4.2. Преломление света на сферической поверхности. Формула тонкой линзы.

площадь треугольника А₁ВА₂ равна сумме площадей треугольников А₁ВО и ОВА₂, т.е. с учетом правил знаков (1). Рассм. только лучи, для которых угол u₁ и u₂ являются малыми (параксиальные лучи). В таком случае малыми будут также углы и. В параксиальном приближенииа такжеA₁BA₁S=a₁, BA₂SA₂=a₂. С учетом сделанных приближений, обозначим BO=R, запишем равенство (1) в виде:(2). Закон преломления луча АВ в параксиальном приближении имеет вид , поэтому после несложных преобразований равенство (2) можно представить в виде соотношения(3), которое представляет уравнение нулевого луча. Из (3), что(4) - нулевым инвариантом Аббе. (4) показывает, что произведение при преломлении (на границе раздела двух сред) сохраняет свою величину. Из (3) и (4) следует, что при заданном значениинезависимо от углаu₁ значение определяется однозначно, т.е. для параксиальных лучей гомоцентрический пучок после преломления на сферической границе раздела остается гомоцентрическим. ТочкаА₂ является стигматическим изображением точки А₁. Из формулы (3) следует, что, если источник удален от сферической поверхности на бесконечность, т.е. расстояние а₁  то , т.е.. Положение изображения, соответствующее этому случаю называется задним (вторым) фокусом сферической поверхности. Величина, обратная фокусному расстоянию, называется опт. силой преломляющей поверхности. Плоскость, проходящая через фокус перпендикулярно гл. опт. оси, является фокальной плоскостью. Аналогично, при некотором положении источника лучи после преломления на сферической поверхности будут распространяться параллельно опт. оси. В таком случае . Необходимое для этого расстояние от источника до преломляющей поверхности будет равноВыполнив несложные преобразования, можно получить, учитываяи, гдеи- расстояние от переднего фокуса до предмета и от заднего фокуса до изображения, тогда- формула Ньютона.Увеличение. Уравнение Лагранжа-Гельмгольца. Выполним построение изображение небольших предметов при преломлении света на сферической поверхности. Свойства: а) луч, проходящий через оптический центр, не преломляется на сферической поверхности. б) луч, идущий через фокус, после преломления распространяется параллельно опт. оси. в) луч, падающий на сферическую поверхность, после преломления движется параллельно опт. оси. Рассм. сферическую поверхность с центром кривизны в точке О. Пусть точка А, расположенная на опт. оси, является предметом, А₁ – ее изображение. Повернем прямую АА₁ вокруг центра О на небольшой угол, так что точка А опишет небольшую дугу АВ а точка А₁ – дугу А₁В₁. Так как для всех точек АВ и А₁В₁ соответствующие расстояния а₁ и а₂ одинаковы, то можно считать, что А₁В₁ является изображением дуги АВ. В виду того, что дуги АВ и А₁В₁ являются очень малыми, то их можно заменить соответствующими хордами. Точно также малая площадка, расположенная перпендикулярно опт. оси, в рассматриваемой сферической опт. системе отобразится при помощи параксиальных лучей в виде площадки, перпендикулярной опт. оси. Плоскость предмета АВ и плоскость его изображения А₁В₁ являются сопряженными плоскостями по отношению к данной опт. системе. Размер изображения может отличаться от исходного размера предмета. Отношение линейных размеров изображения А₁В₁ и предмета АВ называется поперечным, или линейным увеличением: . Для перевернутого изображенияy₁ и y₂ имеют различные знаки, поэтому величина будет отрицательной. Из треугольниковАВD и A₁B₁D имеем ,, В параксиальном приближении, следовательно, выражение показывает, что посколькуn₁ и n₂ всегда положительны, то знак увеличения Гл будет определяться отношением для действительных изображений это отношение будет отрицательным, для мнимых оно положительно. Кроме линейного увеличения опт. с-мы характеризуются угловым увеличением. Угловое увеличение определяется как отношение тангенсов углови, которые составляют сопряженные лучи с опт. осью с-мы:. Поскольку, получим:, это показывает, что угловое увеличение сферической поверхности прямо пропорционально отношению показателя преломления первой среды к показателю преломления второй и обратно пропорционально линейному увеличению. В случае, если все элементы опт. с-мы находятся в одной среде,и Для параксиальных лучей ии-уравнением Лагранжа-Гельмгольца. Уравнение Лагранжа-Гельмгольца справедливо для параксиальных лучей. В случае использования широких пучков условием получения стигматических изображений будет выполнение соотношения известного какусловие синусов Аббе.

4.3.Основы матричного метода расчета центрированных опт. систем. Основной задачей геометрической оптики является построение стигматических изображений. т.к. каждая точка изобр. получается в результате схождения нескольких лучей, то решения обозначенной задачи важно уметь опр. ход лучей при их прохождении через опт. с-му. В большинстве случаев опт. с-ма представляет собой совокупность однородных сред, ограниченных плоскими или сферич. границами раздела, на которых происходит преломление, или отр. света. Траектория луча будет предст. Посл. прямых линий, находящихся в одной плоскости. Поэтому будем рассм. только меридиальные лучи, т.е. лучи, распростр. в одной плоскости (в плоскости YZ), проходящей через опт. ось с-мы, вдоль которой направлена ось Z. Для опр-ия хода лучей удобно воспользоваться корд. одной точки, принадл. лучу, и углом, который он составляет с некоторой осью, например, осью Z. Возьмем некоторую плоскость Z=const, перпендикулярную опт. оси и пересекающую рассматриваемый луч. Назовем ее опорной плоскостью ОП1. Любой меридиальный луч можно определить по отношению к опорной плоскости двумя параметрами: высотой y₁, на которой рассматриваемы луч пересекает опорную плоскость, и углом u₁, который он составляет с осью Z. Как и ранее будем пользоваться правилом знаков: координата y будет положительной, если точка пересечения находится выше оси Z, угол u₁ будет положительным, если он соответствует вращению луча по часовой стрелке от положительного направления оси Z к направлению его распространения. Для определения координаты луча в некоторой новой точке необходимо снова провести опорную плоскость ОП₂ и определить координаты y₂ и u₂. Передаточная матрица. Рассм. вначале распространение света в однородной среде, в которой траектория луча представляет прямую линию. Проведем через точки А и В луча опорные плоскости, соответственно ОП1 и ОП2. Исходными координатами будем считать координаты y1 и u1. Определим координаты луча при его пересечении с опорной плоскостью ОП2, находящейся на расстоянии l от ОП1. ,. Будем рассматривать только лучи, составляющие малые углы с осьюZ. В этом случае . Кроме того, в матричной оптике вместо углов используется величина, называемая приведенным углом, т.е. можно переписать,, где,, величинаL – приведенная длина. В матричной форме можно записать или, где. Матрица называется передаточной

