3.3. Приближение Френеля.

Интеграл Кирхгофа - интеграл суперпозиции, из него следует, что сумма косинусов не изменится, если источник и приёмник поменять местами. Т.е. точный источник установленный в точкеP, будет создавать тот же эффект в точке P₀, что и источник P₀ в точке P. – теорема взаимности Гельмгольца. Плоскость в которой наблюдается дифракция – плоскость дифракционной картины. Плоскость, совпадающая с отверстием – плоскость источников. В каждой из плоскостей выберем с-му координат. В плоскости источников выберем элемент площади с координатамиx', y'­. Определим амплитуду волны создаваемую элементом в т.P(x, y). Пусть , тогда. Приближения Френеля: 1. будем считать, что элементрасположен достаточно далеко от точки наблюденияP, т.е. ,,,, тогда можно,. Тогда. 2.3. Множитель- быстро осциллирующий, поэтому выражение дляR, можно разложить в ряд и ограничиться членами второго порядка , тогда интеграл Кирхгофа примет вид, где- комплексная амплитуда падающей волны на площадке, т.е.. Можно переписать, где- комплексная функция определяющая амплитуду волны в области источников. Случай, когда все эти приближения выполняются наз-ся дифракцией Френеля.Дифракция Френеля на прямолинейном краю полуплоскости: Будем разбивать волновой фронт на полосатые зоны. z – длина перпендикуляра из точки наблюдения P к волновому фронту, совпадающему с краем полуплоскости. Проведём цилиндрические коаксиальные поверхности, ось которых проходит через т. P параллельно краю полуплоскости. Радиусы цилиндрических поверхностей: … т.е. волновой фронт будет разбит на прямоугольные полосы (зоны Шустера). Первую зону считаем за две, ширина зон ,,, …монотонно уменьшается от центра, следовательно и площади также будут уменьшаться. Можно записать интеграл Кирхгоффа с учётом приближений Френеля,если волна плоская, то, сделав замену переменныхполучим. Для графических построений можно пользоваться, с учётом преобразований Эйлера, где,- интегралы Френеля. Если,- оси в системе координат, то- уравнение клотоиды (Спираль Корню). Дифф. Дуги спирали, т.е. параметр- длина спирали Корню.

-определение амплитуды волны при дифракции на краю полуплоскости графическим методом.

3.4. Приближение Фраунгофера. Впреобразуем множитель:. Будем считать, чтои- приближение Фраунгофера, случай дифракции когда это выполняется – дифракция Фраунгофера. Идеально наблюдается в параллельных лучах, поэтому так и называется – дифракция в параллельных лучах. Запишем интеграл. Дифракция Фраунгофера. Рассмотри падение плоской волны на прямоугольное отверстие, получаем, тогда:, выполнив интегрирование получаем амплитуду создаваемую отверстиемab в точке P(x,y): , где,. Распределение интенсивности,- интенсивность недифрагировавшего света.Дифракция Фраунгофера на щели. Пусть плоская монохроматическая волна длины l нормально падает на щель шириной b. Направим ось X' перпендикулярно к щели, совместив ее начало с центром щели. Размер волновой поверхности вдоль щели ограничен только диаметром объектива, и если вносимую им дополнительную дифракцию не принимать во внимание, то волны дифрагируют только в направлениях, перпендикулярных щели, т.е. вдоль оси X'. Поэтому можно считать, что элементарные участки волнового фронта, имеющие вид полосок параллельных краям щели, являются источниками вторичных цилиндрических волн. Распределение интенсивности при дифракции на щели можно получить, используя метод зон Френеля. Выделим на волновом фронте плоской волны полоску шириной dx', находящуюся на расстоянии х' от центра щели. При выполнении приближения Фраунгофера с большой точностью можно считать, что наибольший вклад в дифракцию вносят только несколько первых зон Френеля. Поэтому. Являясь вторичным источником, в направлении нормали полоскаdx' будет создавать возмущение , где— амплитуда волны, создаваемая всей щелью в направлении нормали. Так как при нормальном падении света на щель фазы вторичных источников одинаковы, то волна, исходящая под углом φ от элементаdx', расположенного на расстоянии х от начала координат, опережает по фазе волну того же направления из середины щели на . С учетом этого комплексная амплитуда волны, которую посылает выделенная полоска в направлении, составляющем угол φ с нормалью к оси X':, где- сдвиг фаз между волнами распространяющимися в направлении(недифрагировавшими) и волнами дифрагировавшими в направлении φ. Проинтегрировав последнее:- возмущение создаваемое всей щелью. Интенсивность щели в направлении φ:,,- половина сдвига фаз для волн, распространяющихся в направлении φ от краев щели. При φ=0 интенсивность максимальна =I₀. при - min, т.е.т.о.- условие минимумов дифракции на щели. Продифференцировав выражение дляI найдём экстремум , решив графически можно найти корни. 93% света – главный максимум.Влияние ширины щели и размеров источника. При уменьшении ширины щели центральный максимум будет уширяться. Из условия минимумов: если , то, т.е. первые дифракционные минимумы будут сдвинуты на бесконечно удаленный край экрана. Наблюдаться при этом будет только один центральный максимум. Прии дальнейшем уменьшении ширины щели будет иметь место монотонное уменьшение интенсивности в максимуме. При увеличении ширины щели происходит сужение центрального максимума и увеличение его яркости