6.3.5. Технология численного вычисления определенного интеграла

Для численного вычисления определенного интеграла с использованием конечных разностей существует несколько методов. Наиболее простым является метод трапеций. Для вычисления определенного интеграла по методу трапеций используется формула:

Технология вычисления определенного интеграла в электронной таблице основана на построении табличных значений подынтегрального выражения для каждого шага интегрирования. Используя его можно получить лишь приближенное значение интеграла.

Для численного вычисления величины интеграла в электронной таблице можно применить две технологии – технологию приближенного вычисления и технологию точного вычисления.

Технологию численного вычисления определенного интеграла в Excel с использованием формулы трапеций рассмотрим на примере.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

Величина интеграла, вычисленная аналитически, равна 9.

Решение:

Табулируем подынтегральную функцию в диапазоне изменения значений аргумента 0 – 3 с шагом 0,2 (рис. 6.16).

В ячейку С2 введем формулу =(A3-A2)*B2+(A3-A2)*(B3-B2)/2, которая реализует часть приведенной выше формулы, размещенной правее знака суммы, т.е. вычисляет величину элементарной площадки (криволинейной трапеции).

Скопируем буксировкой формулу, записанную в ячейке С2, до значения аргумента х = 2,8.

В ячейке С17 просуммируем с помощью автосуммирования полученные результаты. Вычисленное значение в ячейке С17 и будет величиной интеграла - 9.

Рис. 6.16

Технология точного вычисления основана на использовании аппарата циклических ссылок и итераций. Применение этой технологии позволяет задавать достаточно малый шаг интегрирования, что увеличивает точность вычислений. Для точного вычисления нужно выполнить следующие операции:

Определить на сколько интервалов нужно разбить диапазон интегрирования, чтобы получить требуемую точность, и задать их количество в виде количества итераций. Положим для решения нашей задачи достаточно 10000 интервалов.

Выполним команду меню Сервис  Параметры, откроем закладкуВычисления в диалоговом окнеПараметрыи в полеПредельное число итерацийвведем число 10000. Если установлен флажокИтерации, то выключим его. Закроем диалоговое окноПараметры.

В ячейки рабочего листа введем исходные данные и формулы для вычислений (рис. 6.17).

Рис. 6.17

В ячейке В6 формула =(B4-B2)/B5вычисляет шаг интегрирования. В ячейке С3 формула =0+C3+B6– вычисляет текущее значение аргументах. Значение 0 в формуле устанавливает нижний предел интегрирования. В формуле есть циклическая ссылка на эту же ячейку -С3 +В6, она реализует накопление величины х относительно нижнего предела.

В ячейке D3 записана формула, реализующая метод трапеций и накопление суммы площадей элементарных трапеций.

После ввода исходных данных и формул вновь выполним команду меню Сервис Параметры, откроем закладку Вычисления в диалоговом окне Параметры и установим флажок Итерации. Щелкнем на кнопке ОК. Потребуется некоторое время для того, чтобы табличный процессор выполнил заданное количество циклов итераций и вычислил результат.

После завершения вычислений вновь вызовем диалоговое окно Параметры и выключим флажок Предельное число итераций.