матрицей или матрицей опт. промежутка. Отметим, что матрица  является унимодулярной, т.е. ее определитель равен единице: . Рассм. сферическую поверхность, которая разделяет две среды с показателями преломленияn₁ и n₂, а так же имеет радиус кривизны R. Будем R считать положительным, если центр кривизны находится справа от границы раздела и отрицательным, если он находится слева. (Граница раздела сред принимается за начало оси Z). Проведем опорные плоскости 1 OП и 2 OП так, чтобы первая пересекла луч непосредственно перед точкой его падения на границу раздела, а вторая – непосредственно после его преломления. В параксиальном приближении расстояние между ОП₁ и ОП₂ будет очень малым и поэтому .Матрица преломления лучей на сферической поверхности. Запишем закон преломления луча на сферической поверхности: в параксиальном приближении. Согласно теореме о внешнем угле треугольника,. Умножим эти выражения соответственно наn₁ и n₂ и запишем с учетом закона преломления . Откуда,,, и в параксиальном приближении, то,. Величинаявляетсяопт. силой преломляющей поверхности. В итоге запишем координаты луча при пересечении им ОП2: ,. Представим записанные равенства в матричном виде. Матрицуназываютматрицей преломления. Заметим, что, как и в предыдущем случае, определитель матрицы также равен единице:. Полученный результат может быть использован также для определения координат луча при его преломлении на плоской границе раздела двух сред. В случае плоской поверхности:,. В итоге матрица преломления на плоской границе раздела параксиальном приближении будет иметь вид. Центрированной системой называют совокупность опт. элементов, центры кривизны преломляющих и отражающих поверхностей которых расположены на одной прямой, которую называютгл. опт. осью с-мы. Основные элементы опт. с-мы: поверхности (сферические, плоские), которые служат границами раздела и могут быть преломляющими и отражающими; промежутки между ними. матричного метода для определения координат луча при его распространении через толстую линзу. В этом случае следует рассмотреть три опт. элемента: две преломляющие поверхности и промежуток между ними, равный толщине линзы l. Проведем четыре опорные плоскости: причем плоскость ОП₁ проведем непосредственно перед передней преломляющей поверхностью. Опорную плоскость ОП2 проведем так, чтобы она пересекала параксиальный луч непосредственно сразу после преломления. Соответственно ОП3 будет проходить через точку падения параксиального луча на вторую преломляющую поверхность. И, наконец, опорную плоскость ОП4 проведем через вершину второй преломляющей поверхности. Именно по отношению к этой плоскости и будем определять координаты выходящего луча. Пусть - координаты луча падающего на ОП₁, - координаты при пересечении соотв. оп. плоскостей. Пусть– матрица опт. промежутка, ₁и ₂- матрицы преломления на 1-й и 2-й сферической поверхности. Ф₁ - оптическая сила 1-й поверхности, Ф₂ - второй. Если радиусы кривизны поверхностей равны соответственно R₁ и R₂ , то их оптическая сила будет равна и. Определим координаты выходящего луча. Посколькуи, тои- матрица описывающая свойства с-мы.ТО, матрица сложной опт. с-мы равна произведению матриц ее отдельных элементов, записанных в обратном порядке. Можно записать . Перемножив:, величина- опт. сила толстой линзы.

4.4. Кардинальные элементы центрированных опт. систем. Рассм. опт. с-му. Рассм. луч, падающий на опт. с-му параллельно ее опт. оси на некоторой высоте y₁ . В этом случае и; Параметры луча на выходе из с-мы, т.е. при его пересечении опорной плоскости ОП2:,Пусть выходящий луч пересечет опт. ось в точкеF₂, которая расположена на расстоянии t₂ от ОП₂ , причем , где, тогда параметры можно переписать:. Таким образом,t₂ не зависит от y₁ . Это значит, что все параксиальные лучи, которые падают на опт. с-му параллельно ее гл. опт. оси, после прохождения через нее проходят через одну и ту же точку, лежащую на опт. оси, которую принято называть главным задним фокусом опт. с-мы. Если продолжить луч, который входит параллельно гл. опт. оси и луч, который выходит из опт. с-мы, то получим точку S₂. Плоскость, проведенная через эту точку гл. опт. оси, называютгл. плоскостью. Точка H₂ пересечения этой плоскости с гл. опт. осью наз-ся гл. точкой. Фокусным расстоянием опт. с-мы называется расстояние от гл. точки до фокуса, т.е. отрезок , после преобразований:. Таким образом, фокусное расстояние опт. с-мы опр. элементомC матрицы M. опр-им расст. s2 от опорной пл-ти ОП2 до второй гл. пл-ти: . Проведем лучF₁E, под углом u₁' к гл. опт. оси с таким расчетом, чтобы после прохождения через опт. с-му он был направлен параллельно гл. опт. оси. В этом случае . Поскольку, то. Определим расстояниеt₁ от опорной плоскости ОП₁ до точки пересечения данного луча с гл. опт. осью с-мы: . Полученное соотн. показывает, чтоt₁ не зависит от u₁'. Это означает, что все лучи, исходящие из точки F₁ после прохождения через опт. с-му будут также || ее гл. опт. оси. Продолжим падающий луч и вышедший до пересечения в точке S₁. Плоскость, проходящая через эту точку гл. опт. оси, н-сягл. передней плоскостью. Соответственно точка пересечения этой пл-ти с опт-ой осью Н₁ наз-ся гл. первой точкой опт-ой

с-мы. Расст. H₁F=f₁ наз-ся фокусным расст. опр. переднее фокусное расст.: y₂'=-fu₁'=-f₁V₁'/n₁ (*) и V₂'=0. С другой стороны: ,. Из двух последних равенств:. Учитывая (*):. Откуда, учитывая свойства унимодулярности матрицы, при которомAD-DC=1 , получим: . Расстояниеs1 от опорной плоскости ОП1 до передней гл. точки Н1 будет равно: .Еще 2 кардинальных элемента центр. опт. с-мы: узловые точки и узловые пл-ти. Узловые точки хар-ся св-м: всякий луч, входящий в опт. с-му под углом u₁ и проходящий через узловую точку K₁ , выходит из опт. с-мы под тем же углом к опт. оси, пересекая ее во второй узловой точке K₂. Пл-ти, проходящие через узловые точки перпенд. гл. опт. оси, наз-ся узловыми пл-ми. Обозначим через h₁ расстояние от опорной плоскости ОП₁ до точки K₁ и соответств. расст. от опорной плоскости ОП₂ до K₂ - через – h₂ . Запишем матрицу преобразования лучей между узловыми плоскостями:, где,- передаточные матрицы смещения лучей между опорными и узловыми плоскостями:,. 1ое во 2ое, получим:. можно упросить. Запишем координаты лучаy₂ и V₂ при пересечении им второй узловой плоскости, считая заданными его координаты y₁ и V₁ при пересечении передней узловой плоскости: ,. Поскольку узловые точки расположены на гл. опт. оси, то, соответственно. Это возможно если. Далее, на основании свойства узловых точекили, можем записать (при):Используя записанные условия, получими, покажем, что расстояние между узлами всегда равно расстоянию между главными точками. Действительно, расстояние между узлами, расстояниеК₁К₂ с учетом правила знаков будет равно: . Или, принимая во внимание выражения дляh₁ и h₂ , запишем. Точно такой результат получается и для расстояния. В случае, если опт. св-ва среды по обе стороны с-мы одинаковы, то узловые точки совпадают с гл. Фокусное расст. опт. с-мы (опт. сила) определяются элементомС. Заметим, что при имеем:,т.е. переднее фокусное расст. равно заднему фокусному расст. При:. ТочкиF₁ и F₂ , H₁ и H₂ , K₁ и K₂ а так же плоскости, которые проходят через них перпендикулярно гл. опт. оси, называются кардинальными. M_Н преобразования лучей между передней H₁ и задней H₂ гл. плоскостями: , где- матрица опт. промежутка отН2 до ОП₂ толщиной s₂, M – матрица преобразования лучей между ОП₂ ОП₁, - матрица опт. промежутка от ОП₁ до H₂. Подставив всё в M_H: , перемножив и учитывая св-ва унимодулярности:. ПосколькуA=1, B=0, то ,сопряжённые точки, на гл. плоскостях отображаются с линейным увеличением, равным ед., т.е. любой луч, который проходит через плоскость H₁ , пересечет H₂ на той же высоте. матрицу преобразования лучей между двумя фокальными плоскостями F₁ и о F₂: , здесь ,, перемножив:все

параллельные лучи, которые пересекают переднюю фокальную плоскость на различной высоте, после преобразования опт. системой проходят через заднюю фокальную плоскость в одной точке.

