6.4. Постановка задачи оптимизации
Основной целью экономики является рациональное функционирование хозяйствующих субъектов или, иначе говоря, оптимальная деятельность при ограниченных ресурсах. Поэтому в экономической области существует широкий класс задач оптимизации, или, как их еще называют, экстремальных задач.
В задачах оптимизации вычисляются значения параметров некоторой функции y=f(x1,x2,…,xn), при которых она принимает наилучшее значение (максимальное или минимальное) и при условии, что на эти параметры наложены ограничения. Эту функцию называют целевой функцией, а набор количественных значений между переменными, выражающих определенные требования к параметрам экономической задачи в виде уравнений или неравенств называют системой ограничений. Совокупность соотношений, содержащих целевую функцию и ограничения на ее аргументы, называют математической моделью экономической задачи оптимизации.
Если целевая функция линейна и на ее аргументы наложены линейные ограничения, то такую задачу оптимизации называют задачей линейного программирования.
Существуют различные методы решения задач линейного программирования. В MS Excel для этой цели предназначен инструмент Поиск решения, о котором речь шла ранее. В этом инструменте применен итерационный способ подбора параметров целевой функции. Применение этого инструмента позволяет решать задачи оптимизации с высокой точностью.
Технологическая последовательность решения задачи включает следующие шаги:
На основе постановки задачи и уяснения ее экономической сути, разрабатывается математическая модель, аналитически представляющая целевую функцию и функции ограничений.
В электронную таблицу вводятся исходные данные и формулы, реализующие разработанную математическую модель.
Настраиваются параметры инструмента Поиск решения, после чего он применяется для решения задачи.
Покажем последовательность решения задачи линейного программирования на примере.
Оптимальный план выпуска продукции
Фирма производит два вида мороженого - сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг готового продукта и их суточные запасы приведены в таблице.
|
Исходный продукт |
Расход исходных продуктов на 1 кг мороженого |
Запас, кг | |
|
Сливочное |
Шоколадное | ||
|
Молоко |
0,8 |
0,5 |
400 |
|
Наполнители |
0,4 |
0,8 |
365 |
Суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того известно, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного мороженого 16 ден. ед., шоколадного – 14 ден. ед. Требуется определить в каком количестве мороженого каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.
Решение.
Шаг 1 – разработка математической модели
Введем обозначения: x1– суточный объем производства сливочного мороженого, х2- суточный объем производства шоколадного мороженого. Исходя из условия задачи, целевая функция будет иметь вид:
при ограничениях
Шаг 2. Формализация математической модели в электронной таблице
На рабочем листе сформируем табличку, как показано на рис. 6.18.
Полагая, что неизвестные (x1иx2) будут размещаться в ячейках В3 и С3, в ячейку В4 введем формулу целевой функции:=16*B3+14*C3, а в ячейки В6, В7 и В8 – формулы ограничений.
Рис. 6.18
Шаг 3. Настройка инструмента Поиск решения
Выполним команду меню Сервис Поиск решения– откроется диалоговое окноПоиск решения(рис. 6.19).
Рис. 6.19
Укажем в диалоговом окне ссылки на целевую ячейку, на ячейки, в которых размещены параметры целевой функции, а также введем все ограничения.
После щелчка на кнопке ОК в ячейках В3 и С3 будет получено решение - значения x1иx2, при которых, целевая функция имеет максимальное значение, при заданных ограничениях (рис. 6.20).
Таким образом, при выпуске 312,5 кг сливочного и 300 кг шоколадного мороженого максимальный доход от реализации составит 9200 ден.ед.
Рис. 6.20