6.3. Зейдель əдісі

Айталық,

теңдеулер жүйесі

түрінде жазылды делік. Берілген жүйені былайша жазайық:

(1.22)

Енді осы теңдеулер жүйесін шешу үшін мынадай итерациялық əдісті

қолданамыз:

(1.23)

яғни белгілі болса, онда (1.23) формуласын

пайдалану арқылы векторыныңкомпонентін табамыз, содан кейін

векторын пайдаланып векторын табамыз. Сол сияқтывекторыныңкомпонентері табылады.

Енді осы итерациялық процестің жинақтылығын зерртеу үшін (6.23) итера-

циялық процесін былайша жазайық:

(1.24)

мұнда

Осыдан

(6.24)

болғандықтан итерациялық əдістің жинақталуы үшін матрицасының меншікті санының абсолюттік шамасы бірден кіші болуы қажетті жəне жеткілікті. Яғни, теңдеуінің түбірлерінің абсолюттік шамасы бірден кіші болуы керек. Егер теңдеуді -ге көбейтсек, онда екі матрицаның анықтауыштарының көбейтіндісі туралы теореманы еске ала отырып, теңдеуді мына түрде жазуға болады:

,

немесе

(6.25)

Сонымен, Зейдель əдісінің жинақталуы үшін (1.25) теңдеуінің барлық шешуінің абсолюттік шамасы бірден кіші болуы қажетті жəне жеткілікті.

Енді əдістің жинақталуының жеткілікті шартын қарастырайық.

Айталық,

(1.26)

Бұл жағдайда біртіндеп жуықтау əдісі үшін мына бағалау орындалады:

(1.27)

мұнда

Егер болса, онда

(1.28)

Енді (1.28) формуласынан (6.23) формуласын алып тастасақ, онда

Осыдан

(1.29)

Егер десек, онда (1.29) формуласын

(1.30)

теңсіздігін аламыз. өзінің максимумынболғанда қабылдайды

десек, онда

Осы теңсіздіктен

Себебі

Егер десек, онда

Енді екенін дəлелдейік.

Шынында да

және

Осыдан

.

Сонымен, Зейдель əдісінің жинақты болуы үшін (6.26) шартының жеткілікті екенін көрдік. (1.33) теңсіздігінен, біртіндеп жуықтау əдісі мен Зейдель əдістері берілген теңдеулер жүйесі үшін жинақты болса, Зейдель əдісінің жинақтылығы біртіндеп жуықтау əдісінің жинақтылығынан жылдамырақ екенін көреміз. Бірақ, кей жағдайларда, берілген теңдеулер жүйесі үшін біртіндеп жуықтау əдісі жинақты, ал Зейдель əдісі жинақты емес жəне керісінше Зейдель əдісі жинақты, ал біртіндеп жуықтау əдісі жинақты болмауы мүмкін.

Мұндай жағдайларды мына мысалдардан көруге болады.

1-мысал. Айталық,

Онда B матрицасының меншікті саны теңдеуінен табылатындықтанСондықтан біртіндеп жуықтау əдісі жинақталмайды. Алболғандықтан, мұның меншікті санытеңдеуінен табылады жəнеЗейдель əдісі жинақталады.

2-мысал. Айталық,

Онда B матрицасының меншікті саны теңдеуінен

табылатындықтан Сондықтан біртіндеп жуықтау əдісі

жинақталады. Ал матрицасының меншікті саны бірден үлкен болғандықтан Зейдель əдісі жинақталмайды. Жоғарыда көрсеткен əдіс арқылыболғанда да, Зейдель əдісінің жинақты екенін көрсетуге болады.