1.2. Задача складання раціону (задача про дієту, задача про суміші)
Ще один клас моделей виникає з економічних проблем, пов’язаних з виготовленням різних сумішей:
у сільськогосподарському виробництві при визначенні складу добрив;
при використанні різних видів пального для отримання пального іншої марки;
в металургії при виготовленні сталі з кількох марок сталі;
при складанні раціону харчування сім’ї, спортсменів, худоби.
Початкові дані наведені в табл. 1.3.
Таблиця 1.3
|
Вид компонента |
Вага
i-го
компонента (кг)
в одному кг j-го
матеріалу
|
Потрібна вага компонента в суміші, кг | |||||
|
1 |
2 |
... |
|
... |
| ||
|
1 |
|
|
... |
|
... |
|
|
|
2 |
|
|
... |
|
... |
|
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
... |
|
... |
|
|
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... |
|
|
|
|
... |
|
... |
|
|
|
Ціна 1 кг матеріалу, грн/кг |
|
|
... |
|
... |
|
|
|
Загальна вага матеріалу в суміші, кг |
|
|
... |
|
... |
|
|
У таблиці позначено:
–вага
i-го
компонента (кг) в одному кг j-го
матеріалу;
– потрібна вагаi-го
компонента у вихідній суміші;
– ціна одного кг
j-го
матеріалу. Ці показники вважаються
постійними, тобто
.
–загальна
вага j-го
матеріалу в суміші
.
Завдання:
отримати
суміш
мінімальної вартості
.
Математичний
опис задачі складається з функції мети
та
обмежень:
Побудувати математичну модель задачі.
Задача 1.2. До добового раціону сім’ї входять два продукти: м’ясо і фрукти. Щодо кожного з продуктів відомо: скільки в одному кілограмі міститься білка, вітаміну А, вітаміну В, вітаміну С та вартість одного кілограму м’яса та фруктів. Обчислити загальну вагу продуктів у раціоні мінімальної вартості, при умові, що у сукупності всі продукти повинні містити не менше заданої кількості компонентів (білка, вітаміну А, вітаміну В, вітаміну С).
Таблиця 1.4
|
Вид компонента |
Вага компонента (у. о.) в одному кг продукту |
Потрібна вага компонента в раціоні, у. о. | |
|
Продукт №1 |
Продукт №2 | ||
|
Білок |
17 |
0,9 |
10 |
|
Вітамін А |
0,09 |
12 |
4 |
|
Вітамін В |
4,1 |
- |
1 |
|
Вітамін С |
- |
7,1 |
1 |
|
Ціна 1 кг продукту, грн/кг |
45 |
19 |
|
Рішення
Побудуємо математичну модель задачі.
Позначимо
через хj
–
загальну
вагу продукту
j-го
виду (j=1,
2) в раціоні. Тоді цей раціон буде містити
одиниць білка,
одиниць вітамінуА,
одиниць вітамінуВ
і
одиниць вітамінуС.
Оскільки ці кількості поживних речовин
в раціоні не можуть бути менше заданих
границь, відповідно 10, 4, 1 і 1, то маємо
систему нерівностей:
(1.4)
Загальна вартість раціону
(1.5)
Таким
чином, математична модель задачі
складання раціону така: скласти
добовий раціон
,
що задовольнить системі (1.4),
при якому функція (1.5)
набуде мінімального значення.