1. Потужність множини. Зчисленні множини та їх властивості. Множини n, z, q, r та їхні потужності.

Множина , яка складається із скінченного числа елементів, називається скінченною (число її елементів позначається ). Скінченні множини можна порівнювати за кількістю їх елементів. Для порівняння нескінченних множин Г. Кантор побудував теорію вихідним пунктом якої є поняття потужності множини.

Множини іназиваються рівнопотужними (мають однакову потужність), якщо існує бієкція. Рівнопотужні множини позначають так:A ~ B.

Зчисленні множини . Множина називається зчисленною, якщоA ~ N. У цьому випадку говорять, що елементи множини можна занумерувати. Мають місце наступні твердження:

1. Нескінченна підмножина зчисленної множини зчисленна.

2. Нескінченна множина містить зчисленну підмножину.

3. Об'єднання зчисленної множини зчисленних множин є зчисленною множиною.

4. Декартів добуток двох зчисленних множин зчисленний.

5. Існують незчисленні множини.

Спинимось на доведенні твердження 3.

Нехай - зчисленні множини. Тоді для кожного.

Елементи об'єднання цих множин можна подати у вигляді таблиці

……

……

……

…………………………………………

і занумерувати, наприклад у порядку, вказаному стрілками. Цим саме буде встановлена бієкція . Отже,.

Аналогічно доводиться твердження 4.

Нехай . Тоді декартів добутокскладається із пар, які можна розташувати в такому порядку

і занумерувати так, як зроблено в попередньому випадку. Для доведення твердження 5 застосуємо діагональний метод (діагональну процедуру) Кантора.

Нехай − множина всіх можливих нескінченних ланцюгів, що складаються з двох символів, наприклад 0 і 1, вигляду

Покажемо, що множина незчисленна. Припустимо, що елементи множинизанумеровані, тобто що множиназчисленна. Нехай

де кожне дорівнює 0 або 1. Утворимо елемент, поклавши, і кожневідповідно дорівнює 0 або 1. Очевидно, що, але не збігається з жодним із занумерованих елементів. А це суперечить тому, що всі елементи множиниможна занумерувати. Множини N, Z, Q (h=m+n) – зчисленні, а множина R – незчисленна.

2. Числова послідовність та її границя. Основні властивості границі. Границя обмеженої монотонної послідовності. Число е.

Якщо кожному натуральному числові поставлено у відповідність дійсне число, то множина дійсних чисел(1) називається числовою послідовністю.(Числовою послідовністю називається відображенняабо, як кажуть – це функція задана на множині натуральних чисел).Числа називаються елементами (або членами) послідовності. Символназивається загальним елементом послідовності, айого номером. Скорочено послідовність (1) позначається так:. Послідовність вважається заданою, якщо вказано правило, за яким кожному натуральному числові поставлено у відповідність дійсне число. Задаються за допомогою формул, рекурентних формул.

Арифм. дії над послід: Добутком послідовності на числоназивається послідовність; Сумою послідовностейіназивається послідовність, різницею – послідовність, добутком – послідовність, часткою послідовність .

Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує таке число, що для всіх її членіввиконується нерівність

Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує таке число, що для всіх її членіввиконується нерівність

Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена зверху й знизу.

Нехай послідовність обмежена, тобто існують такі числаі, що для будь-якого її членавиконується нерівністьНехай. Тоді умову обмеженості послідовності можна записати так:.

Послідовність називається необмеженою, якщо для будь-якого числаіснує елементцієї послідовності, для якого виконується нерівність. (Необмежена послідовність може бути обмеженою зверху або знизу.)

Послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого числа існує такий номер, що для всіх елементівіз номеромвиконується нерівність.

Послідовність називається нескінченно малою, якщо для будь-якого (як завгодно малого) числаіснує такий номер, що для всіх елементівіз номеромвиконується нерівність.

Властивості послідовностей: Якщо нескінченно велика послідовність і всі її члени відмінні від нуля, то послідовністьнескінченно мала, і, навпаки, якщонескінченно мала послідовність й, то послідовністьнескінченно велика; сума, різниція добуток двох нескінченно малих послідовностей – є нескінченномалою послідовністю; добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу є нескінченно малою послідовністю.

Границя числової послідовності. Число називається границею послідовності, якщо для будь-якого числаіснує такий номер, що для всіх членів послідовностііз номеромвиконується нерівність (2). Якщо число є границею послідовності, то пишуть, а саму послідовність називають збіжною. Послідовність, яка не є збіжною, називається розбіжною.

Якщо послідовність збіжна і, то будь-який її елементможна подати у вигляді, де- елемент нескінченно малої послідовності. (Дійсно, якщо, то послідовністьє нескінченно малою, оскільки для будь-якогоіснує такий номер, що длявиконується нерівність, тобто.) Має місце й обернене твердження. Якщоможна подати у вигляді, де нескінченно мала послідовність, то . (Нерівність (2) рівносильна нерівностіабо, із якої випливає, щознаходиться воколі точки). Отже, означення границі числової послідовності можна дати наступним чином.

Число називається границею послідовності, якщо для будь-якого числаіснує такий номер, що всі члени послідовностііз номеромзнаходяться воколі точки.

Властивості збіжних послідовностей: збіжна послідовність має єдину границю (викор представ. від супротив ); якщо послідовністьзбіжна, то вона обмежена (не всяка обмежена послідовність є збіжною); якщоі збіжні послідовності, то: послідовність суми (різниці, добутку) збіжних послідовностей та, збіжна і її границя дорівнює сумі (різниці, добутку) границь цих послідовностей, тобто(); послідовність, яка є часткою збіжних послідовностейта, за умови, збіжна і її границя дорівнює частці границь цих послідовностей, тобто. Типи невизначеностей:.

Монотонні послідовності Послідовність називається неспадною ( незростаючою ), якщо виконується нерівністьдля усіх. Неспадні та незростаючі послідовності називаються монотонними.

Теорема: Монотонна обмежена послідовність збіжна.

Доведення. Розглянемо випадок неспадної послідовності .

Отже, нехай для усіх виконуються наступні умови:

1. ; 2) існує таке число , що.

Розглянемо числову множину , яка складається з усіх елементів послідовності. За умовою ця множина непорожня і обмежена зверху, а тому має точну верхню межу.

Позначимо . Покажемо, що.

Оскільки  точна верхня межа елементів послідовності , то, згідно з властивістю точної верхньої межі, для будь-якогоіснує номертакий, що. Так як послідовністьнеспадна, то привиконується нерівність. З іншого боку, згідно з означенням точної верхньої межі,для всіх. Таким чином, примаємо нерівність, тобтопри. Отже,.

Для випадку незростаючої послідовності доведення аналогічне.

Число е. Розглянемо послідовність з загальним членом . Покажемо, що ця послідовність є збіжною. Для цього спочатку установимо, що вона зростаюча, а потім – що вона обмежена.

Згідно формули бінома НьютонаПодамо цей вираз у наступному вигляді (3) Так само одержуємо

.

При виконується нерівність, тому, тобто послідовність зростаюча. Оскільки кожний вираз, який стоїть у дужках у формулі (3) менший від одиниці і при, то. За формулою суми нескінченно спадної геометричної прогресії маємо . Отже, послідовність монотонна і обмежена. Таким чином, послідовність із загальним членом збіжна. За означенням границю цієї послідовності позначають буквою.