3. Функция plot3d построения графиков в пространстве

Программа Maple позволяет строить на экране монитора плоские изображения пространственных фигур, то есть графики пространственных объектов, заданных уравнениями или координатами в различных системах координат в пространстве. Посредством воображения человек на основе плоского изображения представляет ту или иную фигуру в пространстве. Дополнительные возможности вращения плоского изображения увеличивают эффект такого представления.

Корневой функцией построения графиков в пространстве в программе Maple является команда plot3d. Точно так же, как и функция plot, она имеет несколько форматов записи в зависимости от вида графика и способов определения точек графика. Функция plot3d имеет много различных опций, часть из которых совпадает с опциями команды plot, а часть является специфическими опциями построения графиков в пространстве.

3.1. График функции двух переменных

В общем случае графиком функции двух переменных z=f(x,y) является некоторая поверхность в декартовой системе координат Oxyz . Для построения графика функции двух переменных используется следующий формат записи команды plot3d

plot3d (f(x,y), x=a..b,y=c..d, options);

или

plot3d (f(x,y), x=a..b,y=g(x)..h(x), options);

В первом случае областью задания независимых переменных является прямоугольник, а во втором случае – некоторая область, ограниченная прямыми , xaxb == и графиками функций y=g(x),y=h(x).

Пример 3.1.Построить график функции двух переменных.

Решение.Строим график с помощью функции plot3d (рисунок 3.1)

Классическое окно

> plot3d(x^2+y^2,x=-3..3,y=-3..3,axes=normal);

Рисунок 3.1 – График функции

График функции на рис.3.1 построен для области изменения переменных (x,y), заданной условиями , то есть для квадрата в плоскости Oxy . Так как данная поверхность является поверхностью вращения, то ее лучше строить для области изменения переменных, заданной в виде круга, например, когда переменные (x, y) изменяются согласно условиям. Получаем рисунок 3.2.

Классическое окно

> plot3d(x^2+y^2,x=-3..3,y=-sqrt(9-x^2)..sqrt(9-x^2),

axes=normal);

Рисунок 3.2 – График функции, с областью изменения независимых переменных в виде круга

График поверхности можно поворачивать относительно осей координат плоскости экрана монитора с помощью опции orientation=[u,v,w].

При этом нулевые значения угла поворота графика соответствуют такой системе координат, когда ось Ox расположена вертикально – угол w, ось Oy – горизонтально – угол v, а ось Oz – направлена перпендикулярно экрану монитора – угол u. Задавая значения углов поворота, добиваемся наилучшего обзора графика. Отметим, что этого же можно добиться, вращая график мышкой с нажатой левой клавишей.

3.2. График поверхности, заданной параметрически

Довольно часто поверхность в пространстве Oxyz определяется параметрически уравнениями x= x (u,v), y= y( u,v), z= z( u,v) , где( u,v) – параметры, через которые определяют декартовы координаты точек поверхности. В этом случае формат команды plot3d имеет вид

plot3d ([x(u,v), y(u,v), z(u,v)], u=a..b, v=c..d, opts)

или

plot3d ([x(u,v), y(u,v), z(u,v)], u=a..b, v=c(u)..d(u), opts)

В первом случае областью задания параметров является прямоугольник, а во втором случае – некоторая область в плоскости параметров, ограниченная прямыми u=a, u=b и графиками функций v=c(u), v=d(u) .

Пример 3.2.Построить график поверхности, заданной параметрически уравнениямиx=ucosv,y=usinu,z=u(конус) для следующих областей изменения параметров

1) 2)

Решение.1) В пространстве параметров областьпредставляет собой прямоугольник, который с помощью заданных уравнений отображается на поверхность конуса. Выполняем построение в программе Maple (рисунок 3.3)