§2. Ричардсон əдісі

Бұл əдісті кейде “Чебышевтің тиімді итерациялық əдісі” деп те атайды.

Берілген

теңдеулер жүйесін шешу үшін стационарлы емес итерациялық процесін қолданайық

(2.1)

Итерациялық процестің жинақталуы параметріне тікелей байланысты

болғандықтан, оны табу жолдарына тоқталайық.

Айталық, A оң анықталған болсын, яғни оның n оң меншікті сандары жəне өзара ортогональды меншікті векторлары

бар.

Егер десек, онда (2.1) теңдігін былай жазуға болады:

(2.2)

векторын А матрицасының меншікті векторына жіктесек, онда

Енді (2.2) теңдігін ескере отырып

… . . . . . .. . . . .. . . . . . .. . .

теңдіктерін аламыз.

Соңғы теңдіктен мына бағалауды алуға болады:

Мұнда

Біздің негізгі мақсатымыз берілген k үшін -ға минимум беретін

параметрлерін табу керек болғандықтан, кесіндісінде анықталған

көпмүшесін қарастырайық.

Егер десек, онда

(2.4)

алмастыру арқылы аралығын аралығымен алмастыру арқылы

көпмүшесін көпмүшесіне түрлендіреміз. Жəне

болғандықтан,

Егер десек, онда көпмүшесі мен

Чебышев көпмүшесінің түбірлері бірдей болғандықтан, Чебышев көпмүшесінің түбірлері көпмүшесінің модуліне минимум мəн береді.

Ал көпмүшесінің түбірлері

(2.5)

болғандықтан жəне (2.4) теңдігін ескерсек, онда

Бұл жағдайда

(2.7)

Себебі

Шынында да десек, онда

(2.9)

Мұндағы болғандықтан

(2.9)

Енді екенін ескерсек, онда Сонымен

(2.10)

болғандықтан, Ричардсонның итерациялық əдісінің жинақталу жылдамдығы үшін мынадай бағалау орындалады:

(2.11)

Ричардсон əдісін іс жүзінде қолдану үшін, біріншіден, а мен b белгілі бо-

луы тиіс, екіншіден, k саны тұрақты болуы қажет. Сондықтан Ричардсон əдісін қолданбастан бұрын А матрицасының меншікті сандарының төменгі жəне жоғарғы шегін анықтап алған жөн. Сонымен қоса итерациялық процестің қанша итерациядан кейін алдын ала берілген дəлдікті қанағаттандыратындығы белгісіз болса жəне алдын ала берілген дəлдік орындалмаса, онда табылған параметрлерін қайта қолданады. Бұл жағдайда итерациялық процесті былай жазған дұрыс:

(2.12)

мұнда k циклді итерациялық процестің параметрлерінің санын көрсетеді. Егер болса, онда итерациялық процесс (2.1) стационар, ал болса стационар емес делінеді.

Ричардсон əдісін қолданған кездегі келесі проблемма параметрлерінің қолдану ретін анықтау. Өйткені парметрлерді белгілі бір ретте қолданған кезде əдіс орнықсыз болуы мүмкін. Себебі (2.2) формуладағыкөшу операторының нормасы қатар тұрған бірнеше

параметрлерінің мəндерінде бірден үлкен болуы мүмкін. Соның себебінен итерациялық əдістің қатесі де ұлғайып кетуі ықтимал. Қазіргі уақытта параметрін итерациялық процесс жинақталатындай етіп реттейтін алгоритм құрылған.

Мысалы, болғанда мынадай ретпен қолданған тиімді

болғанда қолданатын параметрінің реттік индексі мынадай: (1, 16, 8, 9, 4, 13, 5, 12, 2, 15, 7, 10, 3, 14, 6, 11).

Мысалы:

жүйесін Ричардсон əдісімен шешейік.

матрицасының меншікті сандары

болғандықтан ,Сонымен десек, онда (2.6) формула бойынша

Егер деп алсақ, онда (2.1) формула бойынша

Градиентті итерациялық əдістер