Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища геодезія для Mathcad

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

задачi, та отримаємо розв’язок:

x = 17,48 м y = 10,96 м z = −113,68 м

εx = −5,758′′ εy = −0,435′′ εz = −0,026′′

Нарештi, за формулами (2.21) отримаємо координати пунктiв 5 i 6 в референцнiй системi:

X5REF = X5 − x −εzY5 +εyZ5 = 3 893 236,176 м

Y5REF =Y5 − y −εxZ5 +εzX5 = 1 651 705,655 м

Z5REF = Z5 − z−εyX5 +εxY5 = 4 759 135,921 м

X6REF = X6 − x −εzY6 +εyZ6 = 3 893 383,079 м

Y6REF =Y6 − y −εxZ6 +εzX6 = 1 648 859,673 м

Z6REF = Z6 − z−εyX6 +εxY6 = 4 759 868,671 м

Зауваження: При розв’язаннi подiбної задачi в MATHCAD перевизначену лiнiйну систему рiвнянь (2.24) краще розв’язувати не за формулами (2.25), а скористатись функцiєю lsolve, призначеною якраз для розв’язання лiнiйної системи рiвнянь за методом найменших квадратiв. Таким чином, в

MATHCAD вектор невiдомих можна знайти як

	y
	x
ε	y
	y	:= lsolve(M, b)
ε z		:= lsolve(M, b)
εz
εz

2.3. Перехiд мiж системами координат, зв’язаними з двома референц-елiпсоїдами

Розглянемо випадок, коли здiйснюється перехiд мiж двома системами геодезичних координат, зв’язаними з елiпсоїдами, якi вiдрiзняються один вiд одного екваторiальними радiусами та ексцентриситетами, причому один з елiпсоїдiв шляхом паралельного переносу дещо змiщений вiдносно iншого. Саме така задача виникає при переходi мiж системами геодезичних координат, пов’язаними iз загальноземними та референц-елiпсоїдами. В п.1.4 зазначалося, що референц-елiпсоїд вiдрiзняється вiд загальноземного елiпсоїда екваторiальним радiусом та стисненням, його центр змiщений вiдносно центру мас Землi, але екваторiальна площина паралельна до екваторiальної площини Землi.

Уявимо, що екваторiальний радiус a та квадрат ексцентриситету e2 елiпсоїда змiнились на величини da та d(e2) вiдповiдно. При цьому геодезичнi координати B, L, H довiльної точки простору змiняться, але її декартовi координати X,Y , Z залишаться незмiнними, оскiльки положення координатних осей не змiнилось. Тепер нехай додатково здiйснено паралельний перенос елiпсоїда в просторi разом з координатними осями. Внаслiдок цього декартовi координати X,Y , Z довiльної точки змiняться на величини dX, dY , dZ, але знов-таки змiняться i її геодезичнi координати. Виникає задача про знаходження приростiв dB, dL, dH геодезичних координат при одночасному паралельному переносi та змiнi розмiрiв елiпсоїда. Для її розв’язання будемо розглядати рiвняння (1.9) як такi, що визначають декартовi координати X,Y , Z як функцiї не тiльки геодезичних координат B, L, H, а й геометричних параметрiв елiпсоїда a та e2. Запишемо вирази

для повних диференцiалiв декартових координат X,Y , Z:

dX =

∂X

d(e2)+

∂X

da+

dB +

dL+

dH,

∂a

∂(e2)

∂B

∂L

∂H

∂Y

dY =

da+

d(e

dB +

dL+

dH,

(2.26)

∂a

∂

∂B

∂L

∂H

)

dZ =

∂Z

∂a da+

∂(e2)d(e2)+

∂B dB +

∂L dL+

∂H dH.

Частиннi похiднi в (2.26) обчислимо на основi формул (1.9). Система (2.26) є лiнiйною вiдносно dB, dL, dH, а тому з неї можна виразити залежнiсть приростiв геодезичних координат dB, dL, dH вiд приростiв декартових координат точки dX, dY , dZ та варiацiй екваторiального радiусу та квадрату ексцентриситету. Пiсля обчислення похiдних та спрощень отримаємо:

dB=M+H

a e2 sinB cosB da+

a2 +1 sinB cosB d(e2)−

(dX cosL+dY sinL)sinB+dZ cosB ,

−

(2.27)

dX sinL+dY cosL

dL=

−

H)cosB

2 2

da+

sin B d(e )+(dX cosL+dY sinL)cosB+dZ sinB.

dH =

− N

Якщо вважати, що прирости координат dX, dY , dZ в формулах (2.26) обумовленi змiщенням та поворотом елiпсоїда, то у вiдповiдностi з (2.21) можемо записати вирази для приростiв координат dX, dY , dZ, якi отримує

точка (X0,Y0, Z0):
		dX = X X0 = x εzY0 +εyZ0,				(2.28)
	dY =Y		−Y0 =	−	y −εxZ0 +εzX0,	(2.28)
			−	−	−
	dZ = Z −Z0 = − z−εyX0 +εxY0.

