞɚɧɢɯ u ɬɚ v

		2 v3 4 u2 v				6
n ru u rv o			2 u 2 v		n	2
			2 u v v	2		3
			2 u v v
Ʉɭɬ ɦɿɠ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɢɦɢ ɥɿɧɿɹɦɢ
θ	acos	F	o acos		2 u v3 4 u v 1		0.052583061610941
θ	acos	E G	o acos		4 u2 v4 1 4 u2 v2 4 v2 1		0.052583061610941
t	0.5	t	t
Ⱥɧɚɥɿɬɢɱɧɿ ɜɢɪɚɡɢ, ɹɤɿ ɨɩɢɫɭɸɬɶ ɜɧɭɬɪɿɲɧɿ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɤɪɢɜɨʀ ɧɚ ɩɨɜɟɪɯɧɿ
U t2				V 2 t 1

ɉɿɞɫɬɚɧɨɜɤɚ ɜɧɭɬɪɿɲɧɿɯ ɪɿɜɧɹɧɶ ɤɪɢɜɨʀ ɜ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɧɿ ɜɟɤɬɨɪɢ та ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ ɩɪɢ t = 0.5

						1	1
							1
r	r substitute u = U v = V				o	(2 t 1)2	4
u	u
						2	0.5
						2 t
						1	1
							1
rv	rv substitute u = U v = V				o	2 t2 (2 t 1)	1
						4 t 2	4
ȼɟɤɬɨɪ ɧɨɪɦɚɥɿ ɞɨ ɩɨɜɟɪɯɧɿ
				15.5
n	ru u rv			3.5
				3
Ɋɿɜɧɹɧɧɹ ɩɪɨɫɬɨɪɨɜɨʀ ɤɪɢɜɨʀ
						(t 1)2
R	r substitute u = U v = V o					t2 (2 t 1)2
						t4 4 t2 4 t 1
Ɂɧɚɱɟɧɧɹ ɩɨɯɿɞɧɢɯ ɩɪɢ t = 0.5
				2 t 2			3
							3
dR		d	R simplify o 2 t (2 t 1) (4 t 1)				6
dR			R simplify o 2 t (2 t 1) (4 t 1)				6
		dt		4 t3 8 t 4			8.5
				4 t3 8 t 4			8.5

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.02.20162.36 Mб20Вимоги щодо оформлення дипломних робіт.pdf
#
08.08.201925.77 Кб2ВИМОГИ.docx
#
22.11.2019130.05 Кб4винниченко.doc
#
24.11.20192.57 Mб4ВИПАДКОВІ ПОДІЇ.doc
#
19.02.2016228.35 Кб26виробн корм др.doc
#
19.02.20161.64 Mб20Вища геодезія для Mathcad.pdf
#
19.02.20161.2 Mб20Вища геодезія для MatLab.pdf
#
06.09.2019908.69 Кб14Вища геодезія.docx
#
19.02.20161.24 Mб31Вища геодезія.pdf
#
10.11.2018126.98 Кб0Вопрос_Квал_6 к_2011.doc
#
28.10.201879.87 Кб15Вопросы - Вступительные.doc