Задачи для самостоятельного решения

1. Используя формулу Ньютона-Лейбница вычислить интегралы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. 

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. .

2. Вычислить определенные интегралы, используя подходящую замену переменных:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. 

11. .

3. Используя формулу интегрирования по частям, найти интегралы:

1. ;

2. 

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. .

Тема 6. Несобственные интегралы

Вопросы для повторения:

1. Вычисление интегралов с бесконечными пределами (Iрода).

2. Вычисление интегралов от неограниченных функций (IIрода).

Пример 1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1. 

По определению несобственного интеграла Iрода имеем:

Интеграл сходится.

2. 

следовательно, интеграл расходится.

3. 

Разбиваем точкой х= 0 промежуток интегрирования на два интервала, а интеграл на два несобственных интеграла.

Интеграл сходится.

Пример 2. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1. 

Поскольку в точке х= 1, принадлежащей промежутку [-1, 2], функция терпит разрыв, то по определению несобственного интегралаIIрода получим:

Интеграл сходится.

2. 

Подынтегральная функция терпит разрыв в точке х= 1, т.е. на конце промежутке [1, 2]. Следовательно,

Интеграл расходится.

3. 

Подынтегральная функция терпит разрыв при х= 2. Имеем:

Интеграл сходится.

Задачи для самостоятельного решения

I. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. .

II. Вычислить интегралы от неограниченных функций или установить их расходимость:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. .

Тема 6. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур

Вопросы для повторения:

1. Площадь криволинейной трапеции в прямоугольной системе координат.

2. Площадь плоской фигуры в полярной системе координат.

3. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. y=x+ 2,y²= 9x

Построим графики и найдем точки пересечения этих линий. Для этого решим систему:

.

Откуда или .

Точки пересечения х₁= 4,х₂= 1.

Тогда

2. 

Найдем координаты точки пересечения гиперболы и параболы, решая систему: , откудаилиx= 1,y= 1.

Построим график:

Так криволинейная трапеция сверху ограничена разными кривыми, то разобьем промежуток интегрирования на два промежутка: от 0 до 1 и от 1 до 4. Тогда

3. , осью ординат и прямымиy= 1,y= -3. Сделаем чертеж.

Площадь криволинейной трапеции ABCDбудет:

Пример 2. Найти площадь фигуры, заданной параметрически:

1. эллипсом x = a cos t, y = b sin t

Оси координат делят эллипс на четыре одинаковых части. Найдем площадь, расположенную в первом квадранте:

Преобразуем интеграл по переменной t. Прих= 0,, а прих=а,t = 0;.

Тогда

2. одной аркой циклоиды ,и осьюох

Найдем площадь по формуле

Если х= 0, тоt = 0, еслих= 2πа, то t =2π,.

Отсюда имеем:

Пример 3. Найти площадь, ограниченную линиями:

1. лемнискатой Бернулли

Так как , то, тогда находим

Так как фигура состоит из четырех одинаковых частей, имеем:

2. окружностями и

Решаем совместно уравнения окружностей:

или ,,

учитывая, что ,, получим,.

Точка пересечения А.

Искомая площадь равна сумме площадей двух сегментов ОВА и ОСА.

Дуга ОСА описывается концом полярного угла φ от 0 до , следовательно,

Дуга ОВА описывается концом полярного радиуса меньшей окружности при изменении φ от до, следовательно,

Таким образом, искомая площадь