4. Математичний зміст задачі спільного зрівнювання декількох вимірюваних величин.

Математичний зміст задачі спільного зрівнювання декількох вимірюваних величин полягає у наступному. Нехай для вирішення певної задачі виміряно n величин, дійсні значення яких позначимо через Результати вимірювань цих величин отримані відповідно з вагами . За умовою відомо, що виміряні величини зв’язані між собою наступною системою рівнянь:

В даній системі є тільки незалежні одне від одного рівняння, кількість яких рівна кількості надлишково виміряних величин r. Ці рівняння називаються «умовними рівняннями». Так як кількість надлишково виміряних величин є тільки частиною числа всіх виміряних величин, то

Отже система умовних рівнянь є невизначеною, тобто має рівнянь менше, ніж невідомих и тому допускає нескінчену кількість розв’язків. Отримавши результати вимірювань, ми повинні перевірити наскільки вони задовольняють умовним рівнянням системи.

З виміряними значеннями величин отримаємо:

Із-за того, що вимірювання містять помилки, то у правої частини рівняння є нев’язки.

Головна задача, яка має бути вирішена при зрівнюванні – це усунення усіх нев’язок,виправивши результати вимірювань, друга задача – оцінка точності по матеріалам зрівняння.

Виправлені результати: , отримаємо:

називають зрівненими значеннями виміряних величин. Поправки повинні усувати нев’язки і бути блище до дійсних помилок вимірювань

5. Математичне очікування дискретної і неперервної випадкової величини. Властивості математичного очікування.

Математичне сподівання характеризує центр розподілу випадкової величини і обчислюється за формулою:

1)для неперервних випадкових величин:

2)для дискретних випадкових величин – це сума всіх її значень, помножених на їх вірогідність.

Властивості:

1)Математичне сподівання сталої величини С дорівнює саме цій величині:

Сталу величину С можна вважати за дискретну випадкову величину, яка приймає лише одне важливе своє значення С з ймовірністю, такою, що дорівнює одиниці. Отже,

2)Математичне сподівання добутку сталої величини на випадкову дорівнює добутку сталої величини на математичне сподівання випадкової величини

Для дискретних випадкових величин можна записати такий вираз для математичного сподівання:

А для неперервних випадкових величин:

Отже, сталу величину можна виносити за знак математичного сподівання.

3)Математичне сподівання суми декількох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань цих величин

4)математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань

6. Суть принципу найменших квадратів.

Метод найменших квадратів — один з методів регресійного аналізу для оцінки невідомих величин за результатами вимірів, що містять випадкові помилки. Метод найменших квадратів застосовується також для наближеного представлення заданої функції іншими (простішими) функціями і часто виявляється корисним при обробці спостережень.

Нехай деяка величина виміряна раз і отримані результати з вагами відповідно Знайдемо найбільш ймовірніше значення за принципом найменших квадратів, тобто за умовою

-- математичний вираз принципу найменших квадратів.

Перевагами способу найменших квадратів є:

• наявність в умові мінімуму других степенів обмежує крупні поправки, тому при рівно точно виміряних величинах поправки більш менш рівномірно розподіляються між результатами вимірів;

• при нерівноточних результатах вимірів ваги при зменшують поправки до більш точних і навпаки, збільшують поправки до менш точних результатів;

• спільність методу;

• задача зрівнювання вирішується на основі методу найменших квадратів найпростіше у обчислювальному відношенні в порівнянні з другими методами зрівнювання.