- •Тема 1. Неопределенный интеграл
- •Задания для самостоятельного решения
- •Тема 2. Интегрирование рациональных функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 3. Интегрирование иррациональных функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 4. Интегрирование тригонометрических функций
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 5. Определенный интеграл
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 6. Несобственные интегралы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 6. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Тема 8. Приложения определенного интеграла. Вычисление длины дуги кривой
- •Задачи для самостоятельного решения
Тема 1. Неопределенный интеграл
Вопросы для повторения:
Определение первообразнойи неопределенного интеграла.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов.
Пример 1. Используя таблицу, найти следующие интегралы:
;
;
;
;
.
Пример 2. Используя таблицу и основные свойства неопределенного интеграла, найти интегралы:
;
;
.
При сведении данного интеграла к табличному используется операция “подведения под знак дифференциала”:
,а– число,
, k ≠ 0,
,
,
,
,
.
Пример 3. Найти “почти табличные интегралы”:
;
;
;
;
;
.
Пример 4. Найти интегралы, используя подходящую подстановку:
Пусть х 2 + 1 =t, тогда
.
Пусть , тогдаx = t2–1, dx=2t dt, тогда
3) . Пустьех = t, тогда х = ln t, .
Следовательно,
Пример 5. Найти интегралы, используя метод интегрирования по частям:
;
Задания для самостоятельного решения
Найти интегралы:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Найти“почти табличные интегралы”:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Найти интегралы методом замены переменной:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Найти интегралы методом интегрирования по частям:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Тема 2. Интегрирование рациональных функций
Вопросы для повторения:
Простейшие рациональные дроби и их интегрирование.
Теорема о разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей.
Способы нахождения неопределенных коэффициентов.
Пример 1. Разложить рациональную дробь в сумму простейших дробей. Используем метод неопределенных коэффициентов. Так как
.
Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители получившихся дробей, приходим к равенству:
.
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Приравнивая коэффициенты, получаем систему уравнений для определения А, В,CиD:
при х0: – А + В –D=O;
при х1:2А + В –C + D=1;
при х2: – А + В+C + 2D=0;
при х3:2А + В –2C =0.
Решив эту систему, найдем А, В, C,D:
;;;.
Следовательно:
.
Пример 2. Разложить рациональную дробь в сумму простейших дробей, используя метод частных значений. Так как
.
Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители получившихся дробей, получим:
. (*)
Полагая в (*) х = 0, получаем 2 =А∙ (-1) ∙ 1 ∙ (-2), откудаА = 1;
полагая в (*) х = 1, получаем 3 =В∙ 1 ∙ 2 ∙ (-1), откуда;
полагая в (*) х = -1, получаем 1 =С∙ (-1) ∙ (-2) ∙ (-3), откуда;
полагая в (*) х = 2, получаем 4 =D∙ 2 ∙ 1 ∙ 3, откуда.
Следовательно:
.
Пример 3. Найти интегралы:
1)
Выделим в знаменателе подынтегрального выражения полный квадрат:
Получим:
2)
Выделим полный квадрат:
Получим:
3)
Выделим в знаменателе полный квадрат:
то
сделаем замену х– 3 =t,dx = dt,x = t+ 3, тогда получим
Пример 4. Найти интегралы от рациональных функций:
1)
Так как подынтегральная функция представляет неправильную рациональную дробь, то выделим целую часть:
тогда
.
2)
Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
.
Приводя к общему знаменателю в правой части, приравниваем числители:
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем:
х2: 0 = А + В;
х: 1 = – 4А – 3В + С;
х0: 0 = 4А + 2В – С.
Из решения этой системы имеем: А = 1, В = -1, C= 2.
Таким образом,
3)
Раскладываем знаменатель подынтегральной функции на множители, представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
.
Откуда
Составляем систему:
х3: 0 = А + С,
х2: 0 = В +D,
х: 0 = 4А,
х0: 1 = 4В.
Имеем: А = 0, ,C= 0,.
Таким образом,
4)
тогда пустьx+ 1 =t,dx=dt.
Применим к интегралу рекуррентную формулу
при n = 2, a2 = 3, получим