26. Зміст коефіцієнту кореляції та його властивості.

Коефіцієнт кореляції - це міра тісноти лінійного кореляційного зв’язку і обчислюється за формулою:

xi,yi – різні значення змінних, отримані зі спостережень.

середнє арифметичне величини

емпіричне середнє квадратичне відхилення

емпіричне середнє квадратичне відхилення

число спостережень

Властивості:

1) коефіцієнт кореляції змінюється в межах від -1 до +1, тобто

2) коли коефіцієнт кореляції дорівнює +1 або -1, між та існують точні прямолінійні зв’язки, тобто:

При зі збільшенням або зменшенням збільшується або зменшується . Коли , зі збільшенням зменшується і зі зменшенням збільшується .

3)якщо , то між та прямолінійного кореляційного зв’язку не існує. Чим ближче коефіцієнт кореляції до =1 або -1, тим ближче кореляційний зв’язок між змінними та до функціональної; чим ближче коефіцієнт кореляції до 0, тим менш зв’язані між собою змінні та .

27. Поняття апроксимації квадратичної функції (постановка задачі).

Однією із задач, які розв`язує сучасна обчислювальна математика, є проблема наближення функції однієї змінної та багатьох дійсних змінних іншими функціями більш простої, взагалі кажучи будови, які легко обчислюються на електронно-обчислювальних машинах. Інша назва цієї задачі – апроксимування функції.

Припустимо, що в результаті інженерного або наукового експерименту отримана система точок . Необхідно знайти аналітичну залежність Q (х), таку, яка найкращим чином описує задану систему точок. Поняття "найкращим чином" означає розв’язання задачі по заданому критерію. Найбільш відомим критерієм для задач апроксимації є критерій середньоквадратичних відхилень (СКВ), який являє собою мінімізацію суми квадратів відхилень експериментальних даних від аналітичної функції Q (x)і визначається на заданій множині точок як

Однак при такій постановці задача апроксимації експериментальних даних має багато розв’язків. Для отримання єдиного розв’язку цієї задачі потрібно задавати значення Q (x)певного вигляду, наприклад:

степеневим поліномом

тригонометричним поліномом

ортогональним поліномом

сплайн-функцією та інш.

28. Методика оцінки емпіричного значення дисперсії.

Нормальною оцінкою дисперсії служить її виморочна дисперсія.

Для розрахунку математичного очікування та дисперсії цієї оцінки, то =m_x, представимо у вигляді:

Тоді:

Для вичислення дисперсії оцінки спочатку треба знайти її момент другого порядку

,

Де

Після цього знаходимо:

В результаті отримаємо оцінку

29. Рівняння регресії.

Для виводу емпіричної формули, яка відображає прямолінійний кореляційний зв’язок між змінними та , застосовують рівняння (1), де - коефіцієнт регресії

При прямолінійному кореляційному зв’язку між змінними існує рівняння регресії:

(2) де - коефіцієнт регресії

Середнє квадратичне відхилення коефіцієнтів регресії обчислюється так:

На практиці рівняння (1) слід привести до вигляду:

З цієї формули видно, що коефіцієнт регресії – це тангенс кута нахилу прямої, а постійний доданок – це відрізок, який відсікається цією прямою на осі ординат.