- •Казахстанско-британский технический университет
- •1.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция).
- •1.2.Сплайн 2-го порядка s(X).
- •Из последней системы определяются
- •1.3. Расчетные формулы сплайна 2-го порядка.
- •1.4. Переменные и структурная схема расчета.
- •С началотруктурная схема расчета.
- •2.1. Постановка задачи.
- •4) Формулу Дюамеля для расчета давления на контуре нефтяного месторождения.
- •2.3. Приближенные методы вычисления определенного интеграла
- •2.4. Алгоритм вычисления определенного интеграла.
- •Структурная схема расчета.
- •2.5. Постановка задачи (круговой контур).
- •2.6. Решение задачи 2.
- •§3. Расчет показателей нефтяного месторождения в законтурной области пласта при упругом режиме.
- •3.1. Постановка задачи.
- •3.2. Математическая модель задачи.
- •3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2).
- •2. Метод Рунге – Кутта второго порядка точности.
- •3. Метод Рунге – Кутта третьего порядка точности.
- •4. Метод Рунге – Кутта четвертого порядка точности.
- •§ 4. Задача теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки . Дифференциальные уравнения второго порядка. Краевая задача
- •4.1. Постановка задачи.
- •4.2. Математическая модель.
- •4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)
- •4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки.
- •4.5. Переменные. Блок-схема.
- •Блок-схема
- •§5. Гиперболические уравнения. Уравнение акустики.Постановка прямой и обратной задачи для уравнения акустики.
- •Конечно-разностный метод решения прямой задачи
- •Случай точечного источника
- •Структура решения прямой задачи (1’)
- •Связь между различными уравнениями
- •Решение прямой задачи (7)-(9)
- •Алгоритм решения прямой задачи:
- •Метод обращения разностной схемы
- •Алгоритм метода обращения разностной схемы:
- •§6. Методы электроразведки. Введение
- •Вертикальное электрическое зондирование.Установка Шлюмберже.
- •На практике применяют следующие разновидности четырехточечных установок.
- •Для установки Шлюмберже и, следовательно, (1.1) и (1.2) записываются следующим образом:
- •Для трехточечной установки из (1.6) получаем
- •Постановка прямой задачи электроразведки для горизонтально-слоистой модели земли.
- •4. Численное решение прямой задачи с помощью линейных фильтров.
- •4. Постановка обратной задачи электроразведки для горизонтально-слоистой модели земли. Численное решение обратной задачи градиентным методом.
- •§ 7. Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.
- •7.1. Постановка задачи
- •7.2. Математическая модель.
- •Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде
- •7.4. Расчетная схема.
- •7.5. Переменные и блок – схема.
- •Блок-схема
- •7.6. Задания для лабораторной работы.
- •§8. Обратная задача для уравнения теплопроводности.
- •Численная реализация
- •Связь между уравнениями
- •Литература
- •Дополнительная литература
§ 7. Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.
7.1. Постановка задачи
Подогретый до температурыθ1 (град.) нефть перевозится по подземному трубопроводу.
Глубина прокладки нефтепровода Н(м).
Считая, что теплоотдача происходит только по вертикальному направлению определить распределение температуры от трубы до поверхности земли. |
х
Н
О
|
Рис. 1
7.2. Математическая модель.
Ось ОХ направим вертикально вверх (рис. 1). На оси ОХ выделим элемент с координатами х и х + Δх. Тогда приращение энергии в направлений оси х за время Δt будет
(7.1)
С другой стороны, согласно закону сохранения энергий,
(7.2)
Левые части (7.1) и (7.2) равны, поэтому
где ρ– плотность грунта [кг/м3];
с – массовая теплоемкость грунта [кдж/кг.град];
λ – коэффициент теплопроводности грунта [вт/м·град.].
При х = 0 задается температура . На поверхности земли происходит конвективный теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой (воздух).
В основу изучения конвективного теплообмена положен закон Ньютона-Рихмана
где q – плотность теплового потока, вт/м2;
θ0 – температура воздуха, 0С;
θгр – температура поверхности грунта,0С;
α – коэффициент теплоотдачи, вт/(м2·град);
Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отдаваемый единицей поверхности тела окружающей среде за единицу времени вследствие теплоотдачи, должно быть равно теплоте, которая путем теплопроводности подводится к единице поверхности в единицу времени со стороны внутренних частей тела, т.е.
(7.3)
Равенство (7.3) является математической формулировкой граничного условия третьего рода; оно является действительной для каждого момента времени t.
называется граничным условием первого рода.
Получена задача: найти решение нестационарного параболического уравнения со смешанными граничными условиями, т.е.
(7.4)
θ(t,0) = θ1 = const (7.5)
(7.6)
(7.7)
Теорема 1. При определенных условиях на ρ(θ), с(θ) и λ(θ) задача (7.4) - (7.7) имеет единственное решение.
Выводы:
На лекция 25 были изучены:
Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа.
Математическая модель задачи.
Лекция 26.
План лекции:
Конечно-разностный аналог решения задачи нестационарного теплообмена при перевозке нефти трубопроводом.
Построение сетки.
Сведение к системе алгебраических уравнений.
7.3. Приближенный метод решения задачи (7.4) – (7.6).
Решение задачи (7.4) – (7.6) зависит от двух переменных , где t – время, час; х – координата точки грунта, м. Поэтому задача (7.4) – (7.6) решается в области
Q= (0, Тmax)·(0,H),
Сетка. Отрезок [0, H] разбиваем на N равных частей с шагом h = H/N, а отрезок [0, Tmax] на М равных частей с шагом ∆t = Tmax /M. Тогда получается сетка (рис. 2).
В рис.2 «крестиками» - х обозначены граничные узлы, а «ноликами» - 0 обозначены внутренние узлы. |
Н х х х х х
х о о о о
х о о о о
х х х х х t Тmax Рис. 2 |
Аппроксимация выражений
т.е. функций ρ(θ) и с(θ) определяются на нижних слоях. В начальный момент времени, т.е. при
.
Вместо задачи (7.4) – (7.7) решается приближенная задача
(7.8)
(7.9)
(7.10)
В системе (7.8) i = 1, 2, …, N-1 при каждом j=0,1,…,M-1.