Пiдставимо (2.28) в (2.27) i остаточно запишемо наближенi формули для приростiв B, L, H геодезичних координат точки (X0,Y0, Z0), якi виникають при переходi до системи координат, зв’язаної iз елiпсоїдом, який змiщений та повернутий, а також має iншi значення екваторiального радi-

усу та ексцентриситету:

a+ 2

+1 sinB cosB (e2)−

B=M+H

a e2 sinB cosB

εxZ +εzX )sinL sinB+

(

εzY +εyZ )cosL+(

− −

−

ε X

ε Y

−

( x+ε Y

ε Z )sinL+(

ε Z +ε X )cosL

0 +

x 0)cos

−

(N +H)cosB

z 0

H =

)+ (

ε Y +ε Z )cosL+

sin

B (e

− N

−

xY0)sinB.

xZ0 +

zX0)sinL cosB+(

yX0+

−

(2.29)

Пiдкреслимо, що формули (2.29) виконуються тим точнiше, чим меншими

є величини x, y, z, εx, εy, εz,					a, (e2).
	2.3.1. Числовий приклад
	Вiдомi геодезичнi координати
			B = 29◦ 36′ 06,12′′, L = 72◦ 42′ 21,72′′,			H = 1298 м;
	1			1		1	1
пункту в системi I, зв’язаної з елiпсоїдом a = 6 378 245 м, α =							1	.
								.
					1	1	298.3
	Також вiдомi елементи орiєнтування						298.3
	Також вiдомi елементи орiєнтування
			x = −215 м		εx = −2,3′′
						′′
			y =	302 м	εy =	1,3
			z =	188 м	εz =	1,9′′
системи I вiдносно системи II,					зв’язаної з елiпсоїдом a2 = 6 378 102 м,
α =		1	. Потрiбно знайти координати пункту в системi II.
α =			. Потрiбно знайти координати пункту в системi II.
2	297
	297

Розв’язання
Спочатку обчислимо
	e1 = q
	e1 = q		2α1		−α12 = 0,081813,

	e2 =		2α2		−α22 = 0,081992,
	величини ε			ε		ε
а також переведемо		q x,			y,		z в радiани	εz = 9,2·10−6.
εx = −1,115·10−5,			εy = 6,3·10−6,					εz = 9,2·10−6.

Елементи орiєнтування системи II вiдносно системи I наближено дорiвнюють

x′ ≈ − x, y′ ≈ − y, z′ ≈ − z, ε′x ≈ −εx, ε′y ≈ −εy, ε′z ≈ −εz. Задачу розв’яжемо двома способами: а) використовуючи формули

(2.21); б) формули (2.27).

Переведемо B1, L1, H1 в декартовi координати в системi I:

X1 = 1 650 295,006 м, Y1 = 5 300 453,032 м, Z1 = 3 132 758,117 м.

Для знаходження декартових координат пункту в системi II скористаємось формулами (2.21), пiдставивши в них X2,Y2, Z2 замiсть X,Y , Z та X1,Y1, Z1 замiсть X0,Y0, Z0, а також елементи орiєнтування системи II вiдносно системи I.

X2 = − x′ +X1 −εz′ Y1 +εy′ Z1		= 1 650 109,087 м,
Y2 = − y′ +Y1 −εx′ Z1 +εz′ X1		= 5 300 704,898	м,
Z2 = − z′ +Z1 −εy′ X1 +εx′ Y1		= 3 133 015,622	м.
Переведемо X2,Y2, Z2 в геодезичнi координати в системi II:
B = 29◦ 36′ 13,0115′′,	L = 72◦ 42′ 31,0972′′, H = 1751,906 м.
2	2	2

Тепер продемонструємо другий спосiб розв’язання. Спочатку за допомогою (2.21) обчислимо прирости декартових координат X, Y , Z, обумовленi переходом до системи координат II:

X = X2 −X1 = − x′ −ε′zY1 +ε′yZ1 Y =Y2 −Y1 = − y′ −ε′xZ1 +ε′zX1 Z = Z2 −Z1 = − z′ −ε′yX1 +ε′xY1

=−185,9 м,

=251,9 м,

=257,5 м.

Тепер обчислимо

a = a2 −a1 = −143 м,

(e2) = e22 −e12 = 2,924 84·10−05,

M =

a1(1−e12)

= 6 351 105,510 м,

(1−e12 sin2 B1)3/2

N1 =

= 6 383 459,934 м

1−e12 sin2 B1

За формулами (2.27)qзнайдемо поправки до геодезичних координат:

B1 =

e1 sin B1 cos B1 a+

+1! sin B1 cos B1

(e )−

M1 +H1

−(

X cos L1 +

Y sin L1) sin B1 +

Z cos B1

L1 =

− X sin L1 +

Y cos L1

(N1 +H1) cos B1

H1 =

−

sin

)+(

X cos L1 +

Y sin L1) cos B1 +

Z sin B1.

Остаточно знаходимо

B = B +

B = 29◦ 36′ 13,0119′′,

L = L +

L = 72◦ 42′ 31,0975′′,

H2 = H1 +

H = 1751,898 м.

Оскiльки, формули (2.22) та (2.27) є наближеними, то результати обчислень дещо вiдрiзняються.

3. Деякi вiдомостi з диференцiальної геометрiї

3.1. Векторна функцiя скалярного параметра

Змiнний вектор #„ називається векторною функцiєю скалярного па- u

раметра t, якщо кожному значенню цього параметра вiдповiдає певне

значення вектора. Щоб задати вектор		u, який залежить вiд скалярного
		#„
параметра t, потрiбно задати залежнiсть його компонент вiд t:
	u = u(t) =	uy(t)		(3.1)
		ux(t)
	#„ #„		)
		u t
Векторну функцiю можна записати i так: z(
#„	#„	#„		#„
u	(t) = ux(t) i +uy(t) j +uz(t)k.

Похiдною вiд векторної функцiї #„(t) скалярного параметра t будемо u

називати векторну функцiю, компоненти якої є похiдними по скалярному

параметру вiд вiдповiдних компонент функцiї #„(t). u

Надалi для скорочення запису будемо позначати похiдну по скалярному параметру крапкою та опускати позначення “(t)”, яке показує залежнiсть величини вiд параметру t. Таким чином, два наступнi варiанти запису вва-

жатимемо еквiвалентними:

ux(t)

d #„

#„

u˙x

u(t) =

uy(t)

u˙

= u˙y

u˙

uz(t)

Правила диференцiювання для векторної функцiї наступнi:

#„

d #„ #„

#„

(C u) = C u,

(u + v ) = u

+ v

#„ #„

d #„ #„

#„

#„ #„

(u v ) = u v

+ u v ,

[u, v ] = [u, v ]+[u, v

d #„

#„

d u dt

#„

dt (λ u) = λ u +λ u

ds u t(s) = dt ds

#„

(тут u

, v — векторнi функцiї вiд t; C — константа; λ — скалярна функцiя

вiд t; u v позначає скалярний добуток векторiв, [u, v ] позначає векторний
#„ #„	#„ #„

добуток).

3.2. Просторова крива та дотична до неї

Нехай радiус-вектор, який визначає просторове положення точки в за-

данiй системi декартових координат, є функцiєю скалярного параметру t:
r = r (t) =	y(t)	r (t) = x(t) i +y(t) j +z(t)k				(3.2)
	x(t)		#„	#„	#„
#„ #„	#„	#„	#„	#„	#„
	#„
	z(t)

Тодi векторна функцiя r (t) описує просторову криву (рис. 3.1), а представлення (3.2) називається параметричним представленням кривої.

z					A	B
						B

					#„
					r
	r(t)		r	(t)	#„	(t + t)
			r	(t)	r	(t + t)
			#„

		y
x
Рис. 3.1				Рис. 3.2

				)
	„ t0
˙(#
	r
							)
					˙	„ (	t 0
					˙	„ (
r (t0)				λ	#
#„			+
		)	+
	„ (	t 0
#	„ (
#

Рис. 3.3

З’ясуємо геометричний змiст похiдної вiд радiус-вектора #„(t), який опи- r

сує криву. Нехай точкам A i B (рис. 3.2) цiєї кривої вiдповiдають значення

параметра t i t +			t, а їх радiус-вектори дорiвнюють r (t) та				r (t + t) вiд-
						#„	#„
повiдно. В	такому випадку вектор r = r (t + t)				−	r (t) вiдповiдає хордi
		#„	#„ #„			#„

−→, а вектор		r	направлений вздовж сiчної		в той самий бiк, що i
		t
AB				AB
хорда, якщо		t > 0, та в протилежний бiк, якщо				t < 0. Якщо точка B

необмежено близько наближається вздовж кривої до точки A, то сiчна AB повертається навколо точки A, прагнучи зайняти положення дотичної; ра-

#„

зом з тим вiдношення

прямує до похiдної

як до своєї границi:

#„

(

#„

r˙

= lim

)−

(

)

t→0

Звiдси випливає, що похiдна вiд радiус-вектора точки кривої по параметру є вектор, направлений по дотичнiй до цiєї кривої (рис. 3.3), причому направлений в бiк зростання параметру t. Рiвняння дотичної до кривої в точцi, яка вiдповiдає значенню параметра t = t0, записується у виглядi

			˙	(t0).	(3.3)
	r (λ) = r (t0)+λ r			(t0).	(3.3)
	#„	#„	#„
В (3.3) вектори r (t0) та	˙				r (λ), який
В (3.3) вектори r (t0) та	r (t0) є сталими, а змiнним є вектор				r (λ), який
#„	#„				#„

є функцiєю скалярного параметру λ. На рис. 3.3 показана геометрична iнтерпретацiя рiвняння (3.3): кожному значенню скалярного параметра λ вiдповiдає на дотичнiй прямiй окрема точки P, положення якої визначається

радiус-вектором #„( ). r λ

3.3. Довжина дуги кривої

Розглянемо механiчну аналогiю параметричного представлення кривої.

Будемо розглядати #„ як радiус-вектор, який характеризує просторове по- r

ложення матерiальної точки, а параметр t будемо iнтерпретувати як час.

Тодi векторна функцiя r (t) описує траєкторiю руху, її похiдна	˙	(t) буде
	r	(t) буде
#„	#„
не чим iншим, як швидкiстю руху матерiальної точки, а друга похiдна			¨	(t)
			r	(t)
			#„

— прискоренням. Нагадаємо, що вектор швидкостi завжди направлений по

дотичнiй до траєкторiї.
За нескiнченно малий промiжок часу		dt матерiальна точка пройде
вздовж своєї траєкторiї руху шлях	˙	(t)\|dt (це довжина нескiнчен-
вздовж своєї траєкторiї руху шлях	ds = \| r	(t)\|dt (це довжина нескiнчен-
	#„

но малої дуги кривої). Виберемо на траєкторiї деяку точку, якiй вiдповiдає значення параметра t = t0. За скiнчений промiжок часу [t0; t1] точка пройде вздовж траєкторiї шлях

t1		t1
s = Z	\|#r˙	(t)\| dt = Z			(3.4)
s = Z	\|#r˙	(t)\| dt = Z		x˙(t)2 + y˙(t)2 + z˙(t)2 dt	(3.4)
	„		q
t0		t0	q

Формула (3.4) виражає довжину дуги траєкторiї, початок та кiнець якої вiдповiдають положенням матерiальної точки в моменти часу t0 та t1.

3.4. Супровiдний тригранник кривої. Кривизна та кручення кривої

Окрiм введеного вище вектора

, кожнiй точцi кривої можна поставити

#„

у вiдповiднiсть так званi вектор бiнормалi

(3.5)

B =

#r˙ , r¨

z˙x¨ −z¨x˙ .

#„

y˙z¨

y¨z˙

x˙y¨ −x¨y˙

„ #„

та вектор головної нормалi

, r¨

, r˙

−

(xx˙ ¨

+ zz˙ ¨) .

(3.6)

N =

B, r˙

r˙

y¨

(x˙

+ z˙

2) −y˙

#„

#„ #„

#„

x¨

(y˙

+ z˙

2) −x˙

(y˙y¨

+ z˙z¨)

z¨(x˙2 + y˙2) −z˙(x˙x¨ + y˙y¨)

До кривої через її окрему точку можна провести безлiч нормалей,

але век-

#„

тор N видiляє серед них лише одну.

Вектор дотичної

#„

r , вектор головної нормалi N та вектор бiнормалi B є

#„

взаємно-перпендикулярними векторами; вони утворюють супровiдний тригранник кривої.

Площина, яка проходить через дотичну пряму до кривої та головну нор-

#„
#„ B		#„
#„ B		#„
N		¨
N		r
		˙
		#„
		r

	˙	#„	#„
Рис. 3.4. Розташування векторiв	˙	, B	, N по вiдношенню до кривої та спiвдотичної
Рис. 3.4. Розташування векторiв	r	, B	, N по вiдношенню до кривої та спiвдотичної
	#„
площини

маль, називається спiвдотичною. До поняття спiвдотичної площини можна прийти з наступних геометричних мiркувань. Вiзьмемо на просторовiй кривiй три точки A, B, C та проведемо через них площину. При наближеннi точок A, C до точки B ця площина прагнутиме зайняти певне граничне положення, яке i буде спiвдотичною площиною.

R
C
	ds
граничне
положення
кола	R
	R
	dφ
Рис. 3.5. До поняття радiуса кривизни	Рис. 3.6
кривої

Введемо також поняття радiуса кривизни кривої в точцi. Вiзьмемо на кривiй три точки A, B, C та проведемо через них коло (рис. 3.5). Будемо наближати точки A i C вздовж кривої до точки B. В результатi коло змiнюватиме своє положення та радiус i врештi-решт займе деяке граничне положення, яке називається дотичним колом. Його радiус R i буде радiусом кривизни кривої в точцi B. Обернена до радiуса кривизни величина

k = 1 називається кривизною кривої в точцi. Зокрема, для кола кривизна

k є сталою в усiх точках, а для прямої вона дорiвнює нулю.

Ще одна геометрична iнтерпретацiя радiуса кривизни показана на рис. 3.6. Нескiнченно мала дуга кривої довжиною ds, очевидно, спiвпадає з нескiнченно малою дугою кола, яка лежить всерединi кута dϕ, а тому мiж ними iснує спiввiдношення

ds = Rdϕ.

(3.7)

Коефiцiєнт кручення κ характеризує швидкiсть повороту вектора бiнормалi при русi вздовж кривої. Зокрема, для кривої, яка цiлком лежить в однiй площинi, вiн дорiвнює нулю в усiх точках кривої.

Укажемо без виведення формули для обчислення кривизни та кручення

кривої:

#„

(x˙y¨

x¨y˙)

+ (y˙z¨

+ (z˙x¨

k =

r ,

−y¨z˙)

−z¨x˙)

(3.8)

#„˙

−

(x˙2 + y˙2 + z˙2)3

x˙

y˙

z˙

...

x¨

y¨

z¨

#„

...

r˙

r¨

(3.9)

#„

(x˙y¨

x¨y˙)

(y˙z¨

y¨z˙)

+ (z˙x¨

z¨x˙)

r˙

r¨

−

Приклад. Гвинтова

лiнiя

(рис. 3.7)

описується

векторною функцiєю вигляду

a cos t

#„

(t) = a sin t

(3.10)

i є прикладом просторовоїbtкривої,

яка має ста-

лу кривизну та кручення. Дiйсно, диференцiюючи

(3.10) по t, знаходимо

a sin t

a cos t

...

a sin t

#„

−

#„

r˙ = −a cos t ,

r¨

−a sin t ,

r = −a cos t .

також

Знайдемо

вектор бiнормалi

Рис. 3.7. Гвинтова лiнiя

ab sin t

#„

„

#„

ab cos t

B =

та його абсолютну величину

−

#„

B = p(ab sin t)2 + (−ab cos t)2 + (a2)4 = apa2 + b2.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.02.20162.36 Mб20Вимоги щодо оформлення дипломних робіт.pdf
#
08.08.201925.77 Кб2ВИМОГИ.docx
#
22.11.2019130.05 Кб4винниченко.doc
#
24.11.20192.57 Mб4ВИПАДКОВІ ПОДІЇ.doc
#
19.02.2016228.35 Кб26виробн корм др.doc
#
19.02.20161.64 Mб20Вища геодезія для Mathcad.pdf
#
19.02.20161.2 Mб20Вища геодезія для MatLab.pdf
#
06.09.2019908.69 Кб14Вища геодезія.docx
#
19.02.20161.24 Mб31Вища геодезія.pdf
#
10.11.2018126.98 Кб0Вопрос_Квал_6 к_2011.doc
#
28.10.201879.87 Кб15Вопросы - Вступительные.doc