Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вища геодезія для Mathcad

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

1.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

а коефiцiєнти ak, bk є функцiями B
	a =	1	N sin B cosB ,
	a =		N sin B cosB ,
a4 =		24 N sin B cos B (5													−	tg B + 9η + 4η ),
	2														−
		2
		1
		1									3						2					2		4
	6															−																−
	6

		1
		1
												5									2	4									2					2		2
	8			N sin B cos B (61													58 tg B + tg							B + 270η										330η			tg
a =				N sin B cos B (61													58 tg B + tg							B + 270η										330η			tg
																			−																−
		720
		720
b = N cos						B,
	1
														6								2									4					6
														6								2									4		B			6	B),
a =		40320					N sin B cos B (1385														3111 tg		B + 543 tg										B			tg	B),
		40320									tg2			B + η2),
b3 =		61 N cos3B (							−		tg2			B + η2),
									−

	5	1
	5											−													−
												−													−
		1
		1
							5									2					4			2					2				2

b =				N cos B (5										18 tg B + tg								B + 14η					58η tg B),
		120												−												−
		120

							7											2					4					6
							7											2					4					6
b7 =		5040			N cos				B		(61				479 tg					B + 179 tg				B				tg		B),
		5040
								e cos B
де позначено							η =	√						i, крiм того, в коефiцiєнтах a6																						та b5
де позначено							η =	√		1 −e			2	i, крiм того, в коефiцiєнтах a6																						та b5

B),

(7.15)

вiдкинуто

як малi доданки з множником η4, а в коефiцiєнтах a8 та b7 — доданки з множником η2.

Формули (7.13), (7.15) забезпечують в плоских координатах точнiсть 0,01 м при рiзницi довгот l = 9◦.

Для оберненого переходу вiд плоских координат до геодезичних можна

також побудувати формули у виглядi рядiв					+ . . .		(7.16)
	( l = B1y + B3y3		+ B5y5	+ B7y7	+ . . .		(7.16)
	B = B	+ A y2	+ A y4	+ A y6	+ A y8	+ . . .
	x	2	4	6	8
	x				x
					x
							Bx
	B						B
	B
					Qx	Q
						Q
	X
					X
L1	L	L2
		y					y
	O				O
	Рис. 7.2					Рис. 7.3

Коефiцiєнти Ak, Bk в цих рядах є функцiями x.

A2 = −

1 + ηx2

tg Bx,

2 Nx2

A =

(5 + 3 tg2 B + η2

9η2 tg2 B 4η4)

−

12 Nx

−

A6 =

61 + (90 252ηx) tg

Bx + 46ηx + 45 tg

Bx(1

2ηx)

360 Nx

−

A8 =

−

(1385 + 3633 tg Bx + 4095 tg

Bx + 1575 tg Bx),

20160 Nx

(7.17)

B =

cos B

η2

2 (1 + 2 tg

3 =

x),

−

6 Nx

B5 =

(5 + 28 tg Bx + 24 tg Bx + 6ηx + 8ηx tg Bx),

120 N

B7 =

(61 + 662 tg

Bx + 1320 tg

+ 720 tg

Bx).

−

5040 Nx

e cos Bx

позначено η

де

√1 −e2

p1 −e2 sin2 Bx

Продиференцiюємо ряди (7.13) по l:

∂x

= 2a2l + 4a4l3 + 6a6l5 + 8a8l7 + ...,

∂l

(7.18)

∂y

= b1 + 3b3l

+ 5b5l

+ 7b7l

+ ...,

Якщо коефiцiєнти

∂l

k обчисленi, то зближення меридiанiв та масштаб в

будь-якiй точцi можна знайти за формулами (7.8) та (7.9).

∂x

∂y

∂x

∂y

tg γ =

m =

(7.19)

∂l

N cos B

∂l

В MATHCAD перехiд вiд геодезичних координат B, L до плоских декартових координат Гауса–Крюгера i навпаки здiйснюється за допомогою функцiй GK_BL2xy та GK_xy2BL (вони описанi всерединi файла GeodeticLib.xmcdz).

GK_xy2BL на основi плоских координат Гауса–Крюгера x, y для елiпсоїда iз екваторiальним радiусом a та ексцентриситетом e повертає значення геодезичної широти B та рiзницi довгот dL (вона вiдповiдає величинi l, яка використовувалась у наведених вище формулах); формат виклику насту-

пний:
	B
	L := GK_xy2BL(x, y, a, e)

GK_BL2xy на основi геодезичної широти B та рiзницi довгот dL повертає для заданої точки значення плоских координат Гауса–Крюгера x, y, а також

значення зближення меридiанiв γ та масштабу m.

y := GK_BL2xy(B, dL, a, e)

γ m

7.3.Редукування геодезичної лiнiї при переходi до координат Гауса–Крюгера

На рис. 7.4 показано зображення двох точок Q1 та Q2 в проекцiї Гауса– Крюгера. Криволiнiйний вiдрiзок, який їх сполучає — це зображення вiдрiзку геодезичної на елiпсоїдi. Кут A — це азимут геодезичної в точцi Q1; при конформному вiдображеннi вiн зберiгає своє значення.

Нехай (x1, y1) та (x2, y2) — це прямокутнi координати точок Q1, Q2; α — це кут мiж лiнiєю y = const та вiдрiзком Q1Q2.

Виявляється, що розв’язання оберненої геодезичної задачi на малi вiдстанi на поверхнi елiпсоїда можна наближено замiнити розв’язанням прямої та оберненої геодезичної задачi в прямокутних координатах xy, якщо точки Q1 та Q2 лежать в межах однiєї шестиградусної зони, причому азимут A та

γ
	A α
Q1	δ
	δ

d Q2

Рис. 7.4

довжина s зображення вiдрiзку геодезичної лiнiї Q1, Q2 обчислюються за формулами:

A= α+ γ −δ,

+ 720Rm6

s = d · 1 + 2Rm2 + 24Rm2

+ 24Rm4

−1

де позначено

y + y

ym =

y = y2 −y1,

x = x2 −x1,

− 6

−2Rm2

−

3Rm2

− 2

Rm3

e2 sin 2Bm

y2 y,

δ =

α = atan2 ( x,

y) ,

d = q

x2 +

y2,

B1 + B2

(B , B — геодезичнi широти точок Q , Q ),

1 2

√

1 −e

— середнiй радiус кривизни на широтi Bm,

1 −e2 sin2 Bm

γ — зближення меридiанiв в точцi Q1.

Додаток А. Параметри загальноземних елiпсоїдiв,

якi використовуються в деяких координатних системах

Таблиця 1.1

a — екваторiальний радiус елiпсоїда, м b — мала пiввiсь елiпсоїда, м

α— стиснення елiпсоїда

e— ексцентриситет елiпсоїда

e′	— другий ексцентриситет елiпсоїда
GM	— добуток гравiтацiйної сталої на масу Землi, м3/с2
J2, J4, J6	— коефiцiєнти зональних гармонiк

ω— кутова швидкiсть обертання Землi, рад/с

U0 — нормальний потенцiал на поверхнi елiпсоїда, м2/с2 W0 — потенцiал на геоїдi, м2/с2

gекв — прискорення вiльного падiння на екваторi, м/с2 gпол — прискорення вiльного падiння на полюсi, м/с2

M— маса Землi, кг

GRS-80

Визначаючi параметри:

a	= 6 378 137	GM = 3,986 005		·1014
J2	= 1,082 63·10−3	ω	= 7,292 115	·10−5
	Похiднi параметри:
b	= 6 356 752,314 140	J4	= −2,370 912 22·10−6
α	= 1/298,257 222 101	J6	= 6,083 47·10−9
e2	= 0,006 694 380 022 901	J8	= −1,427·10−11
e′2	= 0,006 739 496 775 48	gекв = 9,780 326 771 5
U0	= 62 636 860,850	gпол = 9,832 186 368 5
		WGS-84

	Визначаючi параметри:
a	= 6 378 137	GM = 3,986 004 418·1014 ±8·105
α	= 1/298,257 223 563	ω	= 7,292 115	·10−5
	Похiднi параметри:
b	= 6 356 752,314 245	J2	= 1,082 629 821 313 3·10−3
e	= 0,081 819 190 842 622	U0	= 62 636 851,714 6
e2	= 0,006 694 379 990 14	gекв = 9,780 325 335 9
e′	= 0,082 094 437 949 696	gпол = 9,832 184 937 8
e′2	= 0,006 739 496 742 28	M	= 5,973 332 8·1024
		ПЗ-90

a	= 6 378 136	GM = 3,986 004 4·1014

= 1/298,257 839 303

= 1,082 625 7·10−3

= 0,006 694 366 193 10

= 62 636 861,074

= 7,292 115·10−5

IERS-96

= 6 378 136,49

GM = 3,986 004 418

1014

= 1/298,256 45

−

= 1,082 635 9·10

= 0,006 694 397 236

= 62 636 856,85

= 7,292 115·10−5

IERS-2002

= 6 378 136,6±0.1

GM = 3,986 004 418·1014 ±8·105

= 1/298,256 42±0,000 01

= 1,082 635 9·10−3 ±10−10

= 7,292 115·10−5

= 62 636 856,0±0,5

gекв = 9,780 327 8±10−6

м3

IERS Conventions (2003) рекомендує значення G = (6,673±0,010) ·10−11

кг· с2

м3

IAG рекомендує значення G = (6,67259±0,0003) ·10−11

кг· с2

м3

CODATA в 2002 р. рекомендувала значення G = (6,6742±0,0010) ·10−11

кг· с2

Додаток Б. Особливостi виконання символьних обчислень в Mathcad

Б.1. Особливостi поєднання символьних та числових обчислень

Користувач повинен пам’ятати про особливостi “поведiнки” MATHCAD, якi проявляються при поєднаннi числових та символьних обчислень. Деякi з них будуть продемонстрованi нижче.

Для коректної роботи з символьними виразами в MATHCAD потрiбно спочатку “оголосити” змiннi, якi будуть використовуватись у виразах. Це робиться шляхом двох послiдовних присвоєнь вигляду

Iм’яЗмiнної := ЧисловеЗначення

Iм’яЗмiнної := Iм’яЗмiнної

причому порядок присвоєнь має значення. Наприклад, оголосимо в документi змiнну з iменем t:

t 1 t t

Далi змiннiй f присвоїмо значення виразу, в якому фiгурує змiнна t, та виведемо значення змiнної f двома способами:

f		cos(2 t) sin(3 t)
f		0.2750268284872752	f o cos(2 t) sin(3 t)

Оператор = в MATHCAD традицiйно застосовується для виведення результату числових обчислень, а результати символьних обчислень виводяться за допомогою оператора символьного виводу →, який вводиться комбiнацiєю клавiш Ctrl-. До речi, можна примусити MATHCAD вiдображати оператор символьного виводу як знак рiвностi; для цього потрiбно вибрати пункт меню Инструменты Параметры, а потiм в дiалоговому вiкнi на вкладцi Отображение для вiдображення аналiтичних операторiв (випадаючий список Аналитические) вибрати один з варiантiв — Стрелка вправо или

Знак равенства.

Як бачимо, чисельний результат — це числове значення виразу cos 2t + sin 3t, в який пiдставлено значення t = 1, яке було присвоєно змiннiй t на початку документа. Оператор символьного виводу примушує MATHCAD вiдобразити символьний результат — вираз, який був присвоєний змiннiй f; числове значення змiнної t тут не пiдставляється та обчислення не виконується. Змiнна f демонструє свою подвiйну природу: в чисельних розрахунках вона трактується як число, а в символьних — як вираз, тобто насправдi змiнна f одночасно зберiгає як числове значення, так i символьний вираз.

Тепер спробуємо обчислити значення похiдної по t (оператор dtd встав-

ляється в документ за допомогою кнопки ). Чому в даному випадку дорiвнює значення змiнної df ? Виявляється, що оператори чисельного та символьного виводу дають рiзнi результати:

df		d	f
df			f
		dt
df	0			df o 3 cos(3 t) 2 sin(2 t)

Логiчне пояснення цьому явищу просте: в чисельному розрахунку похiдної змiнна f вважалася числом, а похiдна вiд числової константи — це нуль; в символьному розрахунку змiнна f вважалася виразом cos 2t + sin 3t, вiд якого i була взята похiдна. Надалi змiнна df має також виявляти подвiйнiсть — бути нулем в чисельних розрахунках та виразом в символьних.

Тепер розглянемо дещо iнше присвоєння значення змiннiй df — знаходження похiдної з одночасним виведенням символьного результату:

	d				Змінній df присвоюється
df		f	3 cos(3 t)	2 sin(2 t)
	dt				останній результат


df	4.788572343452699				df o 3 cos(3 t) 2 sin(2 t)

Оператори чисельного та символьного виводу показують, що дане присвоєння еквiвалентне присвоєнню вигляду df := 3 cos(3 ·t) −2 sin(2 ·t).

Наступний варiант присвоєння включає виведення спочатку символьного, а потiм чисельного результату. В символьний результат пiдставляється поточне значення змiнної t, тобто t = 1, тим самим отримується число, яке i присвоюється змiннiй df.

	d		3 cos(3 t)			Змінній df присвоюється
df	d	f		2 sin(2 t)	4.788572343452699	Змінній df присвоюється
df	dt	f		2 sin(2 t)	4.788572343452699	останній результат
						останній результат

df	4.788572343452699				df o 4.7885723434526994

Нарештi, продемонструємо обчислення числового значення символьного виразу при заданому t. Для цього скористаємось оператором пiдстановки substitute (вiн вводиться натисканням вiдповiдної кнопки на панелi iнструментiв Аналитические). У вираз, який ранiше був присвоєний змiннiй f, замiсть t пiдставимо значення 2 (у виразi t = 2 знак = вводиться комбiнацiєю клавiш Ctrl-=).

f substitute t = 2 o cos(4) sin(6) 0.9330591190625378

t 1

Як бачимо, змiнна t свого значення не змiнила, про що свiдчить виведене злiва її значення.

Ось iнший спосiб обчислення: спочатку присвоїмо змiннiй t значення 2, а потiм спробуємо вивести значення змiнної f двома способами.

t	2
f	0.2750268284872752	f o cos(2 t) sin(3 t)	0.9330591190625378

В чому причина рiзних результатiв? В першому випадку проявляється “числова” природа змiнної f i виводиться її числове значення, яке було їй присвоєно на початку документу, коли значення t дорiвнювало 1. Зрозумiло, що присвоєння нового числового значення змiннiй t нiяк не вплинуло на числове значення змiнної f. В другому випадку оператор символьного виводу примушує MATHCAD використати символьний вираз, присвоєний змiннiй f, та пiдставити в нього поточне значення змiнної t, тобто 2.

Щоб позбутися незручностей, пов’язаних iз “прив’язкою” змiнної f до значення змiнної t, достатньо оголосити функцiю f(t)

t 1	t t
f (t) cos(2 t)	sin(3 t)

Зауважимо, що в оголошеннi функцiї символ t позначає вхiдний аргумент, вiн нiяк не зв’язаний з оголошеною в документi змiнною t. Вхiдний аргумент можна було б iменувати по-iншому, наприклад, оголосивши функцiю f(t) так:

f (x) cos(2 x) sin(3 x)

Тепер можна отримувати значення функцiї t, передаючи їй або поточне значення змiнної, або конкретне числове значення

f (1)	0.2750268284872752

...або поточнi значення змiнних

f (t)	0.2750268284872752
z	3
f (z)	1.3722887718921226

Функцiю f(t) можна використовувати i в символьних обчисленнях:

f (t) o cos(2 t)	sin(3 t)
f (z) o cos(6)	sin(9)

f (x y) o cos(2 x 2 y) sin(3 x 3 y)

Звернiть увагу: для змiнної z не було зроблено присвоєння вигляду z := z,

тому в символьний результат для f(z) пiдставляється її числове значення). Змiннi x та y взагалi не були оголошенi, тим не менш символьний результат виводиться.

Якщо в документi потрiбно часто працювати з похiдною вiд функцiї f, доцiльно створити окрему функцiю df, призначену для обчислення похiдних. Продемонструємо два варiанти створення та використання цiєї функцiї.

1-й варiант:

df (t)	d	f (t)
df (t)		f (t)
	dt
df (t)	4.78857234345273		df (t) o 3 cos(3 t)	2 sin(2 t)
df (2)	4.394115850566994		df (2) o 3 cos(6)	2 sin(4)

2-й варiант:

df (t)	d	f (t) o 3 cos(3 t)	2 sin(2 t)
df (t)		f (t) o 3 cos(3 t)	2 sin(2 t)
	dt
df (t)	4.788572343452699		df (t) o 3 cos(3 t)	2 sin(2 t)
df (2)	4.394115850566955		df (2) o 3 cos(6)	2 sin(4)

На перший погляд здається, що обидва варiанти еквiвалентнi мiж собою, але вiдмiннiсть мiж ними є. Можна помiтити, що результати чисельних обчислень похiдних в першому i другому варiантах дещо вiдрiзняються в останнiх цифрах. Причина полягає в тому, що в першому варiантi числове значення похiдної обчислюється за спецiальним чисельним алгоритмом (методом Рiддера), а в другому варiантi числове значення похiдної отримується на основi символьного виразу 3 cos(3 ·t) −2 sin(2 ·t), оскiльки другий варiант створення функцiї df еквiвалентний присвоєнню вигляду

df(t) := 3 cos(3 ·t) −2 sin(2 ·t)

Б.2. Особливостi символьних операцiй з векторами в Mathcad

Оголосимо символьнi змiннi, якi служитимуть компонентами векторiв, та створимо два вектори a i b — матрицi розмiром 3 ×1.

ǹ ȣȓȒȈ:D:\GEODETICLIB.XMCDZ(R)
ax	0	ax	ax	ay	0	ay	ay	az	0	az	az
bx	0	bx	bx	by	0	by	by	bz	0	bz	bz

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1110 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.02.20162.36 Mб20Вимоги щодо оформлення дипломних робіт.pdf
#
08.08.201925.77 Кб2ВИМОГИ.docx
#
22.11.2019130.05 Кб4винниченко.doc
#
24.11.20192.57 Mб4ВИПАДКОВІ ПОДІЇ.doc
#
19.02.2016228.35 Кб26виробн корм др.doc
#
19.02.20161.64 Mб20Вища геодезія для Mathcad.pdf
#
19.02.20161.2 Mб20Вища геодезія для MatLab.pdf
#
06.09.2019908.69 Кб14Вища геодезія.docx
#
19.02.20161.24 Mб31Вища геодезія.pdf
#
10.11.2018126.98 Кб0Вопрос_Квал_6 к_2011.doc
#
28.10.201879.87 Кб15Вопросы - Вступительные.doc