Задачи для самостоятельного решения

1. Разложить правильную рациональную дробь на простейшие дроби:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

2. Найти интегралы от простейших дробей:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. .

3. Найти интегралы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. .

Тема 3. Интегрирование иррациональных функций

Вопросы для повторения:

1. Основные методы интегрирования иррациональных функций.

Пример 1. Найти интегралы:

1. 

Пусть х = t ², dx = 2 t∙dt, тогда

2. 

Общий показатель дробных показателей степеней равен 4, поэтому делаем заменух = t ⁴, dx = 4 t³∙dt. Отсюда

3. 

Сделаем замену ,,, получим

Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

;

;

откуда

;;;.

Таким образом,

4. 

Выделим полный квадрат в подкоренном выражении

5. 

Выделим под корнем полный квадрат:

и сделаем заменух+ 1 =t,dx=dt,х=t – 1, тогда получим

6. 

Далее делаем замену ,, получим

Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. .

Тема 4. Интегрирование тригонометрических функций

Вопросы для повторения:

1. Основные тригонометрические формулы.

2. Интегрирование функций, содержащих произведения тригонометрических функций.

3. Интегрирование функций, содержащих произведение степеней синуса и косинуса.

4. Интегрирование рациональных выражений, содержащих тригонометрические функций.

Пример 1. Найти интегралы:

1. 

Преобразуя по формуле , имеем:

2. 

3)

4)

5)

Пример 2.

1. 

Используя формулы понижения порядка ,, получим:

2. 

3. 

Отделяем в числителе от нечетной степени один множитель первой степени и вносим под знак дифференциала:

4. 

Поскольку синус и косинус в четных степенях, используем подстановку ,, тогда.

Пример 3.

1. 

Используем универсальную тригонометрическую подстановку , тогда,

,.

Получим:

2. 

Применим подстановку , тогда ,,,.

Раздели числитель и знаменатель на cos²x:

3. 

Умножим числитель и знаменатель на cosx, получим

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти интегралы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. .

2. Найти интегралы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

Тема 5. Определенный интеграл

Вопросы для повторения:

1. Определенный интеграл и его свойства.

2. Формула Ньютона-Лейбница.

3. Метод интегрирования подстановкой.

4. Метод интегрирования по частям.

Пример 1. Используя формулу Ньютона-Лейбница вычислить интегралы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Пример 2. Вычислить определенные интегралы методом замены переменной:

1. 

Сделаем замену переменной х=t², тогдаdx= 2t∙ dt.Находим новые пределы интегрирования: еслих= 0, тоt =0; еслих= 3, тоt =√3.

Тогда

2. 

Пусть е^х=t, тогдах=lnt,. Находим новые пределы интегрирования: еслих=ln2, то t =2;прих=ln3t =3.

Отсюда

3. 

Так как cosx∙dx=d(sinx), то сделаем заменуsinx = t.Определим новые пределы интегрирования: прих= 0,t =0; еслих= π/2, тоt =1.

Следовательно,

Пример 1. Используя формулу интегрирования по частям для определенного интеграла, вычислить интегралы:

1. 

2. 

3.