§10. Орнықсыз теңдеулер жүйесін итерациялық əдістермен шешу

Айталық,

Ax =F (10.1)

теңдеулер жүйесі берілсін. А – симметриялы жəне жартылай оң анықталған

матрица,   – ортонормалданған А матрицасының меншікті векторлары,

u

n

 

ал  – ретімен меншікті сандары болсын. Ал ker A -матрицаның A 0

n

теңдігін қанағаттандыратын  векторларының жиыны, яғни А матрицасы-

ның ядросы (нөл жиынтық) болсын. Матрицаның ядросының өлшемі m

 ____ 

u A kern , m 1,  m

  , яғни   болсын.

 0

 n  n n1

 

x F,  

Енді (10.1) жүйесіндегі векторларын un базисі бойынша жіктейік:

F F u F F u , ,  , (10.2)

n n n n

n

x x u x x u , ,  . (10.3)

n n n n

n

Осы (10.2), (10.3) теңдіктерді (10.1) жүйесіне қойсақ, онда

x  F  . (10.4)

n n n

Мұндағы

213

----------------------- Page 214-----------------------

____

x F n  ,m  1, (10.5)

n n n

____

теңдігі тек болғанда ғана орындалатындықтан, теңдеулер

F n0, m 1,

____

n

 

F A ker F u , 0,n m1, 

жүйесінің үйлесімді болуы үшін болуы, яғни n бо-

луы керек.

Егер (10.1) жүйесі үйлесімсіз болса, онда оның жалпылама шешуі (обоб-

шенное решение) деп мына теңдеулер жүйесінің шешуін

Ax =F , (10.6)

F F u 

 ,

n n

n m

* *

яғни Ax -F =min Ax -F есебін қанағаттандыратын x векторын айта-

2 x 2

мыз.

Енді теңдеулер жүйесінің үйлесімділігіне байланысты, оның шешуін

табудың жолдарын қарастырайық.

10.1 Үйлесімді жағдай

Айталық, (10.1) жүйесі үйлесімді болсын. Осы жүйені шешу үшін

B (xk +1 -xk )=F -Axk (10.7)

итерациялық əдісті қолданамыз. Мұнда В – симметриялы оң анықталған ма-

трица. Енді осы итерациялық əдістің жинақталу шартын зерттейік.

* k k *

Егер x x x

– (10.1) теңдеулер жүйесінің кез келген шешуі, – қателік

векторы десек, онда (10.7) итерациялық əдісті былайша жазуға болады:

k1 k , (10.8)

 T

T E B A  1  – итерациялық əдістің қадамы.

мұндағы

1

k 2 k

z B   десек, онда (10.8) теңдігінен

Енді

~

z k +1 =T z k (10.9)

теңдігін аламыз.

~ -1 -1

Мұнда T = E -B 2 AB 2 симметриялы жартылай оң анықталған матри-

( ~ )

 

v T 

ца. Айталық, n матрицасының толық ортонормалды меншікті векторы,

k  

  z v

ал n ретімен меншікті саны болсын. Енді векторын осы n векторына

жіктесек

k k

z z v  n n (10.11)

n

жəне оны (10.9) формуласына қойсақ, онда

214

----------------------- Page 215-----------------------

k 1 k k10

z z z n n n n . (10.12)

Осыдан

1, 1 (10.13)

n n

0

шартының орындалуы (10.7) итерациялық əдістің, кез келген x векторы

үшін, жинақталуының қажетті шарты екенін көреміз. Шынында да, егер

0 k

 1 немесе  1 болса, кез келген z n 0 векторы үшін zn жинақтал-

n n

майтынын көреміз.

k 0 *

 

Енді x векторлар тізбегінің, кез келген x векторының x векторына жи-

нақталуы үшін (10.13) шартының жеткілікті екенін көрсетейік.

Егер (10.13) шарты орындалса, яғни  1 болса, онда

n

k

,

lim 0 z 

n

k 

k 1 k

ал  1 z z 

n болса, онда n n .



Енді десек, онда k  0 .

      1 z z limz v  

1 2 s n n

k



n 1

___

~ ~

 

T z  z  T v v n s ,  1,

Ал (себебі ) болғандықтан

n n

1 1

2 2 

B AB z 0 .

Сондықтан

1

B z A 2  ker . (10.14)

Ал екінші жағынан

1 1

B z 2  Blimz 2 k lim k . (10.15)

k  k 

k

 

(10.14) жəне (10.15) формулаларынан (10.7) итерациялық əдістегі x тізбегі

 * 

x x   (10.16)

 

векторына жинақталатының көреміз. Ал  ker A болғандықтан x (10.1)

~



*

x x 

теңдеулер жүйесінің шешуі болады, яғни жəне бұл шешім бастапқы

0

x векторына тікелей тəуелді.

10.2. Үйлесімсіз жағдай

Берілген үйлесімсіз теңдеулер жүйесін шешудің екі жағдайын қарастыра-

йық.

Айталық, (10.7) итерациялық əдістегі В мен А матрицаларының толық орто-

нормалды меншікті векторлары бірдей болсын

215

----------------------- Page 216-----------------------

Bu  u ,

n n n

Au u (10.17)

n n n

жəне осы итерациялық əдіс үшін (10.13) шарты қанағаттандырылсын.

k

x F  

Енді жəне векторларын un базисі бойынша жіктеп

k k

x x u  n n

n

F F u 

n n n

n

оларды (10.7) формуласына қойсақ

k 1  n k 1  n k 1 0 1 k  n i

        

xn x1 Fn n 1 xn  1 Fn

     

    

 n  n  n  n i1 n 

формуласын аламыз.

Осы формулаға (10.13) шартын қолдансақ, онда

k 1  

x lim F,  0,   n m

n n n

k 



n

жəне

k k 0  

 x F , x 0,   n m

n n n n



n

.

k

 

n m болғанда F 0 болса, онда x тізбегі жинақталмайты-

Сонымен, n

нын көреміз.

k

 

Енді x тізбегімен қатар

z k xk  xk 1 xk k (10.18)

   

k  

тізбегін қарастырайық. Егер z векторын un базисіне жіктесек

k k

z z u 

 n n ,

n

онда (10.18) тізбегінен мына формуланы аламыз:

 k n  n k 0 1  n k  .

x k     x  f n  m

k n 1  n 1  n , 

zn   n  n  n  n  



 0

x n m

,



n

Сондықтан

216

----------------------- Page 217-----------------------

1

F n m , 

lim z k n n

n

k

  k

x n m , 

n (10.19)

болғандықтан

 k

z z  lim .



k

(10.6) – үйлесімді теңдеулер жүйесінің шешуі болады.

Енді үйлесімсіз теңдеулер жүйесін шешудің екінші түрін қарастырайық.

Алдымен А матрицасының нөлге тең бір ғана m 1 меншікті саны бар

делік. Ал (10.7) итерациялық əдістегі В матрицасы симметриялы, оң анықтал-

1

ған жəне (10.13) шартын қанағаттандырсын. Онда А мен матрицалары-

B A

ның нөлге тең меншікті саны бар жəне 1 матрицасының барлық меншікті

B A

сандары нақты, сонымен қоса толық (полный) меншікті векторлар системасы

бар.

*

1   B 1A AB 1

B A матрицасының меншікті векторлар жүйесін – vn , ал  

*

 

матрицасының меншікті векторлар жүйесін – vn десек, онда олар, егер толық

болса, биортогоналды базис құрайды, яғни

0,i j 

 *  

v v ,  (10.20)

i j

i j

1, . 



1

v B A Енді A ker ker деп есептейік те

1

x k 1 x k B 1Ax k ,

(10.21)

x 0 B 1F

 

итерациялық əдісті vn жүйесі бойынша жіктесек, онда

k k k k  * 

x x v x x v ,  ,  .

n n n n

n

 0

x x v  .

Осыдан (10.3) шартын ескерсек, онда 1 1

0 1 *   

x B F v , 0 

Егер 1 болса, онда

B 1Ax B 1F

теңдеулер жүйесі үйлесімді болғандықтан, Ax F теңдеулер жүйесі де үйле-

сімді, яғни бұл біздің жүйеміздің үйлесімсіз деген тұжырымымызға қайшы

келеді.

0  0

x 0

x x v  A  ker

Сонымен 1 жəне 1 1 .



Енді F векторын x векторына ортогоналдасақ

217

----------------------- Page 218-----------------------



,

F x  

  , (10.22)

f F x

 

,

x x 

онда

Ax  f (10.23)

үйлесімді жəне (10.1) жүйесіне эквивалентті жүйе аламыз.

Ал (10.23) жүйесін 10.1-пункттегі итерациялық əдіс бойынша шешуге бо-

лады.

10.3. Меншікті сандарды ығыстыру əдісі

(10.1) теңдеулер жүйесін шешу үшін өте аз шама  0 аламыз да мына

теңдеулер жүйесін қарастырамыз.

A Ex F    (10.24)

max

  

i

A E    i

мұнда матрицасының шарттылық өлшемі  A  , А-матри-

min

  

i

i

 

цасының шарттылық өлшемі  A -дан жақсырақ екенін көреміз.

Енді (10.1) жүйесінің шешуі (10.24) жүйесінің шешуінен қаншалықты

алшақ екенін қарастырайық.

* *

Яғни x (10.1) жүйесінің, ал x (10.24) жүйесінің шешуі болсын деп

* *

Y x  x   (10.25)

қателік векторын зерттейік.

* *

Ол үшін x , x векторларын Фурье қатарына жіктеп (10.25) формуласына

қойсақ

n   n  

1  1      

Y  F u  F u . (10.26)

    nn      nn

i 1 i  i 1 i 

i i



Егер  min i болса, онда  нөлге ұмтылғанда өрнегі нөлге ұм-

i    

тылатын болса ғана

* *

xlim x  0 .



0

Сондықтан 0 болғанда бұл əдістің тиімсіз екенін көреміз.

10.4. Орталандыру əдісі

Айталық,

Ax F (10.27)

 

теңдеулер жүйесіндегі А – оң анықталған симметриялы матрица, ал un оның

 

 меншікті сандарына сəйкес келетін тəуелсіз меншікті векторлары болсын.

n

218

----------------------- Page 219-----------------------

Осы теңдеулер жүйесін шешу үшін қосымша мынадай есепті қарастырайық.

d A F , (10.28)

 

dt

  . (10.29)

0 0,0  t T

x , F,

Енді векторларын Фурье қатарына жіктесек, онда

N N N

x x u  u , F  F u ,  ,

  

n n n n n n

n 1 n 1 n 1

     

x x u , , u  F , F ,u , .

n n n n n n

Осы өрнектерді (10.27), (10.28) формулаларына қойып un векторына скаляр

көбейтсек, онда мына формулаларды аламыз:

x  F 

n n n , (10.30)

dn

  , (10.31)

 F

dt n n n

 0 0.

 

Осыдан

 t

Fn F e n 1 n 

xn  , n 

 

n n

болғандықтан

N

* F u

x  n n , (10.32)





n 1 n

 t

N Fn 1e n un

  . (10.33)



n1 n

 *

limt  x  болғандықтан (10.28), (10.29) есебінің шешуі, шексіздікке ұм-

t

t 

тылғанда, (10.27) теңдеулер жүйесінің шешуіне ұмтылатынын жəне

*

 (10.34)

t  x 

теңсіздігі орындалатынын көреміз. Ал (10.27) орнықсыз жүйе болса, онда

 *

limt  x  шегі баяу жинақталады. Сондықтан жинақталудың жылдамдығын

t 

арттыру үшін қосымша мынадай операторды қарастырамыз.

T

1

x S t   t dt (10.35)

 T  

0

219

----------------------- Page 220-----------------------

Енді (10.35) формуласын, (10.29) шартын пайдалану арқылы, (10.28) фор-

муласына қойсақ, мынадай теңдік аламыз:

 

 T

r F Ax (10.36)

  

T

Осыдан

 

* T C

 r Ax x    (10.37)

T T

*

Ал (10.34) теңсіздігін ескерсек, онда деуге болады.

C x 

Сондықтан

lim 0 r  .

T 

Егер Релей теңсіздігін пайдаланатын болсақ, онда

* C

x x , (10.38)

 

T

  min .

мұндағы i

i

Жоғарыда көрсетілген алгоритмді іс жүзінде іске асыру үшін (10.28)

теңдеуінің айырымдық түрін қарастырамыз:

k k 1

   k 1

A F ,

 (10.39)

0

0,  1, k , . N 

Енді S операторын жуықтайтын айырымдық операторын былайша анық-

таймыз:

N

k 1 k

x M    k ,

T

k 1

N (10.40)

T   .

 k

k 1

k

мұнда k – квадратуралық формуланың коэффициенті, ал  – (10.39) айы-

рымдық есебінің tk нүктесіндегі шешуі.

M операторын сол жақтан (10.39) теңдігіне көбейтсек

k k 1

  k 1

   .

M MA MF



Осыдан

k k 1 N

   1 k  k 1 N N

M      ,

 k

  N N

k 1

220

----------------------- Page 221-----------------------

k 1 k 1

MA AM Ax , MF F ,



  t t 

болғандықтан , деп алсақ, онда

k k k 1

N



  .

Ax F



N



t  C 

Ал бағалауын ескерсек

* C

  .

x x



N

*

Сондықтан x жуық шешуі N  болғанда Ax F жүйесінің x дəл ше-

шуіне жинақталады.

Егер (10.39) теңдеуін былайша жазсақ:

k k 1 k 1

   A F ,

 

(10.41)

____

0

 0, k 1, N

онда бұл теңдікті итерациялық əдіс деп қарастыруға болады.

Сондықтан  параметрін

E A  1

шартын қанағаттандыратындай етіп алған жөн.

Ал (10.28), (10.29) есебін мына айырымдық есеппен айырбастасақ

k k 1

   к1

A F ,

k (10.42)

0

0,  1, k , . N 

онда k – итерациялық параметр деп қарастырып, 8-параграфтардағы əдістерді

қолдану арқылы табуға болады. Мысалы, минимал ауытқу əдісін қолдансақ,

онда

Ark 1,rk 1  k 1

, r F A .

    

k k 1

Ar ,r 

k k

Бұл жағдайда

1 N N

к

x    , T   ,

  k  k

T k 1 k 1

ал қателік вектордың нормасы үшін

* C

 

x x

 N

   k

k 1

теңсіздігі орындалады.

221

----------------------- Page 222-----------------------

Сұрақтар мен жаттығулар

1. “Орнықсыз теңдеулер жүйесі” деп қандай жүйені айтамыз?

2. Үйлесімді теңдеулер жүйесі деген не?

3. Үйлесімсіз теңдеулер жүйесін қалайша үйлесімді теңдеулер жүйесіне

келтіруге болады?

4. Меншікті сандарды ығыстыру əдісін қай уақытта қолдануға болады?

5. Орталандыру əдісінің басқа əдістерге қарағанда ерекшелігі неде жəне

бұл əдіс қай уақытта тиімді болуы мүмкін?

1 1

   

2 2



6. T E B AB матрицасының симметриялы жəне жартылай оң

  

 

анықталғандығын дəлелдеңіз.

7. Берілген Ax F жүйесін шешу үшін (10.28)-(10.29) есебінің орнына

2

d 

A F (10.43)

 

dt2

d

t T

 0  0, 0  

  (10.44)

dt

t 0

есебін алып жəне оған

T t

1

ûûû     (10.45)

1  T 2  

0 0

орталандыруын пайдалансақ, онда

 

2 T

r F Ax

  

2

T

теңдігі шығатынын дəлелде. Осы əдістің айырымдық формасын жəне оны қа-

лайша қолдануға болатынын қарастырыңыз.

Зертханалық жұмыстар

1-тапсырма.

x x h  

  sin 

1 2

x x x ih i n  

    2 sin  2, 1

i i i1 1

1

x x N h h  

   sin , 

N N 1

N

теңдеулер жүйесін зерттеңіз жəне оны шешудің бағдарламасын құрыңыз.

2-тапсырма. 1-тапсырмадағы жүйені орталандыру əдісі арқылы шешіңіз

жəне оны басқа əдістермен салыстырыңыз.

Тарауды жазу кезінде [1, 3, 4, 14] əдебиеттері пайдаланылды.

222

----------------------- Page 223-----------------------

VIIІ ТАРАУ

МАТРИЦАНЫҢ МЕНШІКТІ САНДАРЫ МЕН

МЕНШІКТІ ВЕКТОРЛАРЫН ТАБУ

Бұл тарауда матрицаның меншікті сандары мен меншікті векторларын

табудың А. М. Данилевский, А. Н. Крылов əдістерімен қоса матрицаның, аб-

солют шамасы бойынша, ең үлкен жəне оң анықталған матрицаның ең кіші

меншікті санын табу жолдары қарастырылады.

Көптеген теориялық жəне практикалық есептерді шешу кезінде А мат