- •Тема 1. Неопределенный интеграл
- •Задания для самостоятельного решения
- •Тема 2. Интегрирование рациональных функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 3. Интегрирование иррациональных функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 4. Интегрирование тригонометрических функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 5. Определенный интеграл
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 6. Несобственные интегралы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 6. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 8. Приложения определенного интеграла. Вычисление длины дуги кривой
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
Найти площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:
(кардиода).
Найти площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями:
;
;
;
Тема 8. Приложения определенного интеграла. Вычисление длины дуги кривой
Вопросы для повторения:
Формула для вычисления длины дуги кривой в прямоугольной системе координат.
Вычисление длины дуги кривой в полярных координатах.
Вычисление длины дуги кривой, если она задана параметрическими уравнениями.
Пример 1. Найти длины дуг:
кривой отх= 0 до.
Применяя формулу:, имеем:
кривой между точками пересечения ее с осьюоу.
Найдем точками пересечения с осью OY: при х= 0.
Построим график кривой .
Вследствие симметрии кривой относительно оси OX достаточно найти половину длины заданной кривой.
Отсюда
Или
Пример 2. Найти длину дуги кривой:
.
Заданная кривая представляет эвольвенту окружности. Находим производные:
Длина кривой находится по формуле:
. Тогда
между точками пересечения с осями координат.
Найдем пределы интегрирования: при х= 0,t =0; приу= 0,.
Вычислим производные ,
находим:
Пример 3. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах:
Длина дуги определяется по формуле:
. Вычислим.
Находим
.
.
Изменяя φ от 0 до 3π, получим кривую:
Вычислим
Отсюда имеем:
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат:
Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями:
;
;
;
;
.
Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах: