Вища геодезія для Mathcad
.pdf
ax |
bx |
a ay |
b by |
az |
bz |
Спробуємо символьно обчислити скалярний добуток векторiв a i b:
a b o ax bx ay by az bz
В отриманому виразi горизонтальнi риски над компонентами вектора b означають операцiю комплексного спряження. Взагалi кажучи, якщо є комплексне число z = x + yi, то комплексно спряженим до нього називається число z = x − yi. Обчислюючи скалярний добуток мiж двома векторамистовпцями, MATHCAD спочатку транспонує перший вектор, щоб скалярний добуток звiвся до множення матрицi-рядка на матрицю-стовпець, а потiм замiнює елементи другого вектора комплексно спряженими. По замовчуванню пiдсистема символьних обчислень вважає всi змiннi комплексними числами. Звiдки i виникає необхiднiсть операцiї комплексного спряження. Щоб MATHCAD при символьних обчисленнях вважав всi змiннi дiйсними числами, можна дати вказiвку вигляду
a b assume ALL real o ax bx ay by az bz
Тут оператор assume означає задання припущення вiдносно значень змiнних, якi входять у обчислюваний символьний вираз. В даному випадку полягає в тому, що всi змiннi вважаються дiйсними, а не комплексними. Оператор assume вводиться через вiдповiдну кнопку на панелi Символьные; знак = у виразi ALL = real вводиться комбiнацiєю клавiш Ctrl-=.
До речi, комплексне спряження не виконується, якщо множиться вектор-рядок на вектор-стовпець, наприклад,
aT b →ax bx +ay by +az bz
Тут T позначає операцiю транспонування, яка при застосуваннi до вектора-стовпця перетворює його на вектор-рядок (очевидно, транспонування вектора-рядка дає вектор-стовпець). Оператор транспонування вводиться або через панель iнструментiв, або комбiнацiєю клавiш Ctrl-!, але нiяк не шляхом пiднесення вектора чи матрицi в степiнь T.
Спроба скалярного множення вектора-стовпця на вектор-рядок виконується у вiдповiдностi з правилами множення матрицi i в даному випадку дає матрицю розмiром 3 ×3 (це декартовий добуток векторiв)
101
ax bx ax by ax bz a bT o ay bx ay by ay bz
az bx az by az bz
Символьне обчислення векторного добутку векторiв проблем не викликає. Оператор векторного добутку × вводиться вiдповiдною кнопкою панелi iнструментiв Матриця.
ay bz az by a u b o az bx ax bz ax by ay bx
Якщо при чисельному знаходженнi абсолютної величини (модуля) вектора проблем не викликає, то символьне обчислення має свої особливостi: MATHCAD знову-таки вважає елементи вектора комплексними величинами.
a o ax 2 ay 2 az 2
Позбутися оператора | | в символьному результатi можна за рахунок указання припущення та оператора спрощення simplify, який потрiбно застосувати декiлька разiв, що незручно. Порiвняйте результати:
|
a |
|
assume ALL |
real o |
|
|
ax |
|
2 |
|
ay |
|
2 |
|
az |
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
assume ALL |
realo |
|||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
ax2 |
|
|
ay |
|
2 |
|
az |
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
simplify |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
assume ALL |
real |
|
|
|
ay2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
simplify |
o |
ax2 |
|
az |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
simplify |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
assume ALL |
real |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
simplify |
o |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a |
|
|
|
ax |
ay |
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
simplify |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
simplify |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Простiше обчислити модуль вектора наступним чином
aT a o ax2 ay2 az2
102
або скористатись функцiєю norm, яка описана в файлi GeodeticLib.xmcdz
norm(a) o ax2 ay2 az2
103
Додаток В. Завдання для виконання на практичних заняттях
•В зошит записати постановку задачi (з конкретними вхiдними значеннями!) та отриманi результати обчислень (змiст MATHCAD - документу переписувати не треба).
•Записуючи вiдповiдь, обов’язково словами записати назву знайденої величини, наприклад:
Широта точки Q2: B2 = 50◦ 30′ 15′′
або
Вiдносна похибка для азимута в точцi Q1 складає 0,002.
•При записi результатiв обов’язково вказувати одиницi вимiрювання.
•Значення лiнiйних величин в при записi заокруглити до мiлiметрiв, а значення кутових величин записувати в форматi “градуси, мiнути, секунди”, залишаючи чотири цифри пiсля коми в значеннях секунд.
•Для формування варiантiв завдань використовується число n, яке являє собою номер студента по списку. Номери завдань потрiбно вибрати з наступної таблицi:
Номер |
Номери завдань, якi |
варiанту n |
потрiбно виконати |
|
|
1 |
1, 7, 11, 16 |
2 |
2, 8, 12, 17 |
3 |
3, 9, 13, 18 |
4 |
4, 10, 14, 19 |
5 |
5, 7, 15, 20 |
6 |
6, 9, 15, 21 |
7 |
1, 8, 11, 22 |
8 |
2, 10, 12, 23 |
9 |
3, 7, 13, 24 |
10 |
4, 8, 14, 25 |
11 |
5, 10, 15, 26 |
12 |
6, 9, 11, 27 |
13 |
1, 8, 12, 28 |
14 |
2, 7, 11, 29 |
15 |
3, 9, 12, 30 |
16 |
4, 10, 13, 16 |
|
|
104
Номер |
Номери завдань, якi |
варiанту n |
потрiбно виконати |
|
|
17 |
5, 8, 14, 17 |
18 |
6, 7, 15, 18 |
19 |
1, 10, 13, 19 |
20 |
2, 9, 14, 20 |
21 |
3, 10, 15, 21 |
22 |
4, 9, 11, 22 |
23 |
5, 9, 12, 23 |
24 |
6, 10, 13, 24 |
25 |
1, 10, 14, 25 |
26 |
2, 9, 15, 26 |
27 |
3, 8, 11, 27 |
28 |
4, 7, 12, 28 |
29 |
5, 8, 13, 29 |
30 |
6, 10, 14, 30 |
|
|
1.Розв’язати пряму геодезичну задачу (п. 1.7) при наступних вихiдних даних:
B = 49◦ (50 + n)′ 00′′, |
D = (22 488,169 + n) м, |
||
1 |
2 |
|
|
L = 24◦ (n)′ 00′′, |
θ = 89◦ |
(18 + n)′ |
00′′, |
1 |
2 |
|
|
H = (385,471 + n) м, |
A = 191◦ (49 + n)′ 00′′. |
||
1 |
2 |
|
|
2.Розв’язати обернену геодезичну задачу з п. 1.9 при наступних вихiдних даних:
B = 49◦ (50 + n)′ 00′′, |
B = 49◦ (38 + n)′ 00′′, |
|
1 |
2 |
|
L = 24◦ (n)′ 00′′, |
L = 23◦ (56 + n)′ 00′′ |
, |
1 |
2 |
|
H1 = (385,471 + n) м, |
H2 = (698,106 + n) м. |
|
3. |
Розв’язати задачу з п. 2.1.2, додавши n′ до B , L , а також n м до |
|
Q Q |
|
HQ. |
4. |
Розв’язати задачу з п. 2.2.1, додавши |
0,1 ·n м до X1REF,Y1REF, Z1REF 0,2 ·n м до X2REF,Y2REF, Z2REF 0,3 ·n м до X3REF,Y3REF, Z3REF 0,4 ·n м до X4REF,Y4REF, Z4REF
105
5.Розв’язати задачу з п. 2.3.1 першим з описаних в ньому способiв при таких вихiдних даних:
B1 = 29◦ (36 + 10 ·n)′ 06,12′′,
L1 = 72◦ (42 + 10 ·n)′ 21,72′′,
H1 = 1298 м+ n м;
x = (−15 + n) м, |
εx = (−2,3 + 0,1 ·n)′′, |
|
y = (102 + n) м, |
εy = |
(1,1 + 0,1 ·n)′′, |
z = (93 + n) м, |
εz = |
(1,2 + 0,1 ·n)′′. |
6.Розв’язати задачу з п. 2.3.1 другим з описаних в ньому способiв при таких вихiдних даних:
B1 = 29◦ (36 + 20 ·n)′ 06,12′′,
L1 = 72◦ (42 + 10 ·n)′ 21,72′′,
H1 = (1298 + n) м;
x = (−115 + n) м, |
εx = (−2,4 + 0,1 ·n)′′, |
y = (202 + n) м, |
εy = (1,5 + 0,1 ·n)′′, |
z = (88 + n) м, |
εz = (1,3 + 0,1 ·n)′′. |
7.Для елiпсоїда WGS-84 побудувати графiк залежностi радiусу кривизни паралелi вiд геодезичної широти.
8.Для елiпсоїда WGS-84 побудувати графiк залежностi радiусу кривизни першого вертикала вiд геодезичної широти.
9.Для елiпсоїда WGS-84 побудувати графiк залежностi середнього радiусу кривизни вiд геодезичної широти.
10.Для елiпсоїда WGS-84 побудувати графiк залежностi радiусу кривизни нормального перерiза, який проходить через точку з геодезичною широтою B = (50 + 0,1 ·n)◦, вiд азимута.
11.Обчислити компоненти одиничного вектора нормалi, проведеного до
поверхнi елiпсоїда WGS-84 в точцi з координатами B = (10 +0,1 ·n)◦,
L = (20 + 0,2 ·n)◦.
12.Обчислити довжину дуги меридiану мiж точками з широтами B1 = (10 + 0,1 ·n)◦, B2 = (20 + 0,2 ·n)◦ за формулою (4.16). Результат порiвняти з точним значенням, знайденим за допомогою функцiї Meridi-
106
anArcLength (знайти абсолютну та вiдносну похибки).
13.Обчислити довжину дуги меридiану мiж точками з широтами B1 = (10 + 0,1 ·n)◦, B2 = (12 + 0,2 ·n)◦ за формулою (4.17). Результат порiвняти з точним значенням, знайденим за допомогою функцiї MeridianArcLength (знайти абсолютну та вiдносну похибки).
14.Обчислити довжину дуги меридiану мiж точками з широтами B1 = (10 + 0,04 · n)◦, B2 = (12 + 0,05 · n)◦ за формулою (4.18). Результат порiвняти з точним значенням, знайденим за допомогою функцiї MeridianArcLength (знайти абсолютну та вiдносну похибки).
15.Обчислити площу сфероїдичної трапецiї, обмеженої паралелями B1 =
(10 + 0,1 |
· |
n)◦, B = (20 + 0,2 |
· |
n)◦ та меридiанами L = (40 + 0,3 |
· |
n)◦, |
|
◦ |
1 |
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
L2 = (60 + 0,4 ·n) .
16.Дано координати вершин сферичного трикутника, розташованого на сферi одиничного радiусу:
ϕ1 = (20 + 0,1 ·n)◦, |
L1 = (10 + 0,1 ·n)◦, |
ϕ2 = (40 + 0,2 ·n)◦, |
L2 = (20 + 0,2 ·n)◦, |
ϕ3 = (60 + 0,3 ·n)◦, |
L3 = (30 + 0,3 ·n)◦. |
Знайти довжини сторiн, кути при вершинах, сферичний надлишок та площу трикутника.
17.Дано сторони сферичного трикутника, розташованого на сферi одиничного радiусу:
a = 1 + 0,01 ·n, b = 2 + 0,02 ·n, c = 1,5 + 0,03 ·n.
Знайти кути при вершинах, сферичний надлишок та площу трикутника.
18.Дано кути сферичного трикутника, розташованого на сферi одиничного радiусу:
α = (30 + 0,1 ·n)◦, β = (70 + 0,2 ·n)◦, γ = (90 + 0,3 ·n)◦,
Знайти сторони трикутника, сферичний надлишок та площу трикутника.
19.У сферичного трикутника, розташованого на сферi одиничного радiусу, вiдомi двi сторони
a = 1,2 + 0,01 ·n b = 1,8 + 0,02 ·n
107
та кут мiж ними
γ = (30 + 0,1 ·n)◦.
Знайти невiдому сторону та невiдомi кути, сферичний надлишок та площу трикутника.
20. У сферичного трикутника, розташованого на сферi одиничного радiусу, вiдома сторона
a = 1,5 + 0,01 ·n
та прилеглi до неї кути
β = (70 + 0,1 ·n)◦ γ = (80 + 0,1 ·n)◦.
Знайти невiдомi сторони та невiдомий кут, сферичний надлишок та площу трикутника.
21.Розв’язати задачу з п.5.4.1 при ϕ1 = (30 + n)◦, α1 = 45◦, σ = 0,2.
22.Розв’язати задачу з п.5.4.2 при ϕ1 = (30 + n)◦, ϕ2 = 45◦, λ = 20◦.
23.На елiпсоїдi WGS-84 методом допомiжної точки розв’язати пряму геодезичну задачу при таких початкових даних:
B1 = (30 + 0,1 ·n)◦, |
L1 = (40 + 0,2 ·n)◦, |
A1 = (10 + 0,3 ·n)◦, |
s = (200 + n) км |
Результати розв’язання порiвняти з точним розв’язком, отриманим за допомогою функцiї SolveDirectProblem (знайти абсолютнi та вiдноснi похибки).
24.На елiпсоїдi WGS-84 методом Рунге–Кутта–Iнгланда розв’язати пряму геодезичну задачу при таких початкових даних:
B1 = (30 + 0,1 ·n)◦, |
L1 = (40 + 0,2 ·n)◦, |
A1 = (10 + 0,3 ·n)◦, |
s = (300 + n) км |
Результати розв’язання порiвняти з точним розв’язком, отриманим за допомогою функцiї SolveDirectProblem (знайти абсолютнi та вiдноснi похибки).
25.На елiпсоїдi WGS-84 за формулами з середнiми аргументами розв’я- зати пряму геодезичну задачу при таких початкових даних:
B1 = (30 + 0,1 ·n)◦, |
L1 = (40 + 0,2 ·n)◦, |
A1 = (10 + 0,3 ·n)◦, |
s = (100 + n) км |
Результати розв’язання порiвняти з точним розв’язком, отриманим за
108
допомогою функцiї SolveDirectProblem (знайти абсолютнi та вiдноснi похибки).
26.На елiпсоїдi WGS-84 за формулами з середнiми аргументами розв’я- зати обернену геодезичну задачу при таких вхiдних даних:
B1 = (30 + 0,1 ·n)◦, |
L1 = (40 + 0,2 ·n)◦, |
B2 = (40 + 0,3 ·n)◦, |
L2 = (50 + 0,4 ·n)◦, |
Результати розв’язання порiвняти з точним розв’язком, отриманим за допомогою функцiї SolveInverseProblem (знайти абсолютнi та вiдноснi похибки).
27.Дано координати вершин сфероїдичного трикутника, розташованого на елiпсоїдi WGS-84:
B1 = (20 + 0,2 ·n)◦, |
L1 = (10 + 0,3 ·n)◦, |
B2 = (40 + 0,3 ·n)◦, |
L2 = (20 + 0,2 ·n)◦, |
B3 = (60 + 0,4 ·n)◦, |
L3 = (30 + 0,1 ·n)◦. |
Знайти довжини сторiн та кути при вершинах.
28.Дано координати вершин сфероїдичного трикутника, розташованого на елiпсоїдi WGS-84:
B1 = (10 + 0,2 ·n)◦, |
L1 = (10 + 0,3 ·n)◦, |
B2 = (15 + 0,3 ·n)◦, |
L2 = (20 + 0,2 ·n)◦, |
B3 = (20 + 0,4 ·n)◦, |
L3 = (30 + 0,1 ·n)◦. |
Знайти площу трикутника. |
|
29.Точка розташована на поверхнi елiпсоїда WGS–84, причому вiдомi її геодезична широта B = (50 + 0,1 ·n)◦ та вiдстань вiд осьового меридiану l = 1◦(0,1 ·n)′. За допомогою функцiї GK_BL2xy обчислити значення її прямокутних координат Гауса–Крюгера, а також значення зближення меридiанiв γ та масштабу m в цiй точцi.
30.На елiпсоїдi WGS–84 способом, описаним в 7.3, розв’язати обернену геодезичну задачу при наступних вхiдних даних:
B1 = 30◦, B2 = (40 + 0,1 ·n)◦, L1 = 55◦, L2 = (58 + 0,05 ·n)◦
(за осьовий меридiан прийняти L = 57◦). Результат порiвняти з точним розв’язком, отриманим за допомогою функцiї SolveInverseProblem (знайти абсолютнi похибки для A1, A2, s).
109