4.5 Аберрации опт. Систем. Место схожд. стигматического пучка наз-ся фокусом. Его волновая пов-ть является сферической. Астигматическим называется пучок, не имеющий точки схождения. Поверхность астигматического пучка несферическая. Параксиальный пучок при прохождении через центрированную опт. с-му остается гомоцентрическим. Центрированная оптическая с-ма при использовании параксиальных лучей дает стигматическое изображение. Однако параксиальный пучок является идеализацией. В практической оптике используются широкие непараксиальные пучки, которые к тому же являются немонохром. Это приводит к тому, что получаемое изобр. уже не будет полностью геом. подобным предмету, т.е. будут возникать искажения изобр-ия. В таком случае говорят, что опт. с-ма обладает погрешностями, т.е. аберрациями. В общем случае: аберрация - любое нарушение гомоцентричности светового пучка вызванное его прохожд. через опт. с-му. Аберрации опт. с-м бывают монохром. и хроматические. Монохром.аберрации возникают при прохождении монохром. непараксиальных пучков через опт. с-му. Хроматические аберрации имеют место при использовании немонохром. пучков света. Вследствие явления дисперсии света коэфф. преломления, а, следовательно, и точка схождения лучей различной длины, будут различными. Это приводит к тому, что даже при отсутствии монохроматических аберрации, изображение, получаемое в белом свете, будет окрашенным. Процесс устранения аберраций опт. с-мы называется корригированием. Полностью устранить аберрации нельзя, но можно уменьшить до нужной величины. Например, при рассм. предмета визуально, или с помощью опт. прибора размер аберрации должен быть меньше min разрешаемого ими геом. размера. В этом случае аберрации не будут влиять на качество изобр. Рассм. монохром. аберрации. Одной из наиболее часто встречаемых аберраций является сферическая аберрация. возникает при отображении широким пучком точек, лежащих на опт. оси. рассм. точечный объект А, расположенный на опт. оси. Из всей совокупности лучей, падающих на линзу, выделим 2 пары: 1-1' и 2-2'. Для 1ой углы падения на преломляющую пов-ть являются малыми, и параксиальное приближение выполняется с большой точностью. Эти лучи образуют стигматическое изобр. в точке А1. Для второй пары лучей углы падения будут больше чем для параксиальных лучей, поэтому и углы преломл. также будут больше. Это приведет к тому, что они пересекут опт.ось в точке А2, расположенной ближе к линзе. Наблюдая изобр. на экране, заметим, что ни при каком его положении не получится точечное изобр. если расположить экран перпенд. опт. оси так, чтобы он проходил через точку А1, то изобр. будет иметь вид яркой точки в центре, окруженной светлым ореолом, к-ый наз-т кружком рассеяния. Центр изобр. будут создавать параксиальные лучи; кружок рассеяния будут создавать непаракс. лучи. Вблизи точки А₁ имеется зона max концентрации световой энергии. Поверхность, огибающая эту область пространства, называется каустической поверхностью, или каустикой. В сечении каустика представляет геом. место точек схождения меридиональных лучей. Сферическая аберрация х-ся разностью коорд. точек A₁ и A₂: δs=OA₁-OA₂. Это разность называется продольной аберрацией. Продольная аберрация считается (+), если точка А2 расположена правее точки А1 и (-) – если точка А2 расположена левее А₁. В приведенном на рис. примере продольная аберрация будет (-). Кроме величины δs продольная аберрация характеризуется величиной δs =CD - размером кружка рассеяния на экране, расположенном в плоскости параксиального изображения, вдоль направления перпенд. опт. оси. Собирающая линза имеет отрицательную аберрацию продольную аберрацию, рассеивающая – положительную. Размер продольной и поперечной аберрации зависит от апертуры пучка, падающего на линзу. Осуществляя диафрагмирование пучка, можно значительно уменьшить сферическую аберрацию. Однако, диафрагмирование приводит к уменьшению освещенности изображения. Кроме того, в случае микроскопа уменьшение апертуры нежелательно еще и потому, что это уменьшает их разрешающую способность. Сферическую аберрацию можно в значительной мере уменьшить, используя комбинацию из нескольких собирающих и рассеивающих линз. Аберрация кома. Часто источник, посылающий на линзу широкий пучок, расположен вне опт. оси. В этом случае каустика не имеет осевой симметрии. Она симм. отн-но меридиональной плоскости и по форме напоминает комету с хвостом. Такой вид погрешности опт. систем называется аберрацией кома. В отличие от сферической аберрации, кома определяется не только сферичностью поверхности линзы, но удаленностью от опт. оси с-мы. Действительно, при наклонном падении широкого пучка на линзу его верхние и нижние лучи преломляются по-разному. В итоге широкий параллельный пучок дает на экране не точечное изображение, а пятно довольно сложной формы. Кома является одной из наиболее существенных аберраций, особенно в микроскопии, где используют широкие пучки. Аберрация кома полностью устраняется при выполнении условия: y₁n₁sinu₁= y₂n₂sinu₂, где y₁, y₂ - размер предмета и изображения, u₁, u₂ - апертура лучей падающих на объектив и лучей, форм. изобр. это усл-ие синусов Аббе, может быть получено как следствие физического требования в соответствии, с которым для получения стигматического изобр. необходимо, чтобы опт. длина путей между сопряженными точками предмета и изображения были одинаковыми. Точки, для которых устранена сферическая аберрация и выполнено условие синусов Аббе, наз-ся апланатическими. Получаемые при этом изображения также называются апланатическими. Опт. с-ма может давать апланатическое изобр. только при опр. расст. до предмета и изобр.. Это усл-ие выполняется в микроскопе, где предмет всегда располагается в одной плоскости, находящейся вблизи фокальной плоскости. Причиной хроматической аберрации является явление дисперсии света в веществе, из которого изготовлена линза. Действительно, фокусное расстояние тонкой линзы определяется выражением

Хроматическая аберрация. Ахроматизация линз., продифф.: или, где- отн-ая дисперсия. Если световой пучок, падающий на линзу, является немонохром., то при изменении длины волны величина, т.е.и фокусное расстояние для волн различной длины будет различным. Это приводит к тому, что положение изображения в немонохроматическом свете будет различным, т.е. к хроматической аберрации. Если используются две линзы, сложенные вплотную, то фокусное расстояние такой опт. с-мы будет равно, продифференцировав:, решив:Для ахроматизации, т.е. исчезновения хроматической аберрации, необходимо выполнение условияили- Это усл-ие может быть выполнено, только если слагаемые имеют различные знаки. Посколькуи(линзы работают в области нормальной дисперсии), то для выполнения условия необходимо, чтобы различные знаки имелиf₁ и f₂, т.е. одна линза должна быть собирающей, а другая - рассеивающей. Пусть f₁>0, f₂<0, Если ахроматический объектив должен обладать положительной опт. силой, т.е. быть собирающим, то необходимо, чтобы , и. ТО, ахроматической объектив можно изготовить из двух линз, сложенных вплотную: собирающей и рассеивающей, если он должен иметь (+) опт. силу, то первую линзу необходимо изготовить из материала, обладающего большей отн-ой дисперсией. Если фокусное расст. ахроматического объектива известно, то можно определитьf₁ и f­₂: ,. Значенияf₁ и f­₂ достигаются подбором радиусов кривизны сферических пов-тей линз . Опт. с-мы, у которых устранена хроматическая аберрация, наз-ся ахроматизироваными. Следует заметить, что полностью устранить хроматическую аберрацию невозможно. Обычно ее устраняют для какой-либо опр. спектральной обл. В приборах, предназначенных для визуальных наблюдений, это обычно желто-зеленая область. Хроматическая аберрация является крайне нежелательной в микроскопах. Поэтому их составные части являются ахроматизироваными. Объективы, у которых ахроматизация выполнена для двух цветов спектра называют ахроматами. Однако во многих случаях, которые имеют место в микроскопии, такой ахроматизации недостаточно. Аббе определил условия, при которых достигается ахроматизация объективов для трех длин волн. Такие объективы наз-ся апохроматами. Апохроматы широко используются в опт. микроскопах.Астигматизм наклонных пучков и кривизна поля. Даже узкие пучки утрачивают гомоцентричность при прохождении через опт. с-му, если они составляют с опт. осью значительные углы. Для того, чтобы наглядно представить характер искажений, возникающих в этом случае, введем несколько опр. Плоскость, проходящую через опт. ось с-мы и центральный луч падающего пучка, наз-ся меридианальной. Часто эта плоскость совмещается с плоскостью рисунка. Плоскость, перпенд. меридианальной плоскости и также содержащая центральный луч, наз-ся саггитальной. Рассм. гомоцентрический узкий пучок света, исходящий из точки А и падающий на опт. с-му под углом к ее гл. опт. оси. Пусть mm и ss – сечения линзы меридианальной и саггитальной плоскостью соответственно. Вследствие различия радиусов кривизны преломляющих пов-ей в этих взаимно перпенд. сечениях, волновая пов-ть пучка после преломления будет не сферической. Меридианальные лучи пересекаться на фокальной линии Рm, расположенной в саггитальной плоскости, саггитальные лучи на линии Рs, расположенной в меридианальной плоскости. Расстояние между этими линиями, которое мы опр-ли как астигматическая разность, быстро возрастает с увеличением угла между пучком и опт. осью. Такой вид аберрации наз-ся астигматизмом. Астигматизм приводит к искривлению поля изобр., т.е. изобр. даже плоской фигуры оказывается не совсем резким на плоскости. Астигматизм крайне нежелателен для фотообъективов, которые должны давать резкие изобр. на плоскости пленки и светочувствительной матрицы. Комбинируя линзы с различным радиусом кривизны пов-ти и фокусными расст., можно приблизительно совместить меридианальные и саггитальные фокальные линии, сделав их практически прямыми. Опт. с-мы, у которых исправлена аберрация астигматизма, называются анастигматами.

4.6. Оптические приборы: лупа, микроскоп, телескоп. Оптическая схема увеличение. Чувствительность глаза: Палочки содержат пигмент с максимальной чувствительностью на длине волны около 510 нм (точечная линия на рисунке), в зеленой части спектра. Суммарная кривая спектральной чувствительности глаза для случая яркого освещения, т.е. цветного зрения, показана на рисунке сплошной линией. Колбочек существует три типа отличающихся фоточувствительным пигментом. Колбочки обычно называют "синими", "зелеными" и "красными" в соответствии с наименованием цвета, для которого они оптимально чувствительны. Упомянутые три пигмента имеют максимальные поглощения приблизительно на 430, 530 и 560 нм. Этим длинам волн соответствует фиолетовый, сине-зеленый и желто-зеленый. Бинокулярное зрение: вырабатывавшаяся тысячелетиями, согласованная работа глаз постепенно создала новое чувство или ощущение глубины или рельефа, обусловливаемое двумя обстоятельствами: 1) непараллельностью (конвергенцией) оптических осей, направленных на наблюдаемый предмет 2) неодинаковостью изображений, получаемых на обеих сетчатках . Лупа: Лупа - простейшая оптическая система с фокусным расстоянием 10010 мм. , где - фокусное расстояние лупы.

К расчету увеличения лупы. Микроскоп: Первый микроскоп был построен голландским мастером Янсеном. Первое удачное применение микроскопа в научных исследованиях связано с именем английского ученого Гука (1665 г.), который установил клеточное строение животных и растительных тканей. 10 лет позже голландский ученый Левенгук с помощью микроскопа открыл микроорганизмы. Микроскоп представляет собой комбинацию двух оптических систем - объектива и окуляра

Когда фокусное расстояние объектива и окуляра соответственно об и ок, то фокусное расстояние всей системы будет равногде  - расстояние между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра, так называемый оптический промежуток. В таком случае увеличение микроскопа будет равно. Телескоп. Зрительная труба:Зрительная труба используется для получения увеличенных изображений удаленных объектов. Основными его элементами являются длиннофокусный объектив большого диаметра и окуляр . Для того, чтобы получить изображение предмета на экране, необходимо передвинуть окуляр относительно объектива так, чтобы изображение А₁В₁ оказалось на расстоянии, большем фокусного расстояния окуляра. Общее увеличение системы будет равноЗрительные трубы, которые используются в астрономии, называются телескопами. В телескопах задний фокус объектива может совпадать с передним фокусом окуляра

В этом случае для определения углового увеличения может быть использовано соотношение

где ирадиусы объектива и окуляра

4.7. Разрешающая способность опт. приборов. Оптическая с-ма, лишенная аберраций, в соответствии с законами геометрической оптики должна давать стигматическое изображение, т.е. каждая точка предмета изображается в пространстве изображений в виде точки. В действительности это не так. На сравнимых с длиной волны расстояниях от точки схождения лучей кривизна волновых поверхностей становится значительной, и законы геометрической оптики не выполняются. Создаваемое системой изображение представляет дифракционную картину. В границах центрального максимума, (диска Эйри), сосредоточено 86% интенсивности, поэтому его можно считать изображением точечного источника, создаваемой опт. системой. Таким образом, явление дифракции ограничивает предел разрешения, т.е. возможность раздельного наблюдения мелких объектов и устанавливает предел увеличения опт. приборов. Угловой размер центрального максимума ₁в случае дифракции Фраунгофера на круглом отверстии определяется условием , гдеr - радиус апертуры. В случае очень большого расстояния звезды можно рассматривать как точечные источники, несмотря на их огромные размеры. Изображение звезды можно рассматривать как дифракционную картину, которая создается оправой объектива. Как и в случае двух узких спектральных линий мы можем условно использовать критерий Релея в следующем виде: два точечных некогерентных источника считаются разделенными, когда центр дифракционной картины от одного из них совпадает с ближайшим к центру максимумом картины от другого. Пусть угловое расстояние между точечными источниками 1 и 2 равно , Со сказанного понятно, что они будут наблюдаться раздельно, когда. Разрешающая способность телескопа есть величина. Линейное расстояние между дифракционными центрами будет равно.Разрешающая способность микроскопа. Рассм. случай, когда световой пучок от удаленного источника ограничен оправой объектива. Получающееся в центре светлое пятно будет являться дифракционным изображением точечного источника. Поскольку микроскоп предназначен для рассматривания мелких объектов, то его обычно характеризуют не угловой характеристикой, а минимальным расстоянием между двумя точками y0, при котором они еще будут различимыми в данный прибор. При определении разрешающей способности микроскопа необходимо учитывать два обстоятельства. Во-первых, в виду того, что предмет находится очень близко от объектива, световую волну, создающую изображение, нельзя считать плоской. Во-вторых, необходимо учитывать когерентность света. В случае, если два рассматриваемые объекты являются самосветящимися, то его излучение будет некогерентным. При рассм. предметов, освещаемых внешним излучением, регистрируемый свет будет частично когерентным, поскольку ширина и длина когерентности значительно превосходят размеры рассматриваемых предметов. Пусть две точки А и В некоторого объекта являются самосветящимися, т.е. некогерентными. Тогда каждая из точек вследствие дифракции будет создавать свое изображение в виде светлых кружков. В соответствии с критерием Рэлея эти две точки будут разрешаемыми, если центры дифракционных максимумов будут на расстоянии y1, не меньшем радиуса первого темного кольца. Радиус этого кольца r₁ можно определить из условия гдеMN – расстояние от апертурной диафрагмы до плоскости изображения, , т.к. угол- малый, то. Для устранения аберрации кома, необходимо выполнение условия синусов:, изображение в воздухе:. гдеu₁ - апертура пучка, попадающего на объектив. Обычно под разрешающей силой микроскопа понимают величину Y, обратную y₁. Числовая апертура:

4,8. Ограничение световых пучков в опт. с-мах. Глубина резкости. Для получения удовлетворительной резкости в опт. системе необходимо использовать пучки ограниченной ширины. Это обусловлено двумя причинами: 1) параксиальное приближение предполагает, что сечение пучка, участвующего в создании изображения, является малым, малыми должны быть также и углы, образуемые лучами с опт. осью; 2) идеальная центрированная оптическая с-ма, лишенная аберраций, дает отчетливое изображение на некоторой плоскости ОП₂ только тех точек предмета, которые лежат в сопряженной с ней плоскостью ОП₁ (точка А). Положение ОП₁ и ОП₂ относительно гл. опт. оси, при котором изображение является стигматическим, определяется выражением . Когда точка не лежит в плоскостиОП₁ (точка В), то на сопряженной с ней плоскости ОП2 она будет отображаться в виде некоторого пятна (кружка рассеивания). Размер кружка будет зависеть от расстояния от точки В до сопряженной плоскости и от угловой ширины пучка, который создает изображение. Ширина пучка может быть ограничена с помощью диафрагмы D или оправой линзы L. Для получения удовлетворительного качества изображения размер кружка не должен превышать некоторого значения, которое определяется разрешающей способностью глаза. Максимальное расстояние между точками в пространстве предметов, которые отображаются с нормальной резкостью в плоскости пространства изображений, называется глубиной резкости. Понятно, что с уменьшением диафрагмы глубина резкости увеличивается. Однако, это приводит к уменьшению яркости изображения тех точек, на которые сфокусирована оптическая с-ма, т.е. точек, находящихся на ОП1. Ограничение пучков осуществляется по-разному для лучей, которые идут с разных точек предмета. Для точек, расположенных на опт. оси, ограничение пучков (диафрагмирование) осуществляется апертурной диафрагмой, входным и выходным зрачками. Апертурной называется диафрагма, которая осуществляет максимальное ограничение пучка, создаваемого источником, находящимся на опт. оси с-мы (диафрагма DD'). Если бы оправа линзы L1 закрывала кольцевые зоны и, то апертурной диафрагмой по-прежнему была бы диафрагмаDD'. Но если оправа линзы будет закрывать области и, то апертурной диафрагмой будет уже диафрагма, а не. Входным зрачком называется изображение апертурной диафрагмы (В₁В₂) которое создается опт. системой, находящейся перед ней. Когда апертурная диафрагма находится перед первой линзой или создана ее оправой, то входной зрачок совпадает с апертурной диафрагмой. Выходным зрачком называется изображение апертурной диафрагмы, которое изображается той частью опт. с-мы, которая находится после апертурной диафрагмы (Е₁Е₂). Можно сказать, что выходной зрачок есть изображение входного, созданное всей опт. системой. Лучи от точек предмета, которые не лежат на опт. оси могут частично или целиком останавливаться на своем пути элементами опт. с-мы. Вследствие этого освещенность соответствующих точек изображения уменьшается. Такое явление называется виньетированием.

5.1. Уравнение Максвелла для волн в веществе. Плоские электромагнитные волны в среде. Оптически изотропной называют среду, оптические свойства которой одинаковы по всем направлениям. Оптически изотропными являются газы и жидкости при отсутствии внешних полей, а также многие аморфные вещества и кристаллы, имеющие кубическую кристаллическую решетку. Одним из решений является уравнение бегущей монохроматической волны , Структура и свойства плоских бегущих монохроматических волн

, ,,из всех этих уравнений следует, что . После преобразований, т.е. уравнения плоских бегущих монохроматических волн будут являться решением уравнений Максвелла при выполнении условия, где– волновое число волны в вакууме

1.ε – величина вещественная и положительная: фазовая скорость  будет равна

, где – абсолютный показатель преломления среды.

2. ε – величина комплексная. Векторы и имеют одинаковое направление. Поскольку , то

Выясним смысл его мнимой части : Рассмотрим плоскую волну , где- убывающая амплитуда волны

, -закон Бугера-Ламберта, где , величина- показатель поглощения.

5.2. Электронная теория дисперсии. Формула дисперсии. Нормальная и аномальная дисперсия. В соответствии с классической теорией среда рассматривается как большое число невзаимодействующих атомов и, кроме того, поле, действующее на отдельный атом, принимается равным среднему полю электромагнитной волны. Под действием электрического поля падающей волны заряды среды начинают совершать колебательное движение и сами становятся источниками электромагнитных волн. Эти вторичные волны от всех элементов объёма вещества налагаются друг на друга и вместе с падающей волной образуют полное электромагнитное поле в веществе, которое и вызывает вынужденное движение входящих в состав вещества зарядов. В классической теории дисперсии оптический электрон в атоме рассматривается как затухающий дипольный осциллятор, характеризуемый определённой собственной частотой и постоянной затухания. Уравнение движения электрона в поле световой волны будет: , гдеx – смещение электрона из состояния равновесия, m – его масса. _{- формула дисперсии (определяет зависимость показателя преломления диэлектрика от частоты электромагнитной волны). Где} - некоторая константа среды, имеющая размерность частоты. Из соотношения

_{следует, что при увеличении частоты излучения показатель преломления увеличивается. Такая зависимость представляет собой нормальную дисперсию. Уменьшение показателя преломления с частотой, которое имеет место в пределах ширины контура линии поглощения, называется аномальной дисперсией.}

5,3. Отражение и преломление ЭМ волн на границе раздела двух сред. Для сплошных сред в предположении, что на их границах раздела нет свободных зарядов и токов проводимости, должны быть непрерывны тангенциальные составляющие векторов Е и Н и нормальные составляющие D и B: ,,,Эти условия являются следствиями макроскопических уравнении Максвелла в интегральной форме. Рассмотрим распространение плоской электромагнитной волны через границу раздела двух сред с показателями преломленияn₁ и n₂. На границе раздела волна частично преломляется, частично отражается. Обозначим индексами 0 1 2 соответственно величины, которые описывают волну падающую, отраженную и преломленную ,,. Волновые числа определяются условиями:,,, гдеv_0…2 – скорости волн соответственно падающей, отражённой и преломленной. Очевидно:,- где с скорость света в вакууме,n₁ и n₂ абсолютные показатели преломления первой и второй среды соответственно. граничные условия можно записать: - выполняться при любыхt и r только при условии, что (*) и. Из (*)частота ЭМ волны при отражении/преломленииconst. выбирается произвольно, поэтому возьмём, т.е., тогда(#). Последнее означает, чтоитакже перпендикулярны. Это возможно только при условии, чтолежат в одной плоскости — плоскости падения. (Плоскостью падения называют плоскость, проходящую через падающий лучи нормальк границе раздела, проведенную в точку падения луча. Расположимвдоль осиx. Тогда ,- ед. вектор, напр. вдольx. Перепишем (#):,,, тогдаили, т.еиили, где- относительный показатель преломления второй среды. Последние равенства – з-н отражения/преломления света. ТО,луч падающий, отраженный и преломленный и нормаль к границе раздела двух сред проведённая в точку падения луча, лежат в одной плоскости, называемой плоскостью падения. Нормальное падение: При нормальном падении волн на границу раздела . Формулы Френеля:,. Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды:

5.4. З-н Брюстера. Случай, когда .- з-н отражения или- з-н Брюстера. Угол падения, для которого выполняется условие называется углом Брюстера. При падении естественного света под углом Брюстера отраженный свет будет полностью поляризован. Его плоскость поляризации будет перпендикулярна плоскости падения. Это явление - следствие формул Френеля.Явление полного внутреннего отражения: Рассмотрим пример, когда преломление воздуха будет происходить на границе стекло () - воздух (). В этом случае>, а угол паденияменьше угла преломления, где стекло является первой средой, а воздух - второй. Если-показатель преломления стекла относительно воздуха, то показатель преломления воздуха относительно стекла будет равен  . Тогда закон преломления света можно записать следующим образом:- формула преломления (при>). При увеличении угла падения увеличивается и угол преломления. На приведенной анимации можно заметить, что при определенном угле падения, близком к 90, преломленный луч практически исчезает, а вся энергия падающего луча переходит в энергию отраженного. При некотором значении угла падения(этот угол называетсяпредельным углом падения), преломленный луч распространяется вдоль границы раздела двух сред, то есть угол преломления в этом случае равен 90Однако, как правило, заметить распространение преломленного луча вдоль границы раздела практически невозможно, так как интенсивность светового луча становится близкой нулю. Уравнения, для нахожденияможно записать следующим образом: Т.к., то, значитИз этого равенства можно найти значение предельного угла. Например для воды (n=1.33) он оказывается равным 4835', для стекла (n=1.5) он принимает значение 4150', для алмаза (n=2.4) этот угол составляет 2440'. Если световой луч падает на границу раздела сред под углом>, то он вообще не проникает во вторую среду, а вся световая энергия падающего луча передается лучу отраженному. Это явление называетсяполным внутренним отражением. Необходимым условием, для полного внутреннего отражения, является ход луча из оптически более плотной среды в оптически менее плотную (>).Применение полного внутреннего отражения. Явление полного внутреннего отражения используется в волоконной оптике, для передачи световых сигналов на большие расстояния. Использование обычного зеркального отражения, не дает желаемого результата, так как даже зеркало самого высокого качества (посеребренное) поглощает до 3% световой энергии. При передачи света на большие расстояния энергия света приближается к нулю. При входе в световод падающий луч направляется под углом заведомо больше предельного, что обеспечивает отражение луча без потерей энергии. Световоды, состоящие из отдельных волокон, достигают в диаметре человеческого волоса, при скорости передачи более быстрой, чем скорость протекания тока, что позволяет ускорить передачу информации. Волоконные световоды с успехом применяют в медицине. Например, световод вводят в желудок или в область сердца для освещения или наблюдения тех или иных участков внутренних органов. Использование световодов позволяет исследовать внутренние органы без введения лампочки, то есть исключая возможность перегрева. В морских биноклях внутреннее отражение используется для того, чтобы свет мог пройти через несколько линз, при относительно маленьком корпусе аппарата. Используя явление полного внутреннего отражения можно изменять направление хода световых лучей.

6.1. Естественный и поляризованный свет. З-н Малюса. Явление двулучепреломления. Если направить пучок света на достаточно толстый кристалл исландского шпата, то он дает два пространственно разделенных луча. Даже если угол падения равен нулю. В таком случае при вращении кристалла вокруг луча один из преломленных лучей остается неподвижным, а второй будет обходить вокруг первого. Первый луч называют обыкновенным (о), второй необыкновенным (е). Показатели преломления n₀ n_e различны. для обыкновенного луча показатель преломления является величиной постоянной и не зависит от угла падения. для необыкновенного луча он зависит от направления распространения, т.е. является некоторой функцией угла падения. В кристалле исландского шпата имеется направление, при распространении вдоль которого свет не испытывает двулучепреломление. Это направление называется оптической осью кристалла. В данном кристалле это направление, соединяющее два противоположных тупых угла. Любое направление параллельное главной оптической оси называется главной плоскостью кристалла или главным сечением. Оба луча, возникающие в кристалле, поляризованы в двух взаимноперпендикулярных направлениях: колебания вектора Е в обыкновенном луче перпендикулярны к главной плоскости; в необыкновенном луче колебания Е расположены в главной плоскости. Кроме одноосных имеются имеются и двуосные кристаллы. Для них характерны два направления, вдоль которых не наблюдается двулучепреломление, т.е. две оптические оси. Для двухосных кристаллов ни один из лучей не может быть отнесен к обыкновенному или необыкновенному. Прохождение света через поляризатор. Закон Малюса. Линейно поляризованный свет получают с помощью специальных устройств, называемых поляризаторами. С помощью поляризаторов можно также изучать, является ли данное излучение линейно поляризованным или нет (анализатором). Наибольшее распространение получили поляризационные призмы (призмы Николя, Глана и др.) и поляризационные пленки. Призма Николя (николь) изготавливается из исландского шпата. Кристаллы вырезают относительно оптической оси так и склеивают канадским бальзамом по поверхности. Коэфф. преломления канадского бальзама имеет числовое значение, заключенное между коэфф. преломления обыкновенного и необыкновенного лучей. При соответствующем выборе угла падения необыкновенный луч проходит через призму, а обыкновенный луч на поверхности склейки испытывает полное внутреннее отражение и выводится из призмы. Рассм. прохождение линейно поляризованного света через поляризатор. Пусть плоскость поляризации падающего света, имеющего амплитуду Е₀, составляет угол α с плоскостью анализатора А. В этом случае амплитуда прошедшей через поляризатор волны будет равна проекции Е₀ на плоскость поляризатора, т.е. Е₀соsα. Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, то интенсивность прошедшей волны I будет равна -p-y Малюса, где I₀ интенсивность падающего на поляризатор линейно поляризованного света.

6.2. Описание анизотропных сред. Тензор диэлектрических проницаемостей. Эллипсоид Френеля для фазовых скоростей. Оптические оси. В анизотропных диэлектриках электрические свойства зависят от направления, в котором распространяются волны. Связь и- более сложная, где-тензорЕсли диэлектрическая среда является непоглощающей, не обладает пространственной дисперсией (В зависит только от Е и не зависит от ее производных по координатам), тосимм. тензор:. Симм. тензор может быть приведен к диагональному виду. Т.е. всегда можно найти такую систему координат, в которой все недиагональные элементы =0:и,,. Направления Х,Y,Z - главные, а величины - главные (диагональными) проницаемости. В общем случае – не равны друг другу, т.е.ине коллинеарны. Обычно выбирают такие направления Х,Y,Z чтобы выполнялось соотношение . В выбранной системе координат:- ур-е эллипсоида Френеля. Эллипсоид имеет два круговых сечения. Направления перпендикулярные к этим сечениям наз-ся опт. осями кристаллов. На рис1. опт. осями являются направленияи. Если, то эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, который имеет только одно круговое сечение. Т.е. эллипсоид будет одноосным рис2.

6.3. Плоские монохроматические волны в анизотропной среде. Уравнение Френеля для фазовых скоростей. Поверхность нормалей и поверхность лучей. Рассм. ур-ия Максвелла для анизотропных сред, приняв объемную плотность св. зарядов а также плотн. токов проводимости =0, среда не обладает магнитной анизотропией. Т.е. , где- скаляр. В операторном виде:,,,(*). Отсюда можно получить волновые ур-ия для Е,D, В, решением которых будут уравнения плоских бегущих монохроматических волн: ,,. Опр. структуру и свойства монохром. бегущих волн в анизотропной среде. Подставим записанные равенства в (*):,, где- ед. вектор нормали к волновой пов-ти:. Из системы можно заключить:. Структура на рисунке. Плоскость фронта волны, распространяющейся вдоль- плоскостьDB. EB повёрнута на угол относительно DB. Нормаль к EB определяет направление вектора - направление распространения энергии (лучевой вектор)., где- ур-ие Френеля для фазовых скоростей.Ещё св-во: две волны, распростр. в изотропной среде в одном направлении с различными скоростями имеют ортогональную поляризацию. Световая энергия переносится вдоль направления, определяемого вектором Умова-Пойнтинга. Поскольку для различно поляризованных волн эти направления различны, то и направления распространения энергии тоже будут различными. Это приводит к появлению в среде двух лучей, те. к двойному лучепреломлению. Рассмотрим распространение волн в кристалле. Пусть точечный источник находится в некоторой точке О, совпадающей с началом декартовой системы координат ХУZ. Из точки О будут распространяться две волны, имеющие ортогональную поляризацию и различную фазовую скорость. Положение фронта каждой волны через некоторый промежуток времени будет определяться ее фазовой скоростью в данном направлении. Если из точки О отложить по всем направлениям радиус-вектор, равный фазовой скорости, и провести через его концы поверхность, то мы получим поверхность нормалей. В анизотропном кристалле таких поверхностей будет две. Пересечение радиус-вектора с поверхностями даст значение фазовой скорости каждой волны в данном направлении v₁ и v₂.