4.2. Математическая модель.

Пусть длина стержня равна l м, периметр поперечного сеченияp м, площадь поперечного сеченияQ м². Выделим элемент длиныdх, находящийся на расстоянийхот левого конца, и примем его температуру равной. За время∆tчерез левую границу этого элемента пройдет количество тепла

а через правую на расстоянии х+dхот конца

Таким образом, выделенный участок приобретает за время tколичество тепла, равное разности

.

Вместе с тем потеря тепла этого элемента через поверхности в окружающую среду равна

.

Вследствие предположения о стационарности процесса эти количества равны, т.е.

откуда

(4.1)

Пусть на обоих концах стержня поддерживается постоянная температура . Тогда краевые условия имеют вид.

, (4.2)

Выводы:

1. На лекции 9 мы рассмотрели задачу теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки.

2. Мы построили математическую модель задачи теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки.

Лекция 10.

План лекции:

Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка.

Конечно-разностная аппроксимация краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка.

4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)

Отрезок разбиваем наnравных частей с шагом. Тогда получится сетка.

Обозначим

Мы знаем, что

При малых hсправедливо соотношение

или

- правая разностная производная,- левая разностная производная.

Аналогично получится приближенная формула

т.е. считаем, что площадь поперечного сечения Qпостоянная величина вдоль трубопровода. На основе этих формул из (4.1) получается приближенное неравенство.

Предполагая, что hмалая величина составляем равенства

(4.3)

i=1, 2, …, n-1.

,. (4.4)

где .

(4.3) – (4.4) является разностной задачей.

Теорема – 1.Если, то решение разностной задачи (4.3) – (4.4) сходится к решению (4.1) – (4.2) при и справедливо неравенство

(4.5)

где C- константа, зависящая от начальных данных.

Из (4.5) становится ясно, что при малом hв качествеможно взять решение приближенной задачи (4.3) – (4.4).

Выводы:

На лекции 10 мы изучили:

1. Краеваую задачу для дифференциального уравнения второго порядка.

2. Конечно-разностную аппроксимацию краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка.

Лекция 11.

План лекции:

Метод прогонки.

Численный метод решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка и условие его сходимости.

4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки.

Из (4.3) –(4.4) получаем равенства

(4.6)

где

.

(4.6) – называется трехточечной разностной схемой. Это есть система n-1 линейных алгебраических уравнений c неизвестными. Данная система имеет единственное решение.

Система (4.6) решается методом прогонки. Предполагаем, что решение (4.6) имеет вид

(4.7)

Подставляем его в (4.6). Тогда,

или

(4.8)

Сравнивая (4.7) и (4.8) получим соотношения

(4.9)

Из (4.7) при l = n-1 получим

.

Из этого тождества получим

. (4.10)

Из (4.9) и (4.10) определяются все

i = n-2, n -3, …, 0.

После этого из (4.7) используя определяются все

.

Теорема 2. Если и, то метод прогонки является устойчивой. То есть, при реализацийсхемы ошибки округления не накапливаются.

В нашем случае оба неравенства выполняются, поэтому метод прогонки является устойчивым.

Выводы:

На лекции 11 мы изучили;

1. Метод прогонки.

2. Численный метод решения краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка и условие его сходимости.

Лекция 12.

План лекции:

Трехточечная разностная схема.

Блок-схема метода прогонки.