Вища геодезія для Mathcad

Укажемо також зв’язок мiж геодезичною та приведеною широтами:

1.5. Топоцентричнi координати

Якщо початок координат збiгається з пунктом спостереження на земнiй поверхнi (топоцентром), то систему координат називають топоцентри-

чною.

В геодезiї широко використовуються системи топоцентричних координат у виглядi декартових x, y, z (рис. 1.8) або полярних сферичних θ, A, D (рис. 1.9).

Початок системи топоцентричних координат знаходиться в деякiй точцi Q1, розташованiй переважно на земнiй поверхнi.

Декартовi топоцентричнi координати вводяться так: вiсь z розташована на продовженнi нормалi до поверхнi елiпсоїда в точцi Q1; вiсь x лежить в площинi меридiана точки Q1 перпендикулярно до вiсi z i направлена на пiвнiч; вiсь y доповнює лiву(!) декартову систему координат.

Полярнi топоцентричнi координати: геодезичний азимут A

(0◦ 6 A< 360◦) — двогранний кут мiж площиною меридiана початкової точки Q1 i нормальною площиною, що проходить через нормаль в данiй точцi i точку Q2 (рис. 1.9); зенiтна вiдстань θ (0◦ 6 θ 6 180◦) — кут мiж вiссю z i прямолiнiйним напрямом з точки Q1 в точку Q2; вiдстань D вимiрюється мiж точками Q1 i Q2 по прямiй.

11

За визначенням топоцентричних полярних координат θ, A, D маємо такi

формули для координатних перетворень:

x = D sin θ cos A,

Взаємнi перетворення полярних та декартових топоцентричних координат виконують наступнi двi функцiї.

Функцiя xyz2polar перетворює декартовi топоцентричнi координати

x, y, z в полярнi топоцентричнi θ, A, D:

θ

A := xyz2polar(x, y, z) D

причому кути θ, A повертаються в радiанах.

Функцiя polar2xyz перетворює полярнi топоцентричнi координати

θ, A, D в декартовi топоцентричнi x, y, z:

x

y := polar2xyz(θ, A, D) z

Нехай точка Q2 має топоцентричнi координати x2, y2, z2 вiдносно системи координат, зв’язаної з точкою Q1, геоцентричнi декартовi координати якої є X1,Y1, Z1. Тодi декартовi геоцентричнi координати X2,Y2, Z2 точки Q2

12

Тут використана властивiсть: обернена матриця A1 дорiвнює транспонованiй матрицi A1:

1.6. Пряма i обернена геодезичнi задачi мiж точками простору

Пряма геодезична задача формулюється наступним чином. Задано геодезичнi координати B1, L1, H1 початкової точки Q1 i топоцентричнi полярнi координати θ2, A2, D2 точки Q2 вiдносно початкової точки Q1. Необхiдно визначити геодезичнi координати B2, L2, H2 точки Q2.

Поставлену задачу розв’язують в такiй послiдовностi:

• За формулами зв’язку (1.9) обчислюють декартовi координати X1,Y1, Z1 точки Q1;

•Обчислюють елементи матрицi перетворення координат за формулою (1.27);

•За формулою (1.24) обчислюють топоцентричнi декартовi координати x2, y2, z2 точки Q2;

•За формулою (1.26) обчислюють декартовi координати X2,Y2, Z2 точ-

ки Q2;

• За формулами (1.10)–(1.13) знаходять геодезичнi координати

B2, L2, H2 точки Q2.

Таким чином, процес розв’язання прямої задачi описується схемою, зображеною на рис. 1.10.

Обернена геодезична задача. Задано геодезичнi координати B1, L1, H1 та B2, L2, H2 двох точок Q1 та Q2. Необхiдно знайти топоцентричнi полярнi координати θ1, A1, D1 точки Q1 вiдносно початкової точки Q2 i координати θ2, A2, D2 точки Q2 вiдносно початкової точки Q1.

Для розв’язання поставленої задачi застосовують таку схему:

•Вiд геодезичних координат точок Q1 та Q2 за формулами (1.9) переходять до декартових X1,Y1, Z1 та X2,Y2, Z2.

•Обчислюють елементи матриць перетворення координат за формула-

13

XYZ2BLH

Рис. 1.10. Схема розв’язання прямої геодезичної задачi мiж точками простору

Рис. 1.11. Схема розв’язання оберненої геодезичної задачi мiж точками простору

14

для обчислення топоцентричних координат x1, y1, z1 точки Q1 вiдносно точки Q2 отримують шляхом замiни iндексiв 1 → 2, 2 → 1 в (1.28).

•Топоцентричнi полярнi координати θ2, A2, D2 точки Q2 вiдносно точки Q1 та θ1, A1, D1 точки Q1 вiдносно точки Q2 обчислюють за формулами (1.25).

На рис. 1.11 показана схема розв’язання оберненої задачi.

1.7.Числовий приклад розв’язання прямої геодезичної задачi мiж точками простору

Розв’язати пряму геодезичну задачу мiж точками Q1 i Q2 при заданих геодезичних координатах початкового пункту Q1

B1 = 49◦ 50′ 00′′

L1 = 24◦ 00′ 00′′

H1 = 385,471 м

та топоцентричних полярних координатах пункту Q2 вiдносно пункту Q1 D2 = 22 488,169 м

θ2 = 89◦ 18′ 00′′ A2 = 191◦ 49′ 00′′

(геодезичнi координати заданi вiдносно елiпсоїда WGS–84)

Розв’язання

Декартовi координати початкового пункту Q1 знаходимо за формулами (1.9)

X1 = 3 765 905,002 м,

Y1 = 1 676 688,933 м,

Z1 = 4 851 147,028 м Обчислюємо елементи матрицi перетворення координат

Обчислюємо топоцентричнi декартовi координати пункту Q2 вiдносно пункту Q1

x2 = D2 sin θ2 cos A2=−22 009,954 м

15

За формулами (1.10)–(1.13) визначаємо для пункту Q2 геодезичну широту B2, довготу L2 та висоту H2:

B2 = 49◦ 38′ 7,614′′

L2 = 23◦ 56′ 10,5386′′ H2 = 699,873 м

1.8.Приклад розв’язання в Mathcad прямої геодезичної задачi мiж точками простору

Наведений нижче документ iлюструє технiку розрахункiв в середовищi MATHCAD на прикладi розв’язання прямої геодезичної задачi мiж точками простору.

Ɍɨɩɨɰɟɧɬɪɢɱɧɿ ɩɨɥɹɪɧɿ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɢ ɬɨɱɤɢ Q2 ɜɿɞɧɨɫɧɨ Q1

θ2 dms2rad(89 18 0) A2 dms2rad(191 49 0) D2 22488.169

16

Ɍɨɩɨɰɟɧɬɪɢɱɧɿ ɞɟɤ ɪɬɨɜɿ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɢ ɬɨɱɤɢ Q2 ɜɿɞɧɨɫɧɨ Q1

Ƚɟɨɞɟɡɢɱɧɿ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɢ ɬɨɱɤɢ Q2

B2 ·¸

L2 ¸ XYZ2BLH X2 Y2 Z2 a e

¸

H2 ¹

ɉɟɪɟɬɜɨɪɸɽɦɨ ɤɭɬɢ B2, L2 ɜ ɮɨɪɦɚɬ "ɝɪɚɞɭɫɢ, ɦɿɧɭɬɢ, ɫɟɤɭɧɞɢ"

rad2dms B2 (49 38 7.614 )

rad2dms L2 (23 56 10.538573697417917 )

H2 699.8726327167824

Зробимо декiлька зауважень.

1.Перед проведенням обчислень доцiльно вiдключити в MATHCAD використання одиниць вимiрювання. Для цього потрiбно вибрати пункт меню Инструменты Параметры документа, потiм у дiалоговому вiкнi вибрати вкладку Система единиц измерения та в групi радiокнопок Единицы по умолчанию вибрати варiант Нет.

2.Вибравши пункт меню Формат Результат, на вкладцi Формат числа потрiбно вибрати формат Общие, кiлькiсть десяткових знакiв збiльшити принаймнi до 6 (це вплине не на точнiсть обчислень, а на кiлькiсть зна-

17

кiв пiсля коми при видачi результатiв). Експоненцiальний порiг в цьому ж дiалоговому вiкнi краще задати на рiвнi 10. Взагалi, якщо вiн дорiвнює n, то числа > 10n будуть видаватись у виглядi a·10n. Наприклад, якщо експоненцiальний порiг дорiвнює 3, то число 1234 буде видано як 1.234·103, що не завжди зручно.

3. Не слiд плутати нижнi iндекси в iменах змiнних типу B1, L1 i т.п. з iндексами, якi використовуються при посиланнi на елемент масиву. Наприклад, для того, щоб набрати iм’я змiнної B1, потрiбно ввести B.1, i пiсля завершення редагування формули змiнна автоматично буде вiдображена у виглядi B1.

1.9.Числовий приклад розв’язання оберненої геодезичної задачi мiж точками простору

Розв’язати обернену геодезичну задачу мiж пунктами Q1 i Q2 при заданих їх геодезичних координатах

(геодезичнi координати заданi вiдносно елiпсоїда WGS–84).

Розв’язання

За формулами (1.10)–(1.13) знаходимо для точок Q1 та Q2 декартовi координати

X1 = 3 765 905,002 м,

Y1 = 1 676 688,933 м,

Z1 = 4 851 147,028 м,

X2 = 3 783 553,699 м,

Y2 = 1 679 274,329 м,

Z2 = 4 837 006,540 м,

Обчислюємо за формулами (1.30), (1.31) елементи матриць перетворе-

18

За формулами типу (1.32), (1.33) обчислюємо топоцентричнi декартовi

19

2.Перетворення просторових координат iз однiєї системи координат в iншу

2.1. Лiнiйний зсув i обертання

При заданнi загальноземної системи координат внаслiдок похибок вимiрювання можливе неспiвпадання її початку з центром мас Землi та повороти осей. Тому iснують декiлька реалiзацiй загальноземної системи координат, якi дещо змiщенi та повернутi одна вiдносно одної, а значить, виникає задача перетворення координат вiд однiєї системи до iншої.

Спочатку розглянемо перетворення координат на площинi.

Взагалi кажучи, положення точки Q на площинi в рядi задач зручнiше hxi

y

(координати (x, y) виступають компонентами вектора). З рис. 2.1 видно, що

пендикулярними, а “базис” в даному контекстi означає, що радiус-вектор

жники x та y.

Розглянемо перетворення на площинi мiж двома системами координат, одна з яких не тiльки повернута на кут α вiдносно iншої, але й змiще